đề tự luyện THPT QG môn toán đề số 15

ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài : 180 phút
Câu 1* : ( 2 điểm) Cho hàm số
3
y x 3x 1= − + +

a)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C) của hàm số
b)Định tham số m để phương trình :
( )
3
2 1
2
log x 4x m log x 0− + − + =
có duy nhất một nghiệm thực
Câu 2* : (0,5 điểm ) Giải phương trình :
( ) ( )
sin 2x sin x cos x 1 2sin x cos x 3 0− + − − − =

Câu 3* : (1 điểm) Tìm môđun của số phức z thỏa mãn số phức
z 6 2i
z 2 4i
+ +
− −
là số thuần ảo và đồng
thời
z 6 i 5− − =
Câu 4 : (1 điểm) Giải bất phương trình :
( )
2 2
x 1 x 5 x x 1− + + > +

Câu 5* : (1 điểm) Tính tích phân :
e
2 2
1
ln x 1
I dx
x ln x
−
=
−
∫
Câu 6 : (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và điểm I là trung
điểm cạnh AD. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên đáy là điểm K thuộc đoạn OB sao cho BK = 2
OK và N là hình chiếu vuông góc của K lên SO. Biết rằng SK =
a 3
và SK hợp với mp(SAC) góc
30
0
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AN và CI .
Câu 7 : (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thang vuông ABCD vuông
tại A và D ; AB = AD , AD < CD ; B(1;2) ; phương trình đường thẳng BD : y =2 . Biết rằng
đường thẳng
d : 7x-y-25 = 0 cắt các cạnh AD,CD lần lượt tại M,N sao cho BM vuông góc với BC và
tia BN
là tia phân giác của
·
MBC
. Tìm tọa độ đỉnh D có hoành độ dương.
Câu 8* :(1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng (P) :

x y z 6 0− + − =
, mặt
phẳng
(Q) :2x y 2z 1 0+ − + =
và đường thẳng D :
x 2 y 3 z 4
1 1 1
− − −
= =
−
. Tìm điểm M thuộc D ,
N thuộc mặt phẳng (P) sao cho MN vuông góc với mặt phẳng (Q) và MN = 3
Câu 9* : (0,5 điểm ) Một người có 10 đôi giày khác nhau và trong lúc đi du lịch vội vã lấy ngẫu
nhiên 4 chiếc . Tính xác suất để trong 4 chiếc giày lấy ra có ít nhất một đôi.
Câu 10: (1 điểm) Cho x,y là 2 số thực thỏa mãn
( )
2
4 4
x +16y + 2xy+1 =2
. Tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :
( ) ( )
2 2
P=x x +3 +2y 4y +3
Hết
Đáp án :
Câu Điểm
1 Câu 1 : a) Tự giải
b) Dùng đồ thị (C) tìm số nghiệm PT:
PT

3 3
x 0 x 0
m 1 3 m 2
m 1 1 m 0
x 4x m x x 3x 1 m 1
> >
+ = =
 
 
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
 
 
+ ≤ ≤
− + − = − + + = +
 
 

1
1
2 Câu 2 :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
PT sin x cos x 1 sin x cosx 1 2sin x cosx 3
sin x cos x 1 sin x cos x 1 sin x cosx 1 2sin x cos x 3
x k2
sin x cos x 1
sin x 2cos x 4(VN)
x k2
2

⇔ + − = + − − −
⇔ + − + + = + − − −   
   
= π

+ =


⇔ ⇔
π


− =
= + π



0,25
0,25
3 Câu 3 : z=a+bi : Đk :
z 2 4i≠ +
Theo đề bài :
( ) ( )
2 2
2 2
a b 4a 2b 12 0
a 2 a 2
(L)V
b 4 b 2
a 6 b 1 25


+ + − + =
= =
 

⇔
  
= = −
− + − =
 



z 2 2i z 2 2⇒ = − ⇒ =
0,25
0,25
4 Câu 4 :
x 1+ ≤
: loại
( )
2
2 2 2
2 2
2
2
x x 1 1 1
x 1: x 5 x 5 x x 5 x
x 1 x 1 x 1
5 1
5 x 1 x 5 x 4x 5 x 5

x 1
x 5 x
5
x
x 2
4
15x 40x 20 0
− +
+ > + > ⇔ + > + ⇔ + − >
− − −
⇔ > ⇔ − > + + ⇔ − > +
−
+ +

>

⇔ ⇔ >


− + >


Vậy : x > 2
0,5
0,5
5
Câu 5 :
e
2
1

2
ln x 1
I
ln x
x 1
x
−
=
 
 
−
 
 ÷
 
 
 
∫
. Đặt
2
ln x 1 ln x
u du dx
x x
−
= ⇒ =
: u(1)=0;
u(e)=
1
e

1

1
e
e
2
0
0
1 1 u 1 1 e 1
I du ln ln
u 1 2 u 1 2 e 1
 −  −
= = =
 
− + +
 
∫

0,5
0,5
6 Câu 6 ; (SAC) vuông góc với (SBD) theo giao tuyến SO .
( ) ( )
·
·
0
KN SO KN SAC SK, SAC NSK 30⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = = 
 
( ) ( ) ( ) ( )
3
SABCD
OK a,BD 6a,AB 3a 3
V 6a 3

CI / /AK CI / / AKN d CI,AN d C, AKN 2.d O, AKN
= = =
=
⇒ ⇒ = =   
   

( ) ( )
KN (SAC) AKN SAC⊥ ⇒ ⊥
theo giao tuyến AN . Kẻ
( ) ( )
( )
2 2 2 2
OH AN OH AKN d O, AKN OH
1 1 1 37 3a 6a
OH d CI,AN
OH OA ON 9a
37 37
⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = 
 
= + = ⇒ = ⇒ =

0,25
0,25
0,25
0,25
7 Câu 7 : Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên CD
( )
( ) ( )
2
BM BC BNC BMN

BH d B,d 2 2 BD 4
D BD D m;2
ABM
:BD 4 d 1 4 d 1(L)
HBC
V d 3
⇒ = ⇒ ∆ = ∆
⇒ = = ⇒ =
∈ ⇒ = ⇔ − = ⇔
∆
= −
=
=
∆

Vậy : D(3;2)
0,5
0,5
8 Câu 8 :
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
Q
Q
2
VTPTn (2;1; 2)
M D M 2 t;3 t;4 t
MN Q MN kn 2k; k; 2k N 2k t 2;k t 3; 2k t 4

N P k t 3
MN 3 k 1 k 1
k 1 t 4: M 6; 1;0 ;N(8;0; 2)
k 1 t 2 :M 4;1;2 ;N 2;0;4
= −
∈ ⇒ − + +
⊥ ⇒ = = − − ⇒ − + + + − + +
∈ ⇔ + = −
= ⇔ = ⇔ = ±
= ⇒ = − − −
= − ⇒ = −
uur
uuuur uur

0,25
0,25
0,5
9 Câu 9 :
Số cách lấy 4 chiếc giày tùy ý : C = 4845
Số cách chọn 4 chiếc giày từ 4 đôi ( mỗi chiếc lấy từ một đôi )là :
(số cách chọn 4 đôi từ 10 đôi)×( số cách chọn 4 chiếc)= C2
4

Xác suất cần tìm là :
4
4 4
20 10
4
20
C - C .2

672
=
969
C

0,25
0,25
10
Câu 10 :
( ) ( ) ( )
3
P x 2y 6xy x 2y 3 x 2y= + − + + +

Theo đề bài :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2
1 x 2y 1 2xy x 2y 1 2xy x 2y 1 2xy
 
⇔ + = − ⇒ + = − ⇔ + = +
 
( )
( )
( )
2
2 2
x 2y
4
x 2y 1 x 2y
4 3

+
⇒ + ≤ + ⇒ + ≤
0,25
( vì từ (1)
4 4 4 4
1
2 x 16y 2 16x y xy 1 2xy 0
2
⇒ ≥ + ≥ ⇒ ≤ ⇒ − ≥
)
Đặt t = x+2y : 2xy = t
2
-1 :
2
t
3
≤
:
( )
( )
3 2 3
2
P f t t 3 t 1 t 3t 2t 6t : t
3
= = − − + = − + ≤

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
MaxP Maxf (t) f 1 4(t 1khi x, y 0, hay x, y 1,0 )

2
1
MinP Minf (t) f 1 4(t 1khi x, y 0, hay x, y 1,0 )
2
 
= = = = = =
 ÷
 
 
= = − = − = − = − = −
 ÷
 
0,25
0,25
0,25