Tóm tắt lí thuyết + bài tập Vật lí thống kê

DH9L
Lý thuyết:
1/ Ngoặc poission:
[ ]
1
, . .
f
i
i i i i
A B A B
A B
q p p q
=
 
∂ ∂ ∂ ∂
= −
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂
 
∑
2/ Tích phân poission:
2 2
2
2
2 1
(2 1)!!
. , 0:
2
n ax ax
n
n n

n
J x e dx khi n e dx
a a
π π
+∞ +∞
− −
+
−∞ −∞
−
= = = =
∫ ∫
2
2 1
2 1
. 0
n ax
n
J x e dx
+∞
+ −
+
−∞
= =
∫
3/ Phân bố poission:
2
0
1

! 0! 1! 2! !

n n
a
n
a a a a
e
n n
∞
=
   
= + + + + =
 ÷  ÷
   
∑
4/ Tích phân Gama- euler:
{ }
1
0
1
exp ax
.
k l
k
l
k
l
x dx
l a
∞
+
+

 
Γ
 ÷
 
− =
∫
5/ Chuyển sang tọa độ cầu:
2
.sin . . .
x y z
dp dp dp p dp d d
θ θ ϕ
=
6/ Các đại lượng:

23
26
2
8.31 ( / )
1,38.10 ( / )
273 ( )
29 ( / )
6,023.10 ( )
10 ( / )
A
R J k
k J k
T t k
A kg kmol
m

N hat
g m s
−
=
=
= +
= =
=
1.@/ Chứng minh:
k
k
H
p
p
θ
∂
=
∂
. Hay tính giá trị trung bình của động năng ứng với bậc tự do thứ
k có thể tính được nhờ phân bố chính tắc Gibbs :
Giải
Xét hệ N hạt, hàm Haminton trong không gian pha có dạng:
(d)
( ) ( )H E p U q= +
Động năng của hệ:
(d)
1
1
2
f

k k
k
E p q
=
=
∑
&
với
k
k
H
q
p
∂
=
∂
&
(d)
1
(d)
1
1
2
1
2
f
k
k
k
f

k
k
k
H
E p
p
H
E p
p
=
=
 
∂
=
 ÷
∂
 
 
∂
⇒ =
 ÷
∂
 
∑
∑
Và động năng trung bình của hạt thứ k là:
(dk)
1
2
k

k
H
E p
p
 
∂
=
 ÷
∂
 
Trang1
DH9L
Ta chỉ cần tính:
k
k
H
p
p
∂
∂
Ta có:
( )
( , )
.exp
k k
k k
X
H H H p q
p p dX
p p kT

ψ
∂ ∂ −
 
=
 
∂ ∂
 
∫
Tách một phần tử thứ k để xét ta được:
1
1 1
( , )
.exp
f f
k k k i k
i k
k k
i k
H H H p q
p p dp dp dq
p p kT
ψ
+∞
−
= =
−∞
≠
∂ ∂ −
 
=

 
∂ ∂
 
∏ ∏
∫ ∫ ∫
Tích phân từng phần biểu thức :
( , )
exp
k k
k
H H p q
p dp
p kT
ψ
+∞
−∞
∂ −
 
 
∂
 
∫
Đặt:

( , ) ( , )
exp exp
k k
k
k
u p du dp

H H p q H p q
dv dp v kT
p kT kT
ψ ψ
= ⇒ =


∂ − −
    
= ⇒ = −
   

∂
   

Ta được:
( )
( , ) ( , ) ( , )
exp exp ( )exp
k k k k
k
H H p q H p q H p q
p dp p kT kT dp
p kT kT kT
ψ ψ ψ
+∞
+∞ +∞
−∞ −∞
−∞
∂ −  −  −

     
= − − −
     
 
∂
     
 
∫ ∫
Khi
k
p → ±∞
thì
+∞→),( qpH
nên
lim 0
k
H
kT
k
p
p e
−
→±∞
 
=
 ÷
 
.
Do đó mà
( , ) ( , )

exp . exp
k k k
k
H H p q H p q
p dp kT dp
p kT kT
ψ ψ
+∞ +∞
−∞ −∞
∂ − −
   
=
   
∂
   
∫ ∫
với điều kiện chuẩn hóa:
1
),(
exp
)(
=






−
∫

dX
kT
qpH
X
ψ
Vậy trị trung bình của động năng ứng với bậc tự do thứ k bằng :
(dk)
1 1
2 2
k
k
H
E p kT
p
∂
⇒ = =
∂
Động năng trung bình của hệ:
(d)
1 1
.
2 2
k
f
k
H
E p f kT
p
 
∂

= =
 ÷
∂
 
∑
2.@/ Chứng minh:
( )
2
2
2
H
H H
θ
θ
∂
− =
∂
Giải
Ta có giá trị trung bình của phân bố chính tắc:
( )
.exp
X
H
H H dX
kT
ψ
−
 
=
 

 
∫
Lấy đạo hàm theo
θ
ta được:
Trang2
DH9L
( )
( )
2
( )
.exp
.exp
1
. .exp (1)
X
X
X
H H
H dX
kT
H
H dX
kT
H H
H dX
kT
ψ
θ θ
ψ

θ
ψ ψ ψ
θ θ θ
∂ ∂ −
 
=
 
∂ ∂
 
∂ −
 
=
 
∂
 
∂ − −
   
= −
 
 
∂
   
∫
∫
∫
Lấy đạo hàm 2 vế của điều kiện chuẩn hóa:
( )
( )
2
( )

exp 0
.exp 0
1
.exp 0 (2)
X
X
X
H
dX
kT
H
H dX
kT
H H
dX
kT
ψ
θ
ψ
θ
ψ ψ ψ
θ θ θ
∂ −
 
⇔ =
 
∂
 
∂ −
 

⇔ =
 
∂
 
∂ − −
   
⇔ − =
 
 
∂
   
∫
∫
∫
Vì
θ
và
ψ
không phụ thuộc vào X nên:
2 2
( )
1
(2) exp exp 0 (3)
X X
H H H
dX dX
kT kT
ψ ψ ψ ψ
θ θ θ θ
∂ − −

     
⇔ − + =
   
 ÷
∂
     
∫ ∫
Với:
( )
.exp
X
H
H H dX
kT
ψ
−
 
=
 
 
∫
và
( )
exp 1
X
H
dX
kT
ψ
−

 
=
 
 
∫
2 2
1
(3) 0
(4)
H
H
ψ ψ
θ θ θ θ
ψ
θ ψ
θ
∂
 
⇔ − + =
 ÷
∂
 
∂
 
⇔ = −
 ÷
∂
 
Thay (4) vào (1) ta được:
(

)
2 2
( )
2
( )
2
2
2
2
2
. .exp
. .exp
1
exp exp
1
X
X
X X
H H H H
H dX
kT
H H H
H dX
kT
H H
H dX H H dX
kT kT
H H
ψ ψ ψ
θ θ θ

ψ
θ
ψ ψ
θ
θ
 
∂ − − −
 
= −
 
 
∂
 
 
 
− −
 
=
 
 
 
 
 
− −
   
= −
   
 
   
 

= −
∫
∫
∫ ∫
(
)
2
2 2
H
H H
θ
θ
∂
⇒ = −
∂
(đpcm)
3.@/ Từ điều kiện chuẩn hóa hệ thức:

( ) 0
V
v dV
t
ρ
ρ
∂
 
+∇ =
 ÷
∂
 

∫
r
Nghiệm đúng với mọi thể tích V và vận tốc
1 2 3 1 2 3
( , , , , , , , , , )
f f
v q q q q p p p p=
r
& & & & & & & &
Chứng minh:
0
d
dt
ρ
=
và rút ra nhận xét về phương trình này.
Trang3
DH9L
Giải
Ta có: Điều kiện chuẩn hóa:
( ) 0 (1)
V
v dV
t
ρ
ρ
∂
 
+∇ =
 ÷

∂
 
∫
r
Nghiệm đúng với mọi thể tích V và vận tốc
1 2 3 1 2 3
( , , , , , , , , , )
f f
v q q q q p p p p
=
r
& & & & & & & &
Nên:
(1) ( ) 0 (2)v
t
ρ
ρ
∂
 
⇔ + ∇ =
 ÷
∂
 
r
Tích vô hướng của
ecto à ( ) :v v V
ρ
∇
ur
1 1 1

( ) ( ) ( ) . (3)
f f f
i i
i i i i
i i i
i i i i i i
q p
v q p q p
q p q p q p
ρ ρ
ρ ρ ρ ρ
= = =
     
∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
∇ = + = + + +
 ÷  ÷
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
∑ ∑ ∑
r
& &
& & & &
Từ phương trình chính tắc Hamilton:

,
i i
i i
H H

q p
p q
∂ ∂
= = −
∂ ∂
& &
với
),( pqHH =
là hàm Hamilton của hệ.
2 2
1 1
(3) 0 (4)
f f
i i
i i
i i i i i i
q p
H H
q p q p p q
ρ ρ
= =
   
∂ ∂
∂ ∂
⇒ + = − =
 ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
   
∑ ∑
& &

Từ (2) và (3) vào (4) suy ra:
1
0
f
i i
i
i i
q p
t q p
ρ ρ ρ
=
 
∂ ∂ ∂
+ + =
 ÷
∂ ∂ ∂
 
∑
& &
Mặt khác ta thấy:
à
i i
i i
q p
q v p
t t
∂ ∂
= =
∂ ∂
& &

Nên:
1
. . 0
f
i i
i
i i
q p
d
t q t p t dt
ρ ρ ρ ρ
=
 
∂ ∂
∂ ∂ ∂
+ + = =
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
∑
(đpcm)
# nhận xét:
- Tập hợp các hệ trong tập hợp thống kê thỏa mản các phương trình haminton xử sự trong
không gian pha như một chất lỏng không nén được.
- Khi các hệ thức (tức các điểm biểu diễn pha của hệ) chuyển động trong không gia pha thì các
thể tích nguyên tố giữ nguyên không đổi về độ lớn mà chỉ thay đổi về hình dạng.
4.@/ Chứng minh định lí: Hàm phân bố thống kê của hệ không đổi dọc theo quỹ đạo pha của
hệ.
Giải:
Do các hạt của hệ chuyển động không ngừng nên các điểm pha mô tả trạng thái của hệ cũng

chuyển động không ngừng trong không gian pha. Do tổng số các điểm pha không đổi nên
chuyển động của các điểm pha giống như sự chảy dừng của một chất lỏng không nén được. Vì
vậy ta có thể áp dụng phương trình liên tục cho quá trình này. Phương trình liên tục có dạng :
( ) 0 (1)v
t
ρ
ρ
∂
 
+∇ =
 ÷
∂
 
r
trong đó
ρ
là hàm phân bố thống kê, với
), ,,, ,(
11 ss
ppqqv
&&&&
r
=
là vận tốc của điểm pha trong
không gian pha 2f chiều.
Do đó ta có :
Tích vô hướng của
.( )v
ρ
∇

r
Trang4
DH9L
1 1 1
( ) ( ) ( ) . (3)
f f f
i i
i i i i
i i i
i i i i i i
q p
v q p q p
q p q p q p
ρ ρ
ρ ρ ρ ρ
= = =
     
∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
∇ = + = + + +
 ÷  ÷
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
∑ ∑ ∑
r
& &
& & & &
Từ phương trình chính tắc Hamilton:

,
i i
i i
H H
q p
p q
∂ ∂
= = −
∂ ∂
& &
với
),( pqHH =
là hàm Hamilton của hệ.
2 2
1 1
1 1
(3) 0
à (4)
f f
i i
i i
i i i i i i
f f
i i
i i
i i i i i i
q p
H H
q p q p p q
H H

v q p
q p q p p q
ρ ρ
ρ ρ ρ ρ
= =
= =
   
∂ ∂
∂ ∂
⇒ + = − =
 ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
   
   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ = −
 ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
   
∑ ∑
∑ ∑
& &
& &
Từ (2) và (3) vào (4) suy ra:
1
0
f
i
i i i i
H H

t q p p q
ρ ρ ρ
=
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ − =
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
∑
Hay:
[ ]
, 0 (5)H
t
ρ
ρ
∂
+ =
∂
trong đó
[ ]
1
,
f
i
i i i i
H H
H
q p p q
ρ ρ

ρ
=
 
∂ ∂ ∂ ∂
= −
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂
 
∑
gọi là ngoặc Poisson giữa
ρ
và
H
Mặt khác, ta lại có : nếu
),,( tpq
ωω
=
thì
[ ]
, (6)
d
H
dt t
ρ ρ
ρ
∂
= +
∂
(6)
Từ (5) và (6) ta có :

0
d
dt
ρ
=
hay
const
ρ
=
(7)
Vậy dọc theo quỹ đạo pha thì hàm phân bố của hệ là không đổi theo thời gian.
Phương trình (5) được viết lại là :

[ ]
, H
t
ρ
ρ
∂
= −
∂
hay
[ ]
,H
t
ρ
ρ
∂
=
∂

(8)
là phương trình định lí Liouville
5.@/ Biết:
k
k k
H
A
a a
ψ
∂ ∂
= − = −
∂ ∂
và phương trình cơ bản của nhiệt động lực học:
Hãy chứng minh:
ψ
ϕ
θ
∂
= −
∂
Từ
(1)
k
k k
H
A
a a
ψ
∂ ∂
= − = −

∂ ∂
và
(2)
H
H
ψ
θ ψ
θ
ψ
ψ θ
θ
∂
 
= −
 ÷
∂
 
∂
 
⇔ − = −
 ÷
∂
 
Lấy vi phân phương trình (2)ta được:
. (3)d H d d
ψ
ψ θ
θ
∂
 

− = −
 ÷
∂
 
Trang5
DH9L
Từ (1)
(4)
k k
k k
k
A a d A da
ψ ψ
⇒ ∂ = − ∂ ⇒ − =
∑
Thế (4) vào (3):
.
k
k
k
d H A da d
ψ
θ
θ
∂
 
+ = −
 ÷
∂
 

∑
Đối chiếu với:
i
i
i
dU A da TdS+ =
∑
Suy ra:
dS d
ψ
θ
∂
 
= −
 ÷
∂
 
hay: đại lượng
ψ
θ
∂
 
−
 ÷
∂
 
chính là entropi thống kê của
ϕ

Do đó:

ψ
ϕ
θ
∂
= −
∂
(đpcm)
Với:
kT
S
T
θ
ψ
=
∂
⇒ = −
∂
6.@/ Chứng minh entropi s tỉ lệ nghịch với trung bình pha của loragic mật độ xác xuất.
Từ biểu thức:
à
H
S
v
k
ψ ψ
ϕ
θ θ
ϕ
∂ −
= − =

∂
=
Suy ra:
(1)
H H
S k k
ψ ψ
θ θ
− −
= = −
do
àv
θ ψ
không phụ thụ vào X nên ta có thể viết lại biểu thức (1):
exp (2)
X
H H
S k dX
ψ ψ
θ θ
− −
 
= −
 ÷
 
∫
Mặt khác khi lấy ln hàm phân bố xác xuất:
( )
exp
X

H
ψ
ω
θ
−
 
=
 ÷
 
( )
ln ln exp (3)
X
H H
ψ ψ
ω
θ θ
 −  −
 
= =
 ÷
 
 
 
Từ (2) (3) suy ra:
( ) ( )
( )
ln .
.ln
X X
X

X
S k dX
S k
ω ω
ω
= −
⇒ = −
∫
Vậy entropi s tỉ lệ nghịch với trung bình pha của loragic mật độ xác xuất.
7.@/ Thiết lập phân bố Maxwell – Boltzmann:
Xét hệ N hạt đồng nhất không tương tác nhau, nằm trong trạng thái cân bằng nhiệt động
ở nhiệt độ T. Khi đó hàm Hamilton H (X,a) của hệ trùng với năng lượng E(X) và có dạng
∑
=
=
N
i
i
H
1
ε
, với
i
ε
là năng lượng của hạt thứ i. Khi đó xác suất để hệ ở trong trạng thái có năng
lượng E(X) và ở trong yếu tố thể tích dX của không gian pha là :
Trang6
DH9L
1
1

1
( ) . .exp .
H H
N
N
kT kT
i i i
i
i
dW X e dX const e dX const dr dp
kT
ψ
ε
−
−
=
=
 
= = = −
 ÷
 
∑
∏
r r
Hay:
1 1
( ) .exp ( , ) (1)
N N
i
i i i i

i i
dW X const drdp dW r p
kT
ε
= =
 
 
= − =
 ÷
 
 
 
∏ ∏
r r r r
Trong đó:
( , ) .exp (2)
i
i i i i
dW r p const drdp
kT
ε
 
= −
 ÷
 
r r r r
Biểu thức (2) chính là xác suất để hạt thứ i có năng lượng bằng
i
ε
, có tọa độ nằm trong

khoảng từ
i
r
r
đến
ii
rdr
rr
+
và có xung lượng nằm trong khoảng từ
i
p
r
đến
ii
pdp
rr
+
.
Xét phân bố (2) trong không gian pha 6 chiều của một hạt (không gian µ).
Năng lượng
i
ε
của một hạt riêng lẻ biểu thị qua động năng và thế năng phụ thuộc vào xung
lượng và tọa độ của hạt là
),,(
2
222
zyxU
m

ppp
zyx
i
+
++
=
ε
.
Do đó, phân bố (2) được viết lại là :
2 2 2
( , , )
( , , , , , ) .exp . (3)
2
x y z
x y z x y z
p p p
U x y z
dW x y z p p p const dxdydz dp dp dp
mkT kT
 
+ +
= − −
 ÷
 ÷
 
Đây chính là phân bố Maxwell – Boltzmann.
Biểu thức (3) còn được viết lại dưới dạng:
( , , , , , ) ( , , ). ( , , ) (4)
x y z x y z
dW x y z p p p dW x y z dW p p p=

Trong đó :
2 2 2
( , , ) .exp (5)
2
x y z
x y z x y z
p p p
dW p p p A dp dp dp
mkT
 
+ +
 
= −
 
 
 
là phân bố Maxwell theo xung lượng
Và:
( , , )
( , , ) exp (6)
U x y z
dW x y z B dxdydz
kT
 
= −
 ÷
 
là phân bố Boltzmann trong trường lực
Xét phân bố Maxwell theo xung lượng, sử dụng tích phân Poisson:
{ }

a
dxax
π
=−
∫
+∞
∞−
2
exp
để
chuẩn hóa hàm phân bố (5) :
( )
( )
2
2
2
3
2
3
2
1 . exp . exp . exp . 2
2 2 2
2
y
x
z
x y z
p
p p
A dp dp dp A mkT

mkT mkT mkT
A mkT
π
π
+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞
−
 
 
 
 
= − − − =
     
 
 
 
 
⇒ =
∫ ∫ ∫
Mà:
vmp
rr
=
nên:
),,(),,(
zyxzyx
vvvdWpppdW =
và
2222
)(mvppp

zyx
=++
.
Vậy phân bố Maxwell theo xung lượng ở (5) được viết thành phân bố Maxwell theo vận tốc:
zyxzyx
dvdvdv
kT
mv
kT
m
vvvdW






−






=
2
exp
2
),,(
2

2
3
π
Trong hệ tọa độ cầu thì
2
sin . . .
x y z
dv dv dv v d d dv
θ θ φ
=
, lấy tích phân theo hai biến
θ
và
ϕ
, khi
đó phân bố theo vận tốc trở thành :
3
2
2
2
( ) ( , , ) 4 .exp ( )
2 2
x y z
m mv
dW v dW v v v v dv v dv
kT kT
π ω
π
+∞
−∞

 
 
= = − =
 
 ÷
 
 
∫
với:
3
2
2
2
( ) 4 .exp
2 2
m mv
v v
kT kT
ω π
π
 
 
= −
 
 ÷
 
 
là hàm phân bố vận tốc.
Trang7
DH9L

Xét phân bố Boltzmann trong trường lực ở (6) cho khí lí tưởng ở trong trường trọng lực. Thế
năng của hạt trong trường trọng lực là
mgzzUzyxU == )(),,(
nên phân bố Boltzmann ở (6) trở
thành :
( ) .exp
mgz
dW z B dz
kT
 
= −
 
 
Với N là tổng số hạt của hệ thì số hạt ở độ cao từ
z
đến
dzz +
là :
Trang8