Đề thi phát hiện học sinh giỏi lớp 8 năm học 20082009 Phòng GDĐT huyện Yên Thành

Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành

Đề thi phát hiện học sinh giỏi lớp 8 năm học 2008-2009
Môn :Toán
Thời gian làm bài 120 phút
Câu1: (2,0 điểm)
Cho biểu thức P =
2
1
4 3
3
n n
x x
x x
+
+

a, Tìm điều kiện để P có nghĩa rồi rút gọn P
b, Tính giá trị của biểu thức P tại
x
= 1
Câu2: (3 điểm)
a, Giải phơng trình
(x - 1)(x + 1)(x
2
- 2 ) = 6
b, Cho a, b, c l là các số hữu tỷ khác 0 thoả mãn a + b + c = 0
Chứng minh rằng:
M =
1 1 1

2 2 2
+ +
a b c
là bình phơng của một số hữu tỷ.
B i 3:(4điểm)
Cho tam giác vuông cân ABC (â=90
0
). Trên cạnh AB lấy điểm M (M

A; M

B).
Kẻ BD vuông góc với CM, BD cắt CA tại E. Chứng minh:
a. EB.ED = EA.EC
b.ADE = 45
0
.
c. BD.BE + CA.CE không đổi
Bài 4: (1.0điểm)
Cho S =
3 3 3 3
1 2 3 2009
a a a a+ + + +
; P =
1 2 3 2009
a a a a+ + + +
Trong đó
1 2 3 2009
a ;a ;a ; ;a
là các số nguyên.

Chứng minh rằng: S
M
6 P
M
6
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Đáp án và biểu điểm
Kỳ thi phát hiện học sinh giỏi lớp 8 môn Toán
Câu Nội dung Điểm
1
(2đ)
a, Đkxđ:
0
3
x
x






P =
2
1
4 3
3
n n
x x

x x
+
+

0,25
0,5
P =
(3 )( 1)
(3 )
n
x x
x x



P =
1
n
x
x

0,25
b,
x
= 1

1
1
x
x

=


=


+ Nếu x = 1 thì P = 0
+ Nếu x = -1; n chẳn thì P = - 2,
n lẻ thì P = 2
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
2
(3đ)
a, (x - 1)(x + 1)(x
2
- 2) = 6


(x
2
- 1)(x
2
-2) = 6 (1) Đặt x
2
- 1 = a
Do đó (1)

a(a - 1) = 6

a
2
- a - 6 = 0


(a - 3)(a + 2) = 0

3
2
a
a
=


=


Nếu a = 3 thì x
2
- 1 = 3

x
2
= 4

2
2
x

x
=


=


Nếu a = -2 thì x
2
- 1 = -2

x
2
= -1

x không tồn tại
Vậy nghiệm của phơng trình là:x = 2; x= -2
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
b, Ta có:
Vậy M là bình phơng
của một số hữu tỷ
0,5
0,5
0,5
3
(4đ)

a
AEB ~ DEC (Vì là 2 tam giác vuông có chung góc E)
Nên
ED
EA
=
EC
EB
vậy EB. ED= EA. EC C
H
M
A B
D
1,0
( )
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2
2 2 2
2
1 1 1
2
2
1 1 1

ữ ữ


ữ

ữ

+ + = + + + +
+ +
= + +
= + +
a b c ab bc ac
a b c
a b c
a b c abc
a b c
E
b
Từ EB. ED= EA. EC ta có
EC
ED
=
EB
EA
và Góc E chung nên tam giác
EDA đồng dạng với tam giác ECB. Nên ADE = C ( mà C = 45
0
)
Vậy góc ADE = 45
0
1,0
c
Ta có M là trực tâm của tam giác ECB.
Gọi H là giao điểm của EM và CB nên EH

CB
Tơng tự câu a ta có: BD. BE = BH. BC
CA. CE = CH. CB
Vậy BD. BE + CA. CE = BC(CH + BH) = BC
2
1,0
4
(1đ)
Ta có:
3
k
- k
M
6 ( với k
Â
)
Thật vậy:
3
k
- k = k(k - 1)(k + 1). Mà k, k - 1, k + 1 là ba số nguyên
liên tiếp nên có một số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3
mà (2; 3) = 1 và 2.3 = 6 vậy k(k - 1)(k + 1)
M
6
S - P =
3 3 3
1 1 2 2 2009 2009
(a a ) (a a ) (a a ) 6 + + + M
Vì

3 3 3
1 1 2 2 2009 2009
a a 6;a a 6; ;a a 6 M M M
.
Do đó S
M
6 P
M
6 (đpcm)
0,25
0,25
0,25
0,25