Đề thi và đáp án vào lớp 10THPT (2013) Nghệ An

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2013 – 2014
Môn thi: TOÁN.
Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (2,0 điểm)
Cho biểu thức P =
2 1 1
:
4
2 2
x
x x
 
+
 ÷
−
+ +
 
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tìm x để P =
3
2
Câu 2. (1,5 điểm)
Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 100 m. Nếu tăng chiều rộng 3 m và giảm
chiều dài 4m thì diện tích giảm 2 m
2
. Tính diện tích của mảnh vườn.
Câu 3. (2,0 điểm)
Cho phương trình bậc hai: x
2

– 2(m + 1)x + m
2
+ 4 = 0 (m là tham số)
a) Giải phương trình khi m = 2
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn: x
1
2
+ 2(m+1)x
2

≤
3m
2
+ 16
Câu 4. (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BE, CF
cắt nhau tại H. Tia AO cắt đương tròn (O) tại D.
a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn
b) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành.
c) Gọi M là trung điểm của BC, tia AM cắt HO tại G. Chứng minh G là trọng tâm
của tam giác ABC.
Câu 5. (1,0 điểm)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1.
Chứng minh rằng:
2 2 2
a b c 1

+ +
a+b b+c c+a 2
≥
Hết
Đề chính thức
ĐÁP ÁN:
Câu 1:
a) ĐKXĐ: x
≥
0, x
≠
4
Rút gọn: P =
( ) ( )
2 2 2
1
2
2 2
x x x
x
x x
+ − −
× =
−
− +
b) P =
3
2

⇔

( )
3
2 3 2 6 36
2
2
x
x x x x
x
= ⇔ = − ⇔ = ⇔ =
−
(thỏa mãn)
Câu 2: Gọi chiều rộng của mảnh vườn là x, chiểu dài là y (ĐK: 0 < x < 50; 4< y < 50)
Diện tích mảnh vườn là xy (m
2
)
Chu vi mảnh vườn là 100m nên ta có pt: x + y = 50
Theo giả thiết sau: chiều rộng là x + 3 (m), chiều dài là y – 4 (m)
Ta có pt: xy – (x + 3)(y – 4) = 2
ta có hệ pt:
( ) ( )
x + y = 50
50 20
xy – x 3 y – 4 2
4 3 10 30
x y x
x y y

+ = =
 


⇔ ⇔
  
+ =
− = − =

 

(thỏa mãn)
Vậy diện tích mảnh vườn là 20.30 = 600 (m
2
)
Câu 3:
a) với m = 2, ta có Pt: x
2
– 6x + 8 = 0 => x
1
= 2, x
2
= 4
b) Xét pt (1) ta có:
'∆
= (m + 1)
2
– (m
2
+ 4) = 2m – 3
phương trình (1) có hai nghiệm x
1
, x

2

⇔
m
3
2
≥
Theo hệ thức Vi-et:
1 2
2
1 2
2( 1)
4
x x m
x x m
+ = +



= +


Theo giả thiết: x
1
2
+ 2(m+1)x
2

≤
3m

2
+ 16 <=> x
1
2
+ (x
1
+ x
2
)x
2

≤
3m
2
+ 16
<=> x
1
2
+ x
2
2
+ x
1
x
2

≤
3m
2
+ 16

<=> (x
1
+ x
2
)
2
- x
1
x
2

≤
3m
2
+ 16
=> 4(m + 1)
2
– (m
2
+ 4)
≤
3m
2
+ 16
<=> 8m
≤
16 <=> m
≤
2
Vậy:

3
2
≤
m
≤
2
Câu 4:
a) Tứ giác BCEF có:
·
·
0
BEC BFC 90= =
(gt)
=> Tứ giác BCEF nội tiếp
b) Ta có
·
BAD
= 90
0
(góc nội tiếp chắn nửa đtròn)
=> BD
⊥
AB mà CH
⊥
AB => BD // CH
C/m tương tự: CD // BH
=> BHCD là hình bình hành
c) BHCD là hình bình hành , M là trung điểm của BC
=> M là trung điểm của HD
G

M
H
E
F
D
O
A
B
C
=> OM là đường trung bình của
∆
AHD
=> MO =
1
2
AH
+ C/m được
∆
MGO ഗ
∆
AGH (g.g) =>
1
2
MG MO
AG AH
= =

=> MG =
1
2

AG => AG =
2
3
AM
Mà AM là đường trung tuyến của
∆
ABC
=> G là trọng tâm của
∆
ABC
Câu 5: Ta c/m BĐT:
( )
2
2 2
a b
a b
x y x y
+
+ ≥
+
(1) với a, b, x, y > 0
(1) <=>
( ) ( )
2 2
2
a b
x y a b
x y
 
+ + ≥ +

 ÷
 
<=>
( )
2
0ay bx− ≥
(đúng)
Áp dung BĐT (1), ta có:
( ) ( )
2 2
2 2 2
a b c 1
+ +
a+b b+c c+a 2
a b a b c
a b b c a b b c c a
+ + +
≥ ≥ ≥
+ + + + + + + +