ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 2016 Môn: Toán (Chuyên Toán)

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: Toán (Chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1(2,0 điểm).
Cho biểu thức:
2x
: 1
1
1 1
x y x y
x y y
P
xy
xy xy
 
+ −
 
+ +
= + +
 ÷
 ÷
 ÷
−
− +
 
 

(với
0, 0, 1x y xy≥ ≥ ≠

) .
a) Rút gọn biểu thức
P
.
b) So sánh
P
và
P
.
Câu 2 (2,0 điểm).
a) Giải phương trình:
10x 1 3 5 9 4 2x 2x x+ + − = + + −
.
b) Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho điểm
( )
2;1I
. Tìm tọa độ các điểm
,A B

tương ứng thuộc các tia
Ox
,
Oy
sao cho tổng
IA IB AB+ +
có độ dài nhỏ nhất.
Câu 3 (1,0 điểm).
Tìm số nguyên

2008n >
sao cho:
2008 2012 2013 2014 2016
2 2 2 2 2 2
n
+ + + + +
là
số chính phương.
Câu 4 (4,0 điểm).
Cho nửa đường tròn
( )
O;R
, đường kính
AD
cố định. Vẽ tứ giác
ABCD
nội
tiếp nửa đường tròn
( )
;O R
. Gọi
I
là giao điểm của
AC
và
BD
;
K
là hình chiếu
của

I
trên
AD
.
a) Chứng minh
I
là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
BCK
.
b) Gọi
F
là giao điểm của
CK
và
BD
. Chứng minh:
. .BI DF BD IF=
.
c) Gọi
E
là trung điểm của
ID
. Chứng minh:
2
.ED EB EF=
.
d) Xác định vị trí điểm
B
để bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
ABD

lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó theo
R
.
Câu 5 (1,0 điểm).
Cho các số thực dương
, ,a b c
thỏa mãn
2a 3 4 2015b c+ + =
. Chứng minh :
3 4 2020 2a 4 2020 2a 3 2020
15
1 2a 1 3 1 4
b c c b
b c
+ + + + + +
+ + ≥
+ + +
.
HẾT
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Giám thị 1: Giám thị 2:
UBND TỈNH HÀ NAM
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN
CHẤM TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: Toán (Chuyên Toán)
( Hướng dẫn chấm này gồm 4 trang )

Câu Nội dung Điể
m
Câu 1
a)
1,25
điể
m
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1
1 2
:
1
1 1
x y xy xy x y
xy x y xy
P
xy
xy xy
 
+ + + − −
− + + +
 ÷
=
 ÷
−
− +
 
0,5
2 2 1

.
1 1
x y x xy
xy x y xy
+ −
=
− + + +
0,5
( )
( ) ( )
2 1
2
1 1 1
x y
x
x y x
+
= =
+ + +
0,25
b)
0,75
điể
m
Ta có :
0 0P x≥ ∀ ≥
0,25
Lại có
1 2x x+ ≥
với

0x ≥
nên
2 2
1
1
2
x x
P
x
x
= ≤ =
+
0,25
Vậy
0 1P P P≤ ≤ ⇒ ≤
. 0,25
Câu 2
a)
1,0
điể
m
ĐK :
5 / 3x ≥
phương trình ban đầu trở thành :

( ) ( )
10 1 9x 4 3x 5 2x 2 0x + − + + − − − =
0,25
3 3
0

10x 1 9x 4 9x 4 2x 2
x x− −
⇔ + =
+ + + + + −
0,25
( )
1 1
3 0
10x 1 9x 4 9x 4 2x 2
x
 
⇔ − + =
 ÷
+ + + + + −
 
0,25
3x⇔ =
(thỏa mãn) vì
1 1 5
0
3
10x 1 9x 4 9x 4 2x 2
x+ > ∀ ≥
+ + + + + −

Vậy pt có tập nghiệm
{ }
3S =
.
0,25

b)
1,0
điể
m
Gọi
K
đối xứng với
I
qua tia
Oy
, suy ra
( )
2;1K −
Gọi
H
đối xứng với
I
qua tia
Ox
, suy ra
( )
2; 1H −
0,25
Ta có:
,AI AH BI BK= =
suy ra
IA IB AB AH AB BK HK+ + = + + ≥
0,25
Dấu "="
⇔

, , ,H A B K
thẳng hàng hay
,A B
là giao điểm của đường
thẳng
HK
với tia
,Ox Oy
tương ứng.
0,25
2
phương trình
1
:
2
HK y x
−
=
, suy ra
( )
0;0A B O≡ ≡
. 0,25
Câu 3
1,0
điểm
Ta có:
( )
( )
2008 2012 2013 2014 2016
2008 4 5 6 8 2008

2008 2008
2 2 2 2 2 2
2 1 2 2 2 2 2
2 369 2
n
n
n
−
−
+ + + + +
= + + + + +
= +
là số chính phương khi và chỉ khi
2008 2
369 2
n
b
−
+ =
với
*
b∈¥
.
0,25
Đặt
2008a n
= −
là số nguyên dương , ta có pt :
2
369 2

a
b+ =
Xét trong hệ đồng dư
d3mo
ta có:
( ) { } ( ) { } ( )
2
369 0 mod3 ;2 1;2 mod3 ; 0;1 mod3
a
b≡ ≡ ≡
Suy ra
( )
2 1 mod3
a
≡
suy ra
a
là số chẵn hay
*
2a c c= ∈¥
.
0,5
Phương trình trở thành :
( ) ( )
2 2 2
369 2 41.3.3 2 2
c c c
b b b= − ⇔ = − +
Do
2 2

c c
b b+ > −
suy ra :

( )
( ) ( ) ( )
{ }
( )
( ) ( ) ( )
{ }
( ) ( )
{ }
2 ; 2 41;9 ; 369;1 ; 41.3;3
;2 25;16 ; 185;184 ; 63;60
; 25;4
c c
c
b b
b
b c
+ − ∈
⇔ ∈
⇔ ∈
Vậy
2008 2 2008 2016n a c= + = + =
là số cần tìm.
0,25
Câu 4
a)
1,0

điểm
Ta có
·
0
90ABD =
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

·
0
90AKI =
(gt)
Suy ra tứ giác ABIK nội tiếp
·
·
IBK CAD⇒ =

0,25
Lại có
·
·
IBC CAD=
(cùng chắn
»
CD
)
Suy ra
·
·
IBK IBC=

⇒
BI là phân giác góc
·
CBK
0,25
Chứng minh tương tự có
CI
là phân giác
·
BCK
0,25
3
A
K
E
F
I
B
C
D
.
O
Vậy
I
là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCK.
0,25
b)
1,0
điểm
Ta có CI là đường phân giác trong của tam giác BCF, suy ra :

BI CB
IF CF
=
(1) ( t/c đường phân giác của tam giác)
0,25
Lại có
·
0
90ACD CD CI= ⇒ ⊥ ⇒
CD là phân giác ngoài của tam giác
BCF
0,25
suy ra :
( )
2
BD CB
DF CF
=
( t/c đường phân giác của tam giác) 0,25
Từ (1) và (2), có :
. .
BI BD
BI DF BD IF
IF DF
= ⇔ =
0,25
c)
1,0
điểm
Ta có KE là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác tam giác IKD

/ 2KE ED ID⇒ = =
⇒
tam giác KED cân tại E
·
·
2BEK BDA⇒ =
( t/c góc ngoài của tam giác)
Mà
·
·
BDA BCA=
(2 góc nội tiếp cùng chắn
»
AB
)
Suy ra
·
·
( )
2 3BEK BCA=
0,25
Mặt khác CI là phân giác
·
BCK
( chứng minh trên)
·
·
( )
2 4BCK BCA⇒ =
Từ (3) và (4) suy ra

·
·
BEK BCK=
, suy ra tứ giác BCEK nội tiếp.
0,25
Suy ra
·
·
·
EKC EBC EBK= =
EKF⇒ ∆
đồng dạng
EBK
∆
.
2
.EK EB EF⇒ =
0,25
Mà
EK ED=
( chứng minh trên)
Suy ra :
2
.ED EB EF=
0,25
d)
1,0
điểm
Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABD vuông tại B, suy
ra :

2r AB BD AD AB BD R
= + − = + −
Suy ra
r
lớn nhất
AB BD⇔ +
lớn nhất.
0,25
Ta có :
( )
( )
2
2 2 2 2
2 2 8AB BD AB BD AD R+ ≤ + = =

2 2AB BD R⇒ + ≤
( dấu " =" xảy ra khi
2AB BD R= =
)
0,25
Suy ra
( )
2 2 2 2r AB BD R R= + − ≤ −
0,25
Vậy
( )
max 2 2 1r R= −
khi và chỉ khi
»
»

AB BD AB BD= ⇔ = ⇔
B là
điểm chính giữa
»
AD
.
0,25
Câu 5
1,0
Đặt
2 1; 3 1; 4 1x a y b z c= + = + = +
thì bất đẳng thức trở thành : cho
, ,x y z
là
các số thực dương thỏa mãn
2018x y z+ + =
chứng minh :
2018 2018 2018
15
y z x z x y
x y z
+ + + + + +
+ + ≥
(*)
0,25
Ta có:
0,5
4

1 1 1

(*) 2018
9
2 2 2 2018. 15
x y y z z x
VT
y x z y x z x y z
x y z
     
 
= + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 ÷
 
     
≥ + + + =
+ +
Dấu “=”
2018 2015 2015 2015
; ;
3 6 9 12
x y z a b c⇔ = = = ⇔ = = =
0,25
Chú ý: Mọi cách làm khác mà đúng đều cho điểm tương đương.
HẾT
5