ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN VONG I

PHÒNG GD-ĐT HUYỆN DIỄN CHÂU
TRƯỜNG THCS DIỄN TRƯỜNG

ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN VONG I
NĂM HỌC 2011-2012
Môn Toán 9- (Thời gian làm bài 120 phút)
Câu I.(6đ)
Cho biểu thức
1
1
:
1
1
1
1
22
2
−−+
+








−
+
−
+

=
xxxx
x
x
x
x
P
a. Rút gọn biểu thức
b. Tìm giá trị của x để P có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó
c. Tính gia trị của P khi
53−=x
Câu 2. (4đ)
a. Cho hai số x và y là hai số dương và x
3
+y
3
= x-y.
Chứng minh rằng : x
2
+ y
2
<1
b. Chứng minh rằng , nếu
2
111
=++
cba
và a + b + c = abc
thì ta có:
2

111
222
=++
cba
Câu III. (5đ)
a. Chứng minh rằng : n(n+2)(25n
2
-1)

24 với
Nn
∈∀

b. Giải phương trình:
21212 =−−+−+ xxxx
Câu IV.(5đ)
1. Cho hình thang vuông ABCD (
0
90
ˆ
ˆ
== DA
), O là trung điểm của AD và
góc BOC=90
o
. Gọi E là giao điểm của BO và CD.
a. Chứng minh tam giác BCE cân tại C
b. Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AD
2. Cho tam giác ABC với hai phân giác BD và CE. Gọi M là một điểm
trên đoạn thẳng DE. Chứng minh rằng khoảng cách đến BC bằng

tổng khoảng cách từ M đến AB và AC.

Trêng THCS DiÔn Trêng - DiÔn Ch©u - NghÖ An
Gi¸o viªn : Phan Huy H¶i
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHON HSG VÒNG I NĂM HỌC 2011-2012 HUYỆN DIỄN CHÂU
Câu I.(6đ)
a. ĐKXĐ:
1;0 ≠≥ xx
Rút gon biểu thức
2−−= xxP
b. Biến đổi
∈∀−≥−+−= xxP ;
4
9
)
4
9
()
2
1
(
2
ĐKXĐ
Suy ra GTNN của P là -9/4 khi x=1/4
c. Khi

2
15
53 =⇒
−

=⇒−= Pxx
Câu II.
(4đ)
a. Ta có : y+y
3
= x(1-x
2
)>0 ; (vì x;y>0)
Suy ra 0<x
2
<1 hay 0<x<1
Mà x
3
+y
3
= x-y>0 (vì x;y>0)
Suy ra 0<y<x<1
Áp dung bất đẳng thức Bunhiakopsky ta có:
(Vì
1
)111
1))(()()(
22
2222
2233233222
<+⇒
<−<−⇒<
<−=++≤+=+
yx
yyxx

yxyxyxyyxxyx

b. Do :
⇒=++ 2
111
cba
4)
111
(2
111
222
=+++++
cabcabcba
(1)
Và a + b + c = abc
1
111
=++⇒
cabcab
(2)
Từ (1) và (2)
2
111
222
=++⇒
cba
Câu III.
(5đ)
a. Ta có: A=n(n+2)(25n
2

-1) = n(n+2)(24n
2
+n
2
-1)
= n(n+2)24n
2
+ n(n+2) (n
2
-1)
= n(n+2)24n
2
+ (n-1)n(n+1)(n+2)
Vì n(n+2)24n
2


24
Nếu n = 0 hoặc n =1 thì (n-1)n(n+1)(n+2) = 0
⇒
A

24
Nếu n>1 thì (n-1)n(n+1)(n+2) là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp

⇒
(n-1)n(n+1)(n+2)

3 và (n-1)n(n+1)(n+2)


8
Mà (3 ; 8)=1
⇒
(n-1)n(n+1)(n+2)

24
⇒
A

24
b. ĐKXĐ :
1≥x

21212 =−−+−+ xxxx

21111
21111
2)11()11(
22
=−−++−⇔
=−−++−⇔
=−−++−⇔
xx
xx
xx
Ta có
211111111 =−−++−≥−−++− xxxx

Trêng THCS DiÔn Trêng - DiÔn Ch©u - NghÖ An
Gi¸o viªn : Phan Huy H¶i

Dấu “=” xẩy ra khi
0)11)(11( ≥−−+− xx

2≤⇔ x
Kết hợp vơi ĐKXĐ
21
≤≤⇒
x
Câu IV.
(5đ)
1.
a. Chứng minh tam giác BCE cân tại C

∆
AOB =
∆
DOE
⇒
OB = OE
Mà OC
⊥
BE
⇒
∆
CBE cân tại C
b.
- Hạ OH
⊥
BC .
⇒

OH = OD
(
∆
CBE cân tại C
⇒
CO là tia phân giác
của góc C)

- Mà O là tâm của đừơng tròn đường kính AD

⇒
BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kinh AD
2
Từ D, hạ DL
⊥
AB; DR
⊥
BC
Từ E, hạ EQ
⊥
BC; EN
⊥
AC
Trêng THCS DiÔn Trêng - DiÔn Ch©u - NghÖ An
Gi¸o viªn : Phan Huy H¶i
B
A
C
D
E

O
B
H
A
D
C
R
H
Q
B
E
KN
P
M
S
L
Ta có:
ED
MDEQ
ED
MDEN
MK
ED
MD
EN
MK
==⇒=


ED

EMDR
ED
EMDL
MP
ED
EM
DL
MP
==⇒=
⇒
ED
EMDRMDEQ
ED
EMDR
ED
MDEQ
MPMK
+
=+=+
(3)
*Nếu ED//AB
⇒
EQ=DR=MH
⇒
MH
ED
EMMDMH
ED
EMDRMDEQ
MPMK =

+
=
+
=+
)(
*Nếu ED không song song vơi AB
⇒
ED cắt AB tại S
Xét
∆
SDR có EQ//MH//DR.
Theo Talet
SM
MD
SM
SMSD
MH
MHDR
SM
SD
MH
DR
=
−
=
−
⇒=⇒
(4)

EM

SM
SESM
SM
EQMH
MH
SE
SM
EQ
MH
=
−
=
−
⇒=
(5)
Nhân (4) và (5) vế theo vế ta có:

ED
EQMDDREM
MH
EQMDDREMEMMDMH
EQMDDREMMHEMMHMD
MHEMDREMEQMDMHMD
MHDREMEQMHMD
EM
MD
EQMH
MHDR

)(

)()(
+
=⇒
+=+⇒
+=+⇒
−=−⇒
−=−⇒=
−
−
(6)
Từ (3) Và (6)
⇒

MHMPMK =+


Trêng THCS DiÔn Trêng - DiÔn Ch©u - NghÖ An
Gi¸o viªn : Phan Huy H¶i