Đề thi chọn học sinh giỏi toán lớp 9 Trường THCS Thị Trấn Neo

Trờng THCS Thị Trấn Neo Đề thi chọn học sinh giỏi toán lớp 9
Thời gian làm bài : 90 phút
Bài 1: (2 điểm)
a, Rút gọn biểu thức :
223
15
2525

+
++
b, Chứng minh rằng: 2
32 +
là số vô tỉ
Bài 2: (2 điểm)
Cho biểu thức A=
12221222 + xxxx
a, Rút gọn biểu thức A
b, Tìm x để A<
2
Bài 3: (2 điểm)
a, Cho x+y+z = 0 và x, y, z khác 0 .
Chứng minh
zyx
zyx
111111
222
++=++
b, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Q = 5x
2
+ 4y

2
+ 18x - 12y - 4xy - 1990
Bài 4: (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đờng cao AH. Gọi D, E lần lợt là hình
chiếu của H trên AB, AC .
a, Chứng minh: AD.AB = AE.AC
b, Biết BH =
32
; CH =
32 +
. Tính BC và diện tích tứ giác BCED .
Bài 5: (1,5 điểm)
Tính cotg75
0
mà không dùng bảng số và máy tính.
Hớng dẫn chấm Toán 9
Bài Nội dung giải tóm tắt Điểm
1a,
Đặt m =
15
2525
+
++
, n =
223
Tính đợc: m
2
= 2 nên m =
2

n =
12
Đáp số: 1
0,5
0,5
1b,
* Giả sử 2
32 +
không là số vô tỉ, suy ra tồn tại số hữu tỉ a để
a = 2
32 +
khi đó
4
11
6
2

=
x
là số hữu tỉ . điều này vô lí (vì
6
là số vô tỉ)
* Chứng minh
6
là số vô tỉ
0,5
0,5
2a,
2b,
* Điều kiện:

2
1
x
* Kết quả rút gọn: Nếu
1

x
thì A =
2
Nếu
1
2
1
x
thì A =
24 x
A <
2
khi
1
2
1
x
0,25
0,5
0,5
0,75
3a,

+++++=








++
zxyzxy
zyx
zyx
111
2
111
222
2
111

zyx
zyx
xyz
zyx

222
222
111
)(2111
++=
++
+++=
suy ra ĐPCM
0,25
0,25
0,5
3b, Q = (x-2y+3)
2
+ (2x+3)
2
- 2008

- 2008 với mọi x,y.
Q = - 2008 khi x = - 1,5 và y = 0,75
Giá trị nhỏ nhất của Q là -2008, đạt đợc khi x = - 1,5 và y = 0,75
0,5
0,25
0,25
4a,
A
B
H
D
E
- Tam gi¸c ADE ®ång d¹ng víi tam gi¸c ACB.

Suy ra: AD.AB = AE.AC
0,5
0,5
4b,
- TÝnh ®îc BC = BH + CH =
32 +
+
32 −
=
6
- TÝnh ®îc
12
65
=−=
SSS
ADEABCBCED
1
1
5 XÐt tam gi¸c ABC cã ¢ = 90
0
, AC = 1 , BC = 2
suy ra AB =
3
vµ gãc B = 30
0
, kÎ ph©n gi¸c BD. Theo tÝnh chÊt ®-
êng ph©n gi¸c:

32
23

1
−=
+
=
+
+
==
BCAB
DCAD
BC
DC
AB
AD
tg15
0
= cotg75
0
=
AB
AD
=
32 −

0,5
0,5
C