Đề thi và đáp án môn Toán (chuyên) của kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên tỉnh Bình Định, năm học 2009 - 2010

 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN 1 Bùi Văn Chi 
SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
BÌNH ĐNNH TRƯỜNG THPT CHUN LÊ Q ĐƠN
NĂM HỌC 2009 – 2010

Đề chính thức Mơn thi: TỐN (chun)
Ngày thi: 19/06/2009
Thời gian: 150 phút

Bài 1. (1,5 điểm)
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

a b c
1 2
b c c a a b
< + + <
+ + +


Bài 2. (2 điểm)
Cho 3 s
ố
phân bi
ệ
t m, n, p. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng ph
ươ

ng trình
1 1 1
0
x m x n x p
+ + =
− − −
có hai
nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.

Bài 3. (2 điểm)
V
ớ
i s
ố
t
ự
nhiên n, n
≥
3.
Đặ
t S
n
=
( ) ( )
( )
( )

1 1 1
3 1 2 5 2 3 2n 1 n n 1
+ + +
+ + + + +
⋯
.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng S
n
<

1
2
.

Bài 4. (3 điểm)
Cho tam giác ABC n
ộ
i ti
ế
p trong
đườ
ng tròn tâm O có
độ
dài các c
ạ
nh BC = a, AC = b, AB =

c.
E là
đ
i
ể
m n
ằ
m trên cung BC khơng ch
ứ
a
đ
i
ể
m A sao cho cung EB b
ằ
ng cung EC. N
ố
i AE c
ắ
t
c
ạ
nh BC t
ạ
i D.
a. Ch
ứ
ng minh: AD
2
= AB.AC – DB.DC

b. Tính
độ
dài
đ
o
ạ
n AD theo a, b, c.

Bài 5. (1,5 điểm)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
( )
2
m 1
2
n
n 3 2
− ≥
+
v
ớ
i m
ọ
i s
ố
ngun d
ươ

ng m, n.




 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN 2 Bùi Văn Chi 
GIẢI ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUN
THPT CHUN LÊ Q ĐƠN BÌNH ĐNNH
MƠN TỐN CHUN NĂM HỌC 2009 – 2010
Ngày thi: 19/06/2009 – Thời gian: 150 phút

Bài 1. (1,5 điểm)
Chứng minh:
a b c
1 2
b c c a a b
< + + <
+ + +
(với a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác)
Ta có:
m m k
n n k
+
<
+
, (v
ớ
i 0 < m < n,
∀
k > 0) (1)

Th
ậ
t v
ậ
y, (1)
⇔
0 < m(n + k) < n(m + k)
⇔
0 < mk < nk
⇔
0 < m < n (0 < m, n, k)
Áp d
ụ
ng: 0 < a < b + c
⇒

a 2a
b c a b c
<
+ + +

0 < b < c + a
⇒

b 2b
c a a b c
<
+ + +

0 < c < a + b

⇒

c 2c
a b a b c
<
+ + +

C
ộ
ng v
ế
theo v
ế
các b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c trên :
a b c 2(a b c)
2
b c c a a b a b c
+ +
+ + < =
+ + + + +
(2)
Ta ch
ứ
ng minh b

ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c ph
ụ
:
( )
1 1 1
x y z 9
x y z
 
+ + + + ≥
 
 
(x, y, z > 0)
Ta có:
( )
1 1 1
x y z
x y z
 
+ + + +
 
 
=
x y y z x z
3
y x z y z x

   
 
+ + + + + +
   
 
 
   
≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9
Thay x = a + b, y = b + c, z = c + a vào (2):
1 1 1
2(a b c) 9
a b b c c a
 
+ + + + ≥
 
+ + +
 

⇔

1 1 1 9
(a b c)
a b b c c a 2
 
+ + + + ≥
 
+ + +
 

⇔

c a c 9
1 1 1
a b b c a b 2
+ + + + + ≥
+ + +
⇔

a b c 9 3
3 1
b c c a a b 2 2
+ + ≥ − = >
+ + +
(3)
T
ừ
(2), (3) suy ra:
a b c
1 2
b c c a a b
< + + <
+ + +
.
Bài 2.(2 điểm)
Chứng minh phương trình
1 1 1
0
x m x n x p
+ + =
− − −

(1)
có hai nghiệm phân biệt (∀ m ≠n ≠ p)
Đ
i
ề
u ki
ệ
n xác
đị
nh c
ủ
a ph
ươ
ng trình: x
≠
m, n, p.
Bi
ế
n
đổ
i ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
đươ
ng:
(1)
⇔

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
x n x p x m x p x m x n 0
− − + − − + − − =

⇔
3x
2
– 2x(m + n + p) + mn + np + mp = 0
∆
’
= (m + n + p)
2
– 3(mn + np + mp) = m
2
+ n
2
+ p
2
– mn – np – mp =

( ) ( ) ( )
2 2 2
1
m n n p m p
2
 
− + − + −
 
> 0 (vì m
≠
n
≠
p)
V
ậ
y ph
ươ
ng trình (1) ln có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.

BO ẹE THI 10 CHUYEN 3 Buứi Vaờn Chi
Bi 3.(2 im)
Chng minh S
n
=
( ) ( )
( )

( )
1 1 1
3 1 2 5 2 3 2n 1 n n 1
+ + +
+ + + + +

, n N, n 3
Ta cú b

t

ng th

c:
2n 1 2 n(n 1)
+ > +


(2n + 1)
2
> 4n(n + 1)

4n
2
+ 4n + 1 > 4n
2
+ 4n: B

T

ỳng
Do

ú:
( )
( ) ( )
1 1
2n 1 n n 1 2 n n 1 . n(n 1
<
+ + + + + +
=
( )
n 1 n
1
2
n 1 n n(n 1)

+

+ +


=
=
1 1 1
2
n n 1

+


(1)
Cho n l

n l

t l

y cỏc giỏ tr

t

1

n n, thay vo (1), r

i c

ng v

theo v

cỏc b

t

ng th

c
t

ng

ng, ta

c:
S
n
=
( ) ( )
( )
( )
1 1 1
3 1 2 5 2 3 2n 1 n n 1
+ + +
+ + + + +

<
<
1 1 1 1 1 1 1
2
1 2 2 3 n n 1

+ + +


+

=
1 1 1
1
2 2
n 1

<


+

.
Vy S
n
<
1
2
, n N, n 3.
Bi 4. (3 im)
a) Chng minh: AD
2
= AB.AC DB.DC
Xột hai tam giỏc ABD v AEC, ta cú:


1 2
A A
=
(AD l phõn giỏc gúc A)

ABD AEC
=
(gúc n

i ti

p cựng ch

n cung AC)
Do

ú

ABD

AEC (g.g)
Suy ra
AD AB
AC AE
=

AD.AE = AB.AC
M

t khỏc,

ABD

CED (g.g),
nờn
BD DA
DE DC
=

BD.DC = DA.DE
T



ú: AB.AC BD.DC = AD.AE DA.DE = AD(AE DE) = AD
2

Vy AD
2
= AB.AC DB.DC (1)

b) Tớnh AD theo a, b, c
Theo tớnh ch

t

ng phõn giỏc c

a tam giỏc, ta cú:
DB DC DB DC DB DC BC a
AB AC c b c b c b c b
+
= = = = =

+ + +

Suy ra:
2
DB DC DB.DC a
.
c b bc b c

= =

+


DB.DC =
2
a
.bc
b c


+

(2)
Thay (2) vo (1), ta cú:
AD
2
= bc -
2
a
.bc

b c


+

=
(
)
(
)
( )
2
b c a b c a
a a
bc 1 1 bc.
b c b c
b c
+ + +

+ =

+ +
+


S
S
A
B
C

E
D
c
b
a
1
2
O

BO ẹE THI 10 CHUYEN 4 Buứi Vaờn Chi
Vy AD =
( )( )
bc b c a b c a
b c
+ + +
+
.
Bi 5.(1,5 im)
Chng minh:
( )
2
m 1
2
n
n 3 2

+
, m, n N
*

Tr

c h

t, ta c

n ch

ng minh
( )
2
1 1
2
n
n 3 2

+
,

n

N
*
(1)
Vỡ n

N
*
nờn b

t

ng th

c (1) t

ng

ng v

i:
(1)


2
1 3 2
2
n n


(2).

t t =
1
n
(0 < t

1), ta cú:
(2)

(
)
2
3 2 t t 2 0
+
(

t: 0 < t

1) (3)
Bi

n

i t

ng

ng:
(3)


(
)
(
)
(
)
2

3 2 t 3 2 t 3 2 t t 2
+ +


0


(
)
(
)
3 2 t(t 1) 3 2 1 t 2
+ +


0


(
)
(
)
(
)
3 2 t(t 1) 3 2 1 t 3 2 1 3 2 2 1
+ + + + +


0

(
)
(
)
3 2 t(t 1) 3 2 1 (t 1) 3 2 2 1
+ + + +


0


3 2 2 1
+

0 ( vỡ 0 < t

1 nờn t(t 1)

0)


3 1 2 2
+



4 2 3
+

8


2 3


4

3
< 2

3 < 4: b

t

ng th

c

ỳng.
Do

ú b

t

ng th

c (2)

ỳng.
Vỡ
m 1
2 2
n n

,

m

N
*
, nờn
( )
2
m 1
2
n
n 3 2

+
,

m, n

N
*
Vy
( )

2
m 1
2
n
n 3 2

+
, m, n N
*

Nhn xột: Du = trong bt ng thc khụng xy ra.