Đề thi chọn đội tuyển Học sinh giỏi Quốc Gia tỉnh Quảng Trị năm 2012 - 2013 môn Toán

SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG QUỐC GIA
QUẢNG TRỊ Khoá ngày 18 tháng 9 năm 2012
MÔN TOÁN ( Vòng I)
Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề )
ĐỀ CHÍNH THỨC


Câu 1 ( 4,0 điểm )
Giải phương trình
3
3
3
666
xx
-++=
.

Câu 2 (4,0 điểm)
Dãy số thực
()
n
u
được cho bởi
1
1
u
=
,
2
1
354

2
nn
n
uu
u
+
+-
=
, với
1.
n
³

Chứng minh rằng tất cả các số hạng của dãy số đã cho đều là số nguyên dương.

Câu 3 ( 4,0 điểm)
Tìm tất cả các hàm số :f ®
¡¡
thỏa mãn điều kiện :
()()
(())
2
xfyyfx
fxyfzz
+
+=+với mọi
,,
xyz
thuộc
¡

.
Câu 4 (4,0 điểm)
Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số đôi một phân biệt lấy từ tập
{
}
1;2;3;4;5;6;7;8
sao cho tích hai chữ số kề nhau của số đó là một số chẵn?

Câu 5 (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
Một đường thẳng đi qua H cắt AB, AC lần lượt tại M, N.
Chứng minh rằng HM = HN khi và chỉ khi PM = PN, với P là trung điểm
của cạnh BC.

HẾT



SỞGIÁO DỤC-ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG QUỐC GIA
QUẢNG TRỊ Khoá ngày 18 tháng 9 năm 2012
MÔN TOÁN ( Vòng II)
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC


Câu 1.( 4,0 điểm )

Giải hệ phương trình:
(
)

(
)
22
2
23 (1)
3230 (2)
yxyyx
yy
xy
xx
ì
=-+
ï
í
++-=
ï
î

Câu 2.( 4,0 điểm )
Cho tam giác ABC có

0
120
BAC
=
. Chứng minh rằng khoảng cách từ tâm đường
tròn ngoại tiếp đến trực tâm của tam giác ABC bằng AB + AC.

Câu 3.( 4,0 điểm )
Cho các số dương x

1
, x
2
, , x
n
, nằm trên một đoạn
D
có độ dài bằng 2, với n
³
2.
Chứng minh rằng:
1212231
11 1
nn
xxxxxxxxx
+++£++++++
12

n
xxxn
£++++


Câu 4.( 4,0 điểm )
Cho các dãy số (a
n
) và (b
n
) thoả mãn các điều kiện: a
1

= 1, b
1
= 2 và với n
³
1 thì
1
1
nnn
n
n
aab
a
b
+
++
=
,
1
1
nnn
n
n
bab
b
a
+
++
=
. Tính
lim

n
n
a
n
®¥


Câu 5.( 4,0 điểm )
Có bao nhiêu số tự nhiên có 2013 chữ số mà số các chữ số 0 xuất hiện là chẵn?



HẾT