ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ VIII MÔN TOÁN LỚP 10

TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG NĂM 2012
ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN – LỚP 10

Câu Đáp án
Điểm

5,0
Câu 1
Điều kiện :
2
2
x ≥
Phương trình tương đương với :
()
22
23 1 2 1 10 3 6xx xx
+
−= + −

(
)
()
222
42 1 23 1 2 1 2 3 2 0xxxxx⇔−−+ −+−−=
(1)
đặt
2
21(0)xtt−= ≥ khi đó phương trình (1) trở thành:
(
)
(

)
22
42312 3202txtxx−++−−= phương trình (2) có
(
)
(
)
(
)
22
'2
31 42 32 3xxxxΔ= + − + − = −

phương trình (2) có nghiệm:
(
)
()
31 3
2
42
31 3
21
42
xx
x
t
xx
x
t
+− −

⎡
+
==
⎢
⎢
++ −
−
⎢
==
⎢
⎣
⇒
2
2
2
21
2
21
21
2
x
x
x
x
+
⎡
=
−
⎢
⎢

−
⎢
=
−
⎢
⎣

2
2
2
260
7480
7
1
16
2
2
4450
x
xx
x
x
x
xx
≥−
⎡
⎧
⎨⎡
⎢
±

−−=
=
⎩
⎢
⎢
⎢
⎢
⇔⇔
⎧
⎢
⎢
≥
−+
⎪
=
⎨
⎢
⎢
⎣
⎪
⎢
+−=
⎩
⎣
(tm ĐK)
Vậy phương trình có hai nghiệm :
260 16
,
72
xx

±−+
==


0,5


1,0





1,0



1,0




1,0



0,5
Câu 2
5,0

Điều kiện: 0; 0; 3 0
x
yyx≥≥+≠.
+ Nhận thấy x = 0, y = 0 không là nghiệm của hệ.
+ Với
0, 0
x
y≠≠
12
12
3
12
16
3
x
yx
y
yx
⎧
⎛⎞
−=
⎪
⎜⎟
+
⎪⎝ ⎠
⎨
⎛⎞
⎪
+=
⎜⎟

⎪
+
⎝⎠
⎩

12 2
1
3
12 6
1
3
yx
x
yx
y
⎧
−=
⎪
+
⎪
⇔
⎨
⎪
+=
+
⎪
⎩

0,5

0,5




1,0







3
1
1
13 12
3
y
x
y
x
xy
⎧
+=
⎪
⎪
⇔
⎨
−

⎪
−=
⎪
+
⎩
Suy ra
22
19 12
6270
3
yxyx
xy y x
−
−
=⇒+−=
+

2
6270 3
yy y
xx x
⎛⎞ ⎛⎞
⇒+−=⇔=
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
;
9
y
x
=

−
(loại)
Với
33
y
yx
x
=⇔ =
suy ra
(
)
(
)
22
13; 313xy=+ = +

1,0




1,0

1,0
Câu 3

3,0

Từ giả thiết
()

(
)
444 222
925480abc abc++ − ++ +=
suy ra
(
)
(
)
(
)
()()
()
2
222 444 222
2
222 222
222
25 48 9 48 3
325480
16
3
3
abc abc abc
abc abc
abc
++ =+ ++ ≥+ ++
⇒++− +++≤
⇒≤ + + ≤

Biến đổi
222
22 2
abc
P
bccaab
=++
++ +
=
()()()
(
)
()
2
222
444
222
222 222
22 2
2
abc
abc
ab c bc a ca b
ab bc ca ac ba cb
++
++≥
+++
+++ ++

Lại có:

(
)
(
)
222 222222222
ab bc ca aab bbc cca a b c ab bc ca++= + + ≤ ++ + +

()
()
2
222
222 222
3
abc
ab bc ca a b c
++
⇒++≤ ++

Tương tự
()()
()
2
222
222 222
3
abc
acbacb abc
++
++ ≤ ++

Từ đó
()
222
1
3
abc
P
++
≥≥

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1. GTNN P =1.






1,0









1,0

1,0


H
N
M
D
A
B
C
Câu 4 5.0
Xét tích
T
M
AHBNC
M
BHC NA
=
(1)

1.0
Do AD là phân giác của
n
nê (2)
DB AB
BAC n
DC AC
=

1.0
Do tứ giác AMDN nội tiếp nên có
. . , CN.CA = CD.CH , (3)
BA BH CD CN
BM BA BH BD
BD BM CA CH
=⇒==

1.0
Do AD là phân giác của
n
M
AN và AD là đường kính nên AM = AN (4)
1.0

Thay (2), (3), (4) vào (1) ta được
T 1 .1
MA HB NC BA CD BA CD
NA MB HC BD CA CA BD

====
Do đó các đường thẳng CM, BN, AH đồng quy.
1.0
Câu 5

2,0

Vì (17,10) = 1 (1)
và 17 là số nguyên tố nên theo định lý Fecma nhỏ ta có :
(
)
17
10 10 17#−


(
)
(
)
16
10 10 1 17 2#⇒−

Từ (1) và (2) suy ra
(
)
16 16
10 1 17 10 1 mod17#
−
⇒≡
Do đó, với mọi n nguyên dương thì

(
)
16. 16.
10 1 mod17 10 1 17
nn
#
≡
⇒−

Mặt khác
N
16.
.16
10 1 99 9
n
n
−=

Vậy có vô số số hạng của dãy 9; 99; 999; 9999;… chia hết cho 17.


0,5



0,5

0,5

0,5
Lưu ý khi chấm bài:
- Nếu học sinh giải đúng theo cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho
điểm.
- Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả
sai đó không được điểm.
- Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau Điểm toàn bài tính
đến 0,5 và không làm tròn.
Hết