Tổng hợp các công thức chương II
Tổng hợp các công thức chương II
I) Ước lượng
µ
µ
2
1
,
β β
:
- Từ hàm hồi quy mẫu có dạng:
µ
µ
¶
1 2i i
Y X
β β
= +
µ
i i i
Y Y e= +
=
µ
¶
1 2 i
X
β β
+
i
e+
Ta xác định
µ
µ
2
1
,
β β
sao cho
2
1
n
i
i
e
=
∑
bé nhất:
2
1
n
i
i
e
=
∑
=
µ
2
1
( )
n
i i
i
Y Y
=
−
∑
=
µ
¶
2
1 2
1
( )
n
i i
i
Y X
β β
=
− −
∑
Điều kiện cần để có min:
µ
µ
µ
µ
1
2
'
1
'
2
0
0
f
f
f
f
β
β
δ
δ β
δ
δ β
= =
= =
µ µ
µ µ
1 2
1
1 2
1
2( )( 1) 0
(3)
2( )( ) 0
n
i i
i
n
i i i
i
Y X
Y X X
β β
β β
=
=
− − − =
⇔
− − − =
∑
∑
µ µ
µ µ
1 2
1 1
2
1 2
1 1 1
(3 )
n n
i i
i i
n n n
i i i i
i i i
n X Y
X X X Y
β β
β β
= =
= = =
+ =
′
⇔
+ =
∑ ∑
∑ ∑ ∑
Chú ý:
µ µ
1 1
1
n
i
n
β β
=
=
∑
(3 )
′
được gọi là hệ phương trình cramer, giải hệ phương trình
(3 )
′
theo
phương pháp cramer:
µ
1 1 1
2
2 2
1 1
( )
n n n
i i i i
i i i
n n
i i
i i
n X Y X Y
n X X
β
= = =
= =
−
=
−
∑ ∑ ∑
∑ ∑
1 1
1
2
2
1
1
n n
i i
n
i i
i i
i
n
i
n
i
i
i
X Y
X Y n
n n
X
X n
n
= =
=
=
=
−
=
÷
÷
−
÷
÷
∑ ∑
∑
∑
∑
(chia cả tử và mẫu cho n)
1
Tổng hợp các công thức chương II
=
1
2
2
1
n
i i
i
n
i
i
X Y nX Y
X nX
=
=
−
−
∑
∑
Chú ý:
1
n
i
i
X
X
n
=
=
∑
µ µ
1 2
Y X
β β
⇒ = −
Nói tóm lại:
Đặt
1,
i i
i i
x X X
i n
y Y Y
= −
=
= −
ta có công thức biến đổi từ trên:
(2.4)
- Công thức (2.4) gọi là các ước lượng bình phương bé nhất của
µ
1
β
và
µ
2
β
II) Phương sai và độ lệch chuẩn của
µ
1
β
và
µ
2
β
:
-
µ
1
β
,
µ
2
β
là các đại lượng ngẫu nhiên (xem đại lượng ngẫu nhiên là gì ở phần
“nhắc lại trước khi học chương II” trong tập soạn Kinh tế lượng) bởi vì: với
một mẫu xác định các
µ
β
nhận được xác định duy nhất nhưng với mẫu khác
nhau khi đó các
µ
β
sẽ khác nhau. Cho nên chúng là các biến ngẫu nhiên có
phân bố xác suất nhất định kèm theo các đặc trưng: kỳ vọng và phương sai.
- Người ta chứng minh được Var(
µ
1
β
); Var(
µ
2
β
) phụ thuộc vào
2
ar( )
i
V U
σ
=
:
2
µ
1
2
2
2
1
n
i i
i
n
i
i
X Y nX Y
X n X
β
=
=
−
=
−
∑
∑
µ µ
1 2
Y X
β β
= −
µ
1
2
2
1
n
i i
i
n
i
i
x y
x
β
=
=
=
∑
∑
µ µ
1 2
Y X
β β
= −
Var(
µ
1
β
)=
2
2
1
2
1
.
.
n
i
i
n
i
i
X
n x
σ
=
=
∑
∑
Se(
µ
1
β
)=
2
1
2
1
.
.
n
i
i
n
i
i
X
n x
σ
=
=
∑
∑
Var(
µ
2
β
)=
2
2
1
n
i
i
x
σ
=
∑
Se(
µ
2
β
)=
2
1
n
i
i
x
σ
=
∑
Tổng hợp các công thức chương II
-
2
σ
chưa biết, khi ước lượng ta sử dụng ước lượng không chệch của nó là:
“n-2” bật tự do và lấy
µ
2
σ
thế vào các
2
σ
của cácvar(
µ
1
β
); var(
µ
2
β
)
III) Hệ số xác định
2
R
- Đo sự phù hợp của SRF:
- Ta có:
µ
i i i
Y Y e= +
µ
i i i
Y Y Y Y e⇒ − = − +
Mà
µ
Y Y=
(xem lại tính chất đã học)
µ
µ
i i i
Y Y Y Y e⇒ − = − +
$
i i
i
y y e⇒ = +
với
$
µ µ
i i
i
i
y Y Y
y Y Y
= −
= −
Bình phương hai vế:
$ $
2
2 2
2. .
i i i
i i
y y e y e⇒ = + +
Lấy tổng hai vế:
$ $
2
2 2
1 1 1 1
2 .
n n n n
i i i
i i
i i i i
y y e y e
= = = =
⇒ = + +
∑ ∑ ∑ ∑
Mà
$
1
.
n
i
i
i
y e
=
∑
=
µ µ µ
1 1 1
( ). .
n n n
i i
i i i
i i i
Y Y e Y e Y e
= = =
− = −
∑ ∑ ∑
=0 ( Chú ý:
1
0
n
i
i
e
=
=
∑
)
(Xem lại tính chất 3c của các ước lượng
µ
1
β
,
µ
2
β
cov(
µ
;
i
i
Y e
)=
µ
1
.
i
n
i
i
Y e
=
∑
=0
Đặt: TSS=
2
1
n
i
i
y
=
∑
(Total Sum of Squares)
ESS=
$
2
1
n
i
i
y
=
∑
(Explaned Sum of Squares- Giải thích tổng bình
phương từ hàm hồi quy mẫu)
RSS=
2
1
n
i
i
e
=
∑
(Residual Sum of Squares)
Chia hai vế cho TSS:
1=
ESS RSS
TSS TSS
+
3
µ
2
2
1
2
n
i
i
e
n
σ
=
=
−
∑
$
2
2 2
1 1 1
i
i
n n n
i
i i i
y y e
= = =
= +
∑ ∑ ∑
TSS=ESS + RSS
Tổng hợp các công thức chương II
Đặt
2
ESS
R
TSS
=
(
2
0 1R≤ ≤
), được gọi là hệ số đo sự phù hợp của SRF
Công thức tính R
2
:
2
ESS
R
TSS
=
=
$
2
1
2
1
n
i
i
n
i
i
y
y
=
=
∑
∑
Mà
$
µ
2
2
1 1
( )
n n
i
i
i i
y Y Y
= =
= −
∑ ∑
( vì
µ
Y Y=
)
µ µ
2
1 2
1
( )
n
i
i
X Y
β β
=
= + −
∑
µ µ
2
2 2
1
( )
n
i
i
Y X X Y
β β
=
= − + −
∑
(vì
µ µ
1 2
.Y X
β β
= −
)
µ
( )
2
2
1
n
i
i
X X
β
=
= −
∑
Hay
(2.6)
µ
( )
2
2
2
2
1
2
1
n
i
i
n
i
i
x
R
y
β
=
=
=
∑
∑
=
2
1
2
1
1
2
1
.
n
i i
n
i
i
n
i
i
i
n
i
i
x y
x
x
y
=
=
=
=
÷
÷
÷
÷
∑
∑
∑
∑
(2.7)
Căn bậc hai ra:
2
1
2 2
1 1
n
i i
i
n n
i i
i i
x y
R R
x y
=
= =
= =
∑
∑ ∑
Hay
(2.7
’
)
4
$
µ
( )
2
2
2
2
1 1
n n
i
i
i i
y x
β
= =
=
∑ ∑
2
1
2
2 2
1 1
n
i i
i
n n
i i
i i
x y
R
x y
=
= =
÷
=
∑
∑ ∑
( ) ( )
( ) ( )
1
2 2
1 1
n
i i
i
n n
i i
i i
X X Y Y
R
X X Y Y
=
= =
− −
=
− −
∑
∑ ∑
Tổng hợp các công thức chương II
- (2.7
’
) được gọi là hệ số tương quan. Kí hiệu R(X,Y)=R(Y,X)
Tính chất của hệ số tương quan (cái này rất quan trọng):
(i) R>0: tương quan thuận. Ví dụ: thu nhập và chi tiêu
R<0: tương quan nghịch. Ví dụ: giá và lượng cầu
(ii)
1 1R− ≤ ≤
(iii) Nếu
1R ≈
thì R
2
≈
1 thì X, Y tương quan chặt chẽ.
Nếu
0R ≈
thì R
2
≈
0 thì X, Y tương quan không chặt chẽ hay X, Y độc
lập với nhau.
(iv) R(X,Y)=R(Y,X) (X tương quan Y 95% thì Y cũng tương quan X 95%)
IV) Ước lượng khoảng của các hệ số
β
:
1) Khoảng tin cậy của hệ số
1
β
:
a) Khoảng tin cậy đối xứng:
- Tìm được khoảng tin cậy sao cho:
P(
2
2
n
t
α
−
−
< t <
2
2
n
t
α
−
) =1-
α
P(
2
2
n
t
α
−
−
<
µ
µ
1
1
1
( )se
β β
β
−
<
2
2
n
t
α
−
) =1-
α
P(
µ µ
( )
2
1 1
2
.
n
t se
α
β β
−
−
<
1
β
<
µ µ
( )
2
1 1
2
.
n
se t
α
β β
−
+
) =1-
α
Khoảng tin cậy đối xứng của
1
β
:
b) Khoảng tin cậy bên trái:
- Tìm được khoảng tin cậy sao cho:
P(
2n
t
α
−
−
< t <
+∞
) =1-
α
P(
2n
t
α
−
−
<
µ
µ
1
1
1
( )se
β β
β
−
<
+∞
) =1-
α
P(
−∞
<
1
β
<
µ µ
( )
2
1 1
.
n
se t
α
β β
−
+
) =1-
α
Khoảng tin cậy bên trái của
1
β
:
c) Khoảng tin cậy bên phải:
- Tìm được khoảng tin cậy sao cho:
P(
−∞
< t <
2n
t
α
−
) =1-
α
P(
−∞
<
µ
µ
1
1
1
( )se
β β
β
−
<
2n
t
α
−
) =1-
α
5
µ µ
( )
2
1 1
2
.
n
t se
α
β β
−
−
<
1
β
<
µ µ
( )
2
1 1
2
.
n
se t
α
β β
−
+
−∞
<
1
β
<
µ µ
( )
2
1 1
.
n
se t
α
β β
−
+
Tổng hợp các công thức chương II
P(
µ µ
( )
2
1 1
.
n
se t
α
β β
−
−
<
1
β
<
+∞
) =1-
α
Khoảng tin cậy bên phải của
1
β
:
2) Khoảng tin cậy của hệ số
2
β
:
a) Khoảng tin cậy đối xứng:
b) Khoảng tin cậy bên trái:
c) Khoảng tin cậy bên phải:
3) Ý nghĩa của các khoảng tin cậy:
a. Đối với hệ số
1
β
:
-
1
β
=E(
0
Y
X =
), vì vậy nếu tìm được a<
1
β
<b thì điều này có nghĩa là E(
0
Y
X =
)
( , )a b∈
.
- Nếu tìm được c<
1
β
<
+∞
, điều này có nghĩa là E(
0
Y
X =
) ít nhất là c.
- Nếu tìm được
−∞
<
1
β
<d, điều này có nghĩa là E(
0
Y
X =
) lớn nhất là d.
b. Đối với hệ số
2
β
:
Lấy đạo hàm E(
i
Y
X
)=
1
β
+
2
β
.X
i
2
dE E
dX X
β
∆
= ≈
∆
2
.E X
β
∆ ≈ ∆
Khi
1X∆ =
thì
2
E
β
∆ ≈
, điều này chứng tỏ rằng trung bình của Y là
E(Y) tăng lên là
2
β
.
- Nếu a<
2
β
<b X tăng lên 1 đ/vị thì E(Y) tăng lên (a,b) đơn vị.
- Nếu c<
2
β
<
+∞
X tăng lên 1 đ/vị thì E(Y) tăng ít nhất là c.
- Nếu
−∞
<
2
β
<d X tăng lên 1 đ/vị thì E(Y) tăng nhiều nhất là d.
6
µ µ
( )
2
1 1
.
n
se t
α
β β
−
−
<
1
β
<
+∞
µ µ
( )
2
2 2
2
.
n
t se
α
β β
−
−
<
2
β
<
µ µ
( )
2
2 2
2
.
n
se t
α
β β
−
+
−∞
<
2
β
<
µ µ
( )
2
2 2
.
n
se t
α
β β
−
+
µ µ
( )
2
2 2
.
n
se t
α
β β
−
−
<
2
β
<
+∞