Bài tập môn tối ưu hóa (chương 3)

BÀI TẬP MÔN TỐI ƯU HÓA
CHƯƠNG III
Bài 1. Chứng tỏ rằng bài toán sau luôn có phương án cực biên tối ưu
f(x) = - x
1
+ x
2
- x
3
=> min









−≥+
≤−
≤+
≥−+−
−≥+−
12xx
18xx3
20x2x
20x2x5x3
20xx4x2
21
32

31
321
321
Bài 2. Chứng tỏ rằng bài toán sau giải được
f(x) = x
1
+ x
2
+ 2x
3
+ x
4
=> max









=+−+
−≥−+−
≤+−
−≥+−−
≤−+−
0xx2x2x3
5x5xx2
8x3xx4

13xx2x
10x5x4xx2
4321
431
421
431
4321
( )
4,1j3x
j
=≤
Bài 3. Cho bài toán f(x) = 3x
1
+ x
2
+ 2x
4
+ 5x
6
=> min





=+−+
−≤−+−
≥++−
5x2x3xx2
18x4x3x2x

14x3x5x2x4
6421
6541
6431
x
1
, x
2
, x
4
, x
6
≥ 0
a. Chứng minh bài toán trên giải được.
b. Chỉ ra một phương án cực biên và tính chất của nó.
Bài 4. Cho bài toán f(x) = - 8x
1
+ 3x
2
+ 2x
3
- 11x
4
=> max










≤+
≥−
≥+
≤−++−
−≥++−
10x7x4
3x5x3
5x6x
4xx4xx3
2x2xxx2
21
32
41
4321
4321
Chứng tỏ x = (- 1, 2, 0, 1) là PACB tối ưu.
Bài 5. Cho bài toán
∑
=
⇒=
n
1j
j
maxx)x(f

( )
n,1j1x0

j
=≤≤
a. Chứng minh bài toán trên giải được và chỉ ra một phương án cực biên
tối ưu.
b. Nếu thay f(x) => max bằng f(x) => min; chứng minh bài toán vẫn giải
được.
c. Bài toán trên có bao nhiêu PACB?
Bài 6. Không dùng thuật toán hãy giải bài toán sau
f(x) = nx
1
+ (n-1)x
2
+ + 2x
n-1
+ x
n
=> min
( )
( )





=≥
=≥+++
n,1j0x
n,1iix xx
j
i21

Bài 7. Cho bài toán (A) dạng
f(x) = 2x
1
+ x
2
+ 4x
3
+ 5x
4
+ 2x
5
+ 4x
6
=> min





≤+−+++−
≤+++−
−≤+−−+
7x5x2xx4x2x
14xx3x2xx2
1x3x2xx2x
654321
65431
65432
x
j

≥ 0 (
6,1j =
)
a. Giải bài toán (A) bằng thuật toán đơn hình.
b. Dựa vào kết quả câu a. xác định phương án tối ưu có x
4
> 0 khi ta có thêm điều kiện f(x)
≥ 5.
Bài 8. Giải bài toán sau bằng thuật toán đơn hình
f(x) = - 2x
1
+ 6x
2
+ 3x
3
- 3x
4
+ x
5
=> min
( )
5,1j0x
40xx2x
0x4x2xx4
51xx2x3x3
8xxx2x2
j
431
4321
5432

4321
=≥







=++−
≤+−+
=+++
=++−

Bài 9. Cho bài toán QHTT dạng:
f(x) = 2x
1
+ 5x
2
+ 3x
3
+ c
4
x
4
+ 2x
5
=> min
( )
5,1j0x

)I(
33x3x
2
3
xx2x
24x2xxx4x
6x2xx
j
54321
54321
321
=≥







≤+−−−−
−=−+++−
≥−−

a. Giải bài toán (I) khi c
4
= - 1;
b. Tìm tập phương án tối ưu và chỉ ra một phương án tối ưu không cực
biên.
Bài 10. Cho bài toán (I) dạng
f(x) = 2x

1
+ 4x
2
+ 3x
3
+ x
4
=> min





≥++−
−≥−+−
≤++−
33xx3xx2
6xx2x
31xx3x3x4
4321
321
4321
( )
4,1j0x
j
=≥
a. Giải bài toán bằng thuật toán đơn hình; xác định phương án tối ưu có
x
4
= 28.

b. Cho c = (2, 4, 3, c
4
); chỉ ra điều kiện của c
4
để x
0
= (0, 1, 8, 10) là
PACB tối ưu.
Bài 11. Cho bài toán (I) dạng
f(x) = 2x
1
- 2x
2
+ 3x
3
+ x
4
- 3x
5
=> max







=−+++
=++−
−≥−+

=−+−
14x2xxxx
15x3xx6
20xx2x
8x4xx2x4
54321
543
541
5431
( )
5,1j0x
j
=≥
a. Giải bài toán bằng thuật toán đơn hình.
b. Tìm một PA có x
3
> 0 và f(x) = - 27.
Bài 12. Cho bài toán:
f(x) = x
1
+ x
2
+ c
3
x
3
+ 2x
4
+ 2x
5

=> min





≤++−
≥−++
=++++
14x3x2x2
42x3x5x2x6
18x3x2xxx3
543
5431
54321
( )
5,1j0x
j
=≥
a. Với c
3
= 2; giải bài toán bằng phương pháp đơn hình.
b. Xác định giá trị của c
3
để bài toán có PACB x mà f(x) = 10; xác định x.