Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT tỉnh Ninh Bình năm 2012 - 2013 (Lần 1) môn toán

SỞ GDĐT NINH BÌNH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
Kỳ thi thứ nhất - Năm học 2012 – 2013
MÔN: TOÁN
Ngày thi 09/10/2012

Đề thi gồm 04 câu, trong 01 trang
Câu 1 

!
!
!
" # !# 
# $ !$ 
$ " !" 

= − +

= − +


= − +

Câu 2 
%&'()*%+,-.)(/(&)012345678
9:;('('()*0+)%01%'(<)34)567
(=*%.>+?1%@A<)04>54?3BC,#.:
1
Câu 3 D
%&E"4FG,#HI
! 

" !" " 111 " 
J
+ + + + − =
%@A+KLFG,#HI(/
II,#M4NO,/

"
1
%@A


"

=
1
Câu 4 J
%&PQ

RST!T TUTV+KFG,#HIK!1%/&H,
('((PQ

P(&N'(L7+K,AQ
 
+-:&
+K,ALF&(&LP(&N-(@FG,#HH;W
0X
Họ và tên thí sinh : Số báo danh
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:
Giám thị 2:

YZ0[%0\]00^%
SỞ GD&ĐT NINH BÌNH
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT
Kỳ thi thứ nhất - Năm học 2012 – 2013
MÔN: TOÁN
Ngày thi 09/10/2012
(hướng dẫn chấm gồm 04 trang)

Câu Đáp án
Điểm
1
5 điểm
(/
! !
! !
! !
" # !#  " #  _
# $ !$  # $  _
$ " !"  $ "  _
 
= − + = − +
 
= − + ⇔ = − +
 
 
= − + = − +
 
"4#4$ ⇒ >
F`
! ! ! !

" "S"T#T$V # a "S" a T# a T$ a V= ⇒ =
# "S"T#T$V " # # $= ⇒ = ⇒ =
1bP#"R#R$1
c/(/
! ! !
" " !"  " " !"   " !" " J 
" !
= − + ⇔ − + − = ⇔ − + + =
⇔ =
bP#(/I,#M"T#T$R!T!T!1
4
4
4
4
4
2
5 điểm
%'(
·
·
*)0 )%0=
·
·
·
·
·

*)? *)0 0)? *)0 0)%
!
= + = +

·
·
·
·
·

*?) )%0 ?)% )%0 0)%
!
= + = +
·
·
*?) ?)*⇒ = ⇒
'()*?(8.d*1
e*38'(/(
·
)*? *3⇒
,f((g
&.)?
3) 3?
⇒ =
1
ehN'(
·
·
·
·
·
·

 

3)? 3)0 0)? *)0 0)% *)% J
! !
= + = + = =
4
4
4
4
*
)
%
0
?
>
3
5
3)?⇒ ∆
+,-(8.d3
?3 )>⇒ ⊥
1
f
>5 )?⇒ ⊥
1
bP#)04>54?5('((&(g'()>?F,#)04
>54?3BC,#1
%'(!
iIjO(M8'(('(/(&'(
3) )*
3> *>
=
4

5? %?
5) )%
=
4
0> )0
>* )*
=
4
?% )%
0? )0
=
3)
1
3>
⇒
0>
1
>*
?%
1
0?
5?
5)
R
)*
1
*>
)0
1
)*

)%
1
)0
%?
)%
R
%?
*>
3) 0> 5?
1 1 
3> 0? 5)
⇒ =
⇒
)04>54?3BC,#YkO%l+
4
!4
4
4

3
(6 điểm)
!
mn
( )
! 


o " " !" " 111 "
J
= + + + + −



( )
p ! ! ! !  

o "  ! " " 111  1"
−
= + + + +
(/
( )
p

o "  " q> ∀ ∈
( )

o "⇒
B;4Hj(Hq1
e
( ) ( )
 
o  To  < >
( )

o " ⇒ =
(/I,#M+/,:(
( )
T
4
4
4

4
J
( )
!  
!   
    r
o  !1 111 
J
    
o ! 111   
J
−
−
     
= + + + + −
 ÷  ÷  ÷
     
       
= + + + − + −
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
( )
( )
!  
 
s

!
    
!o  111

! !1
!

o   ]
J1
−
+
     
⇒ = + + + + − − = −
 ÷  ÷  ÷
     
+
 
⇒ = − < ∀ ∈
 ÷
 
Q,#
( )
 

o o "

 
<
 ÷
 
F,#


"

>
I&
( )

o "
FGB
;Hq
bK2
s
 ]∈
4l&ktul4B.
 

( T"

 
∈
 ÷
 
F&
4
4
4
(&
p
     
 
o "  o   o ( " 

− − = −

p 
 
  !
"
o "  J1
+
⇒ − =

 
p
 
  ! !
"
J1 J1
o ( 
+ +
⇒ − = <
+
( )
p

o "  " T > ∀ ∈ +∞

e
!
 
J1
n

n
n
→+∞
+
=



n
n
x
→+∞
⇒ =
1
4
4
4
4 điểm
cO,QFG('((PQP(&N'(LF&(&
LP(&N-(@FG,#HH;1
%'(Nv"#N(PQ
w
RST!T T111TTwV1
Khả năng 1:SwVN-:&P(&(gQ
w
1
f(('((F,%Q

 P(&xyz
+{",6`

 +
+&:&PN-(@6
`1>&/FG('((&7#!Q1
Khả năng 2:SwVN-:&P(&(gQ
w
1
c/('(6`Q

A&P(9.1%/M##
(d(/:('((xy:P(@('(FG(|+:P
(@('(FG}1>&/4FG('((&7#('(1
bP#,7((-@(,#B
( ) ( )
Q   !Q  + = +
( ) ( )
Q    ! Q  ⇒ + + =  + 
 
Yh 
( )

, Q  = +

  
, !,
+
⇒ =
1bP# 
( )

,

 :(MFG8(/
(-:A!1
ehN'(4M#
( )
Q =
+P#H(/
( )
 !
Q  ! 4 
−
= − ∀ ≥
1
bP#FG('((xy#H,(6,&'
( )
 !
Q  ! 4 
−
= − ∀ ≥
1
4
4
4
4
aaaaaaaaaaa0;aaaaaaaaaaa

SỞ GDĐT NINH BÌNH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
Kỳ thi thứ nhất - Năm học 2012 – 2013
MÔN: TOÁN
Ngày thi 10/10/2012


Đề thi gồm 04 câu, trong 01 trang
Câu 1 
%&('(FGf("4#4$4&y
! !
! !
" # J" !#  
$  J$ !  

+ − − + =


+ − − + =



'kKM(g,@(3R"~$#~1
Câu 2 
%@A
" ! # !
D
# "
+ +
+ =
(/+-FG,#HI1
Câu 3 
%&'()*%:;98•4('((&)e4*]1Y
>H(,
*%
N-(@)(g9•+N'(*4%10<

>)+*](=,.54<>*+)e(=,.312[,
(g351%@Ae4]4[<1
Câu 4 
M(('(FG
o  →¡ ¡
xyz,N
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
! J
!
o " o # J" o # D" o # J" o # o # o "
+ = + + + + −
+K2
"4#∈¡
1
0X
Họ và tên thí sinh : Số báo danh
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:
Giám thị 2:
YZ0[%0\]00^%
SỞ GD&ĐT NINH BÌNH
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT
Kỳ thi thứ nhất - Năm học 2012 – 2013
MÔN: TOÁN
Ngày thi 10/10/2012
(hướng dẫn chấm gồm 03 trang)

Câu Đáp án Điểm
1

05 điểm
%'(
! ! ! !
! ! ! !
" # J" !#   " ! #  J
$  J$ !   $ !   J
 
+ − − + = − + − =
 
⇔
 
+ − − + = − + − =
 
 
YhR"a!4R#a4(R$a!4IRa4(/
! !
! !
  J
( I J

+ =


+ =


! ! ! ! ! ! ! !
! ! ! !
3 " $#   ( I  ( I
! ( ! I  !  (  I 

  ( I  3 
= − − = − − ≤ − −
≤ + + = + +
≤ + + + = ⇒ ≤
Y<@("#N+(dN

! ! ! !
! !
! !
 ( I 
  !
 (
 I
( I !
 (  I
  !
  J
( I !
( I J
− − ≥




= =
= −






= −

= = −

 
⇔


+ = +

= = −






+ =
= =





+ =


" ! !
#  !

$ ! !
  !

= +

= +

⇔

= −


= −

&h(
" ! !
#  !
$  !
  !

= −

= −


= +


= +


bP#
e"3 =
1
%'(!
! ! ! !
! ! ! !
" # J" !#   " ! #  J
$  J$ !   $ !   J
 
+ − − + = − + − =
 
⇔
 
+ − − + = − + − =
 
 
4 q⇒ ∃α β∈
xy
" ! !(&F T#  !F
$ ! !(&F T #  !F
= + α = + α


= + β = + β

c/3R"a$#aRJ







++≤






+−+

!

!

JF
!
!F
!
!F
βα
βα
R
Y<@("#
F ! F ! F  ⇔ α = β = − α + β =
4



4

4

!
4
4
N
J
! N 
J
π

α = + π


⇔

π

β = + π − + π


N4
Z∈

" ! !
#  !
$ ! !
 ! !

= +


= +

⇔

= −


= −

&h(







−=
−=
+=
+=
!!
!!
!
!!
t
z
y
x


bP#
e"3 =
1
4
2
5 điểm
" ! # !
D
# "
+ +
+ =
⇔"
!
a! #a"w#
!
w!#Rs
mnIy#FGS"

V"'(k€(-@(
 
 !   
" T" 
" D" " !  ]
+ +
= =


= − − ∀ ∈


(/S"

Vv+
s s

" ]  ]∈ ∀ ∈
1
bK2
 ]
∈
(/
 !     !   
" D" " ! " " D" !
+ + + +
= − − ⇒ + = −
s
 !   !     
    
! ! s
 !        a  
! ! s
 !        a  
! !
 !      !   
!
 !     
" " ! " " ! " " !
D   ]
" " "
" " " !" " " " !"   ]

" " a " a !" " " a " a !"   ]
" " a " a !" " " a " a!"   ]
" " " !" 
+ + + −
+ +
+ + + +
+ + + +
+ + +
+ + +
+ + + + + +
⇒ = ⇒ = ∀ ∈
⇒ + + = + + ∀ ∈
⇒ = ∀ ∈
⇒ = = ∀ ∈
⇒ = + ∀ ]!∈
•4!F,#
  !
" 4"
+
(g
! !
     
! !
       
 a ! " a " !"   ]
" a ! " a" " !"   ]
+ + +
+ + +
+ + = ∀ ∈
⇒ + + = ∀ ∈

Q,#
  
" 4"
+
(gs
 ]
∀ ∈
1
>&/(/z,(@1
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4


H
I
Q
P
M
N
C
B
A

D
20f(8'(1
'()]0+*e0BI.H
=
AN BM
NH MH

'()]5+*e3BI.H
=
AN BM
NQ MP
!
•+!F,#
=
NQ MP
NH MH

]5 e0 [3
1 1 
]0 e3 [5
⇒ =

⇒
*e4[4]<YkOell,F





J


( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
! J
!
o " o # J" o # D" o # J" o # o # o " "4# q
+ = + + + + − ∀ ∈
w]P"n
( )
o " ≡
xy#H,(6,&'1
wmn7
( )
o " ≡
1YhRo1
#
" 
=
+&7(
( )
( )
( )
( )
J
o o # o # 4 #
= + ∀ ∈
¡
!
;j(#"€

( )
o "−
+&7(
( )
( )
( ) ( )
! ! J
o o # o " Jo " o # Do " o# Jo "o # o # o o "
"4# 
− = − + − + −
∀ ∈
¡
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
J J
o o # o " o # o " o o " o "  "4 #
⇒ − = − + − ∀ ∈
¡
 
•!+ F,#
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )

J
o o # o " o # o "  "4#− = − + ∀ ∈ ¡
J
F`

" ∈¡
xy
( )

o " ≠
1#

# "=
+&,7(
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
! J
!
    
o " o " o " J" o " D" o "  J" o "  o "  " q
+ − − = + + + ∀ ∈
b;@(P(l&;"H/FG(/P'k
¡
1
bP#H4+;'(‚:FG(/P'k
¡

⇒

"∀ ∈¡
z,B.
,4+ ∈¡

( ) ( )
o , o + "− =
1
>&/•JF,#
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
J
J
o " o o , o + o , o +  " 4 "
= − = − + = + ∀ ∈
¡
`.IƒM#
( )
J
o " " 4 "
= + ∀ ∈
¡
+KAFGxy
bP#
( )
o " ≡
+
( )
J

o " " 4 "
= + ∀ ∈
¡
+KAFG('(FG(6
1
4
4

4
4
4
4
4
4
aaaaaaaaaaa0;aaaaaaaaaaa