Đề thi thử học sinh giỏi Lớp 12 môn Toán năm 2013 (7)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12
MÔN :TOÁN THỜI GIAN : 180 PHÚT
Bài 1 (4đ)
Cho hàm số: y = 2x
3
+ mx
2
- 8x (cm)
1) KS vẽ đồ thị hàm số m = 1 (C
1
)
2) Tìm m ? hàm số (Cm) đồng biến/ (1,2)
Bài 2:( 6đ)
Cho phương trình: cos2x (2cos x . cos3x - 7) = -m
1) GPT: m = -7
2) CMR: không tồn tại m để pt có nhiều hơn 1n
0

∈
[-
8
;
8
3 Π
−
Π
]
Bài 3( 4đ)
1) Tính I =
∫
+

+
x
xex
dxx
1(
)1(
2) A
?
= lm
x
xx 13971.31
75
−++
x -> 0
Bài 4( 2đ)
Cho
∆
ABC biết pt cạnh BC: 4x - y + 3 = 0 và 2 đường phân giác trong
của B, C lần lượt là (d
B
): x - 2y + 1 = 0 ; (d
C
): x + y + 3 = 0.
Lập pt cạnh AB; AC
Bài 5: ( 2đ)
GPT: 2005
log
2005
2006
x

+ log
2006
(-x+1) =1
Bài 6: (2đ)
Cho a, b, c, d > 0 chứng minh rằng
5
2
5
5
5
2
5
2
a
d
d
c
c
b
b
a
+++

≥

3333
1111
dcba
+++
./.

ĐÁP ÁN ĐỀ TOÁN - LỚP 12
Bài 1(4đ)
y = 2x
3
+ mx
2
- 8x
1) KS vẽ đt: m = 1
y = 2x
3
+ x
2
- 8x
a) TXĐ: R
b) SBT: * CBT: y
/
= 6x
2
+ 2x - 8
y
/
= 0 = x = 1; x = -4/3
(Lập bảng xét dấu y
/

KL: HSĐB
/
x
∈
(-

∞
; - 4/3) U (1, +
∞
)
HSĐB
/
x
∈
(- 4/3, 1).
* Giá trị: x
CT
= 1 -> y
CT
= -5
x
CĐ
= -3/4 -> y
CĐ
=
27
208
* Giới hạn: Lim y =
±
∞

x ->
±
∞
HSK
0

có t/c
Y
//
= 12x + 2
Y
//
= 0 z x = -1/6
Lập bảng xét dấu y
//
c) đồ thị
2) m ? hs ĐB
/
/(1,2)
y
/
= 6x
2
+ 2mx - 8

NX:
∆
/
= m
2
+ 48 > 0
∀
m -> y
/
có n
0

x
1
< x
2
a = 6 >0
TH1: x
1
< x
2

≤
1 ->





<−
≥
01
2
0)1(
s
af
->






<−−
≥−
01
6
012
m
m
->



−>
≥
6
1
m
m
-> m
1≥
TH2: 2
≤
x
1
< x
2
->






>−
>
02
2
0)2(
s
af
->



−<
≥+
12
04
m
m
->



<
−≥
12
4
m
m
->vô nghiệm
KL: m

≥
1 là giá trị cần tìm
Bài 2: (6đ)
cos2x (2cosx . cos3x - 7) = -m
2cos
3
2x + cos
2
2x - 8 cos2x + m = 0 (1)
1) m = -7
2cos
3
2x + cos
2
2x - 8 cos2x + 7 = 0
(cos2x + 1) (2cos
2
2x - cos2x - 7) = 0
cos2x = -1 -> x =
Π
/2 + k
Π
2cos
2
2x - cos2x - 7 = 0 ; cos2x =
4
571±
(loại)
KL: với m = - 7 -> x =
Π

/2 + k
Π
CMR: không tồn tại m để pt có nhiều hơn 1n
0

∈
[-
8
;
8
3 Π
−
Π
]
NX : x
∈
[-
8
;
8
3 Π
−
Π
] -> 2x
∈
[-
4
;
4
3 Π

−
Π
] -> cos2x
∈
[
2
2
;
2
2
−
]
1-> -m = 2t
3
+t
2
-8t ====f(t)
t= cos2x
∈
[
2
2
;
2
2
−
]
f’(t) = 6t
2
+2t -8

f’(t) = 0 khi t=1 , t= - 4/3 > f’(t) < 0 với mọi t
∈
[
2
2
;
2
2
−
]
nên mỗi giá trị -m
∈
[f(
)
2
2
();
2
2
f−
]
chỉ có duy nhất t
∈
[
2
2
;
2
2
−

] -> ưngd duy nhất x
∈
[-
8
;
8
3 Π
−
Π
]
nen không tồn tại m để pt có nhiều hơn 1 nghiệm x
∈
[-
8
;
8
3 Π
−
Π
]
Bài 3 (4đ)
a) tính I =
∫
+
+
)1(
)1(
x
xex
dxx

đặt t= 1+ xe
x
-> dt = e
x
(1+ x)dx
I=
C
xe
xe
Ctt
t
dt
t
dt
tt
dt
x
x
+
+
=+−−=−
−
=
+
∫ ∫ ∫
1
lnln1ln
1)1(
b)
A= lim

x
x
x
x
x
131
lim)
13971
(31
57
5
−+
+
−+
+
=3/5 + 397/7
x-> 0 x-> 0
Vậy A = 2006/35
Bài 4 (2đ)
Toạ độ đỉnh B là nghiệm của hệ



=+−
=+−
012
0334
yx
yx
<-> B (-5/7 ;1/7)

Toạ độ đỉnh C là nghiệm của hệ



=++
=+−
03
0334
yx
yx
<-> C(-6/5 ;-9/5)
Gọi M( 0 ,3) thuộc BC. Lờy M
1 ,
M
2
đxứng với M qua d
C
, d
B
->M
1
thuộc
AB , M
2
thuộc AC.
{
)1;2(
1
==
B

dMM
un
và MM
1
qua M (0 ;3) -> MM
1
: 2x +y –3 =0
H
1
= MM
1
x d
B
-> H
1
(1;1) -> M
1
(2 ;1)

Từ đó -> AB : 56x + 133y + 21 =0 (chứa B va M
1
)
AC : 5x – 20y –30 = 0 ( chứa C và M
2
)

Bài 5 (2đ)
2005
log
2005

2006
x
+ log
2006
(-x+1) = 1
ĐK : x < 1
pt <-> 2006
x
+ log
2006
(-x+1) = 1
log
2006
(-x+1) = 1- 2006
x
(*)
Đặt y= log
2006
(-x+1) -> -x+ 1=2006
y
-> x= 1 – 2006
y
 hàm số y = 1- 2006
x
với x < 1 là hàm số ngược của hàm
y = log
2006
(-x+1)
pt (*) <-> 1- 2006
x

= x <-> x = 0 ( do x < 1).
Bài 6
Ad BĐT Cô si cho 5 số dương
5
2
b
a
,
5
2
b
a
,
5
2
b
a
,
3
1
a
,
3
1
a
ta có:

335
2
523

bab
a
≥+
(1) dấu = xảy ra khi a = b
tuơng tự

335
2
523
cbc
b
≥+
(2) dấu = xảy ra khi c = b

335
2
523
dcd
c
≥+
(3) dấu = xảy ra khi c = d

335
2
523
ada
d
≥+
(4) dấu = xảy ra khi a = d
cộng (1) ,(2) ,(3) ,(4) theo từng vế ta có BĐT cần chứng minh

dấu = xảy ra khi a = b = c = d
[
[
[
ơ