Tổng hợp đề thi thử học sinh giỏi Lớp 12 môn Toán năm 2013 (7)

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (109.62 KB, 4 trang )

THI CHN HOC SINH GII TNH 12
(Thời gian làm bài 180 phút)
Bi 1: Cho h phng trỡnh:

=+
=++
83
22
axyyx
axyyx
Vi iu kin no ca a thỡ h cú nghim.
Bi 2: Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhn. Chng minh:

( ) ( )

+++++ tanCtanBAtan
3
1
sinsinsin
3
2
CBA
Bi 3: Tỡm iu kin ca m phng trỡnh cú nghim:

( )
mxx =+

4
4
cos1cos
Bi 4: Cho hỡnh chúp t giỏc u SABCD cú cnh ỏy bng a, ng cao bng h.
(P) l
mt phng i qua A vuụng gúc vi SC, (P) ct SB,SC,SD ln lt
,,,
,, DCB
.
1. h phải thỏa mãn điều kiện gì để
,
C
thuộc cạnh SC khi đó tính diện tích
thiết diện.

2. Tính thể tích hình chóp
,,,
DCSAB
.
Bài 5: a, b, c là ba số thực
0
chứng minh rằng :

a
c
c
b
b
a
a

c
c
b
b
a
++++
2
2
2
2
2
2
Sơ lợc đáp án đề thi chọn học sinh giỏi 12
Năm học 2008-2009

Đáp án
Bài 1 (4 điểm)

=+
=++
83
22
axyyx
axyyx

( )

=+
=++
83ayxxy
axyyx
Đặt

=
=+
pxy
syx

điều kiện
PS 4
2

*

=
=+

83aps
asp
đa về phơng trình
083
2

=+ aatt
điều kiện để phơng trình có nghiệm
0
( )
84032120834
22
+ aaaaaa
(1)
S
1
=
2
;
2
2

=
+ a
s
a
1/ a
8

s,p
0

S=
4
2

;4
2

=
+ a
p
a
thỏa mãn
2/a<
0
3
8
sp
khi đó S=
0
2
;0
2

=
+ a
p
a
thỏa mãn
3/
0;4
3
8

psa
khi đó S=
2
;
2

=
+ a
p
a
thế vào
ps 4*
2
(
2
+a
)
2
( ) ( ) ( ) ( )
081348244
2
4
2
22
+

aaaaaa
a

8
3313
3
8 +
a
Vậy với những giá trị:
8
3313
3
8 +
a
hoặc a

8
Bài2 (4 điểm) :
( ) ( )

+++++ tanCtanBAtan
3
1
sinsinsin
3
2

CBA
AAA + tan
3
1
sin
3
2
+
0tansin
3
2
tan
3
1
3
2
+++ CCCBBSinB
Vai trò nh nhau
Đăt f(x) =
xxx + tan
3
1
sin
3
2
x

2
,0

( )
1
cos3
1
cos
3
2
2
,
+=
x
xxf
=
1
cos
1
cos2
3
1
2

+
x
x
áp dụng bất đẳng thức côsi cosx+cosx+
3
cos
1
2

x

( )
0
'
xf
f(x) hàm đồng
biến x

2
,0

f(x)

f(0) =o Thay x=A,x=B, x=C
A.B,C nhọn do đó f(A)>0;f(B)>0,f(C)>0 vậy bất đẳng thứ đợc chứng minh
Bài 3 (4 điểm )
( )
mxx =+
4
4
cos1cos

Đặt t =

cosx điều kiện
1t
Xét hàm số f(x)= t
4
+(1-t)
4

Tìm giá trị lớn và nhỏ nhất trên
1t
f(x)=4t
3
- 4(1-t)
3
f(x)=0 khi t=
2
1

f(1) =1; f(-1) = 17 ; f(
2
1
) =
8
1
vậy phơng trình có nghiệm
17
8
1
m
Mặt phẳng đi qua A vuông góc với SCsẽ cắt (SAC) theo
đờng cao AC của tam giác SAC muốn cho điểm C
năm trên SC thi góc SAC nhọn suy

ra

HSC <45
0
. Vậy ta có SH>HC

2
2
ah
2 gọi k là giao điểm của đờng cao SH của hình chóp với ACta có:
( )
( )
P
SCBD

SCP

//BDVậy (P) cắt (SBD) theo BD đi qua K và //BD .Nên (P) cát
hình chóp SABCD theo thiết diện là tứ giác ABCD có 2 đờng chéo vuông góc
là AC và BD (Do BD vuông góc (SAC vì BD//BD)
Vậy diện tích thiết diện ABCD là
S =
2
1
AC BD mà AC.SC = SH.AC = dt (tg SAC) suy ra
AC =
2
2
2
2
a
h
ha
+
=
22
2
2
ha
ah

+

Từ tính chất trực tâm tam giác SAC có : HK.HS = HA.HC
HK =
h
ah
SK
h
a
2
2
2
222

=

theo tính chất 2 tam giác đồng dạng SBD và SBD
( )
2
2222
2
22
''
2
2''
h
aha
DB
h
ah

SB
SK
BD
DB
=

==

Vậy S =
( )
( )
22
222
22
2
ahh
aha
+

2/ Hình chóp SAB CD có chiều cao là SC với SC.SC = SH.SK( vì tứ giác
HCCK nội tiếp đợc) nên:
SC =
)2(2
2
22
22
ah
ah
+