Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 5

Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 5
KIẾN THỨC CĂN BẢN
Số tự nhiên
I SỐ VÀ CHỮ SỐ
1.1.Bài toán về cấu tạo số và chữ số (10 đề)
1.2.Các bài toán về dãy số (7 đề)
1.3.Bài toán xét tận cùng của số và tính chẵn, lẻ (1 đề)
II CÁC PHÉP TÍNH: (+ - x :)
2.1. Bài toán về tính chất chia hết, chia có dư (3 đề)
2.2. Điền số, chữ số, dấu phép tính
2.3. Bài toán về quan hệ giữa các phép tính (5 đề)
III PHÂN SỐ
3.1. Phân số (5 đề)
3.2.Tỉ số (4 đề)
3.3. Qui tắc tam suất
IV CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH
4.1.Trung bình cộng
4.2.Tìm 2 số biết tổng và hiệu
4.3.Tìm các số biết tổng và tỉ số (11 đề)
4.4.Tìm các số biết hiệu và tỉ số (3 đề)
4.5.Toán về đại lượng tỉ lệ thuận
4.6.Toán về đại lượng tỉ lệ nghịch
4.7.Toán hình học. (5 đề)
4.8.Toán chuyển động (8 đề)
4.9.Toán đo lường
V CÁC DẠNG TOÁN KHÁC
5.1.Suy luận logic
5.2.Toán trồng cây
5.3.Giả thuyết tạm
5.4.Phương pháp khử (1 đề)
5.5. Phương pháp thế

5.6.Phương pháp tính ngược
5.7.Phương pháp lựa chọn
5.8.Phương pháp kết hợp (9 đề)
5.9.Đơn vị qui ước
5.10. Khác
I. KIẾN THỨC VỀ SỐ TỰ NHIÊN
1. Số tự nhiến nhỏ nhất là 0. Không có số tự nhiên lớn nhất.
2. Hai số tự nhiên liên tiếp hơn kém nhau 1 đơn vị. Lấy một số tự nhiên cộng với 1 ta được số
liền sau.
3. Hai số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị. Hai số chẵn liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị.
4. Giữa hai số tự nhiên liên tiếp không có số tự nhiên nào.
5. Với 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ta viết được tất cả các số tự nhiên.
6. Số nhỏ nhất có 1 chữ số là 0, số lớn nhất có 1 chữ số là 9.
Có bao nhiêu số có 1 chữ số? Có 9 - 0 + 1 = 10 (số)
7. Số nhỏ nhất có 2 chữ số là 10, số lớn nhất có 2 chữ số là 99.
Có bao nhiêu số có 2 chữ số? Có 99 - 10 + 1 = 90 (số)
8. Số nhỏ nhất có 3 chữ số là 100, số lớn nhất có 3 chữ số là 999.
Có bao nhiêu số có 3 chữ số? Có 999 - 100 + 1 = 900 (số)
Từ số 5 đến số 27 có bao nhiêu số? Có 27 - 5 + 1 = 23 (số)
Danh sách cán bộ, giáo viên được đánh số thứ tự từ 1 đến 31. Ban giám hiệu
từ số 1 đến 4, giáo viên từ 5 đến 27, nhân viên từ 28 đến 31. Hỏi có bao nhiêu
giáo viên?
9. Thêm 1 chữ số 0 vào bên phải của một số, ta đã gấp số đó lên 10 lần.
Thí dụ: thêm 0 vào số 12 ta được số 120
120 = 12 x 10.
10. Thêm 2 chữ số 0 vào bên phải một số, ta đã gấp số đó lên 100 lần; thêm 3 chữ số 0 vào
bên phải một số, ta đã gấp số đó lên 1000 lần.
11. Thêm 1 chữ số vào bên phải của một số, ta đã gấp số đó lên 10 lần và đơn vị bằng chữ số
viết thêm .
Thí dụ: Thêm 2 vào số 12 ta được số 122

122= 12 x 10 + 2
12. Thêm chữ số 1 vào bên trái một số có 2 chữ số, ta đã thêm số đó 100 đơn vị
Thí dụ: Thêm 1 vào số 23 ta được số 123
123 = 23 + 100
(Thêm 1 vào bên trái một số có 3 chữ số, ta đã thêm số đó 1000 đơn vị; Thêm 1 vào bên trái
một số có 4 chữ số, ta đã thêm số đó 10000 đơn vị)
(Thêm 2 vào bên trái một số có 3 chữ số, ta đã thêm số đó 2000 đơn vị; Thêm 2 vào bên trái
một số có 4 chữ số, ta đã thêm số đó 20000 đơn vị)
BÀI 1:
A và B phải lấy những giá trị số nào để có: A x B = A : B

Hướng dẫn: Học sinh cần nắm một số tính chất cơ bản của: phép nhân, phép chia
BÀI GIẢI
- A bằng 0 thì B nhận bất cứ giá trị số nào.
- B bằng 1 thì A nhận bất cứ giá trị số nào.
BÀI 2:
Tìm số tự nhiên lớn nhất có các chữ số khác nhau mà tổng các chữ số của nó bằng 20.
Hướng dẫn học sinh: Một số tự nhiên lớn nhất khi số đó có nhiều chữ số nhất. Muốn có
nhiều chữ số nhất và tổng các chữ số bằng 20 thì ta chọn các chữ số có giá trị nhỏ nếu có thể
được. Ta có: 0 + 1 + 2+ 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Vậy ta bớt 1 chữ số nào đó để số đó còn 6 chữ số và
tăng giá trị 1 chữ số khác để có số lớn nhất. Chữ số hàng trăm nghìn có thể là 9 không?
Nhẩm tính ta có 9 + 5 + 3 + 2 + 1 + 0 = 20. Vậy số đó là 953210
BÀI GIẢI
Muốn có số tự nhiên lớn nhất và tổng các chữ số bằng 20 thì ta chọn các chữ số có giá trị nhỏ
và có chữ số 0 để được nhiều chữ số. Nếu các chữ số là 0 + 1 + 2+ 3 + 4+ 5 + 6= 21 thì dư 1. Ta
bỏ đi 1 chữ số và tăng số 6 thành số lớn nhất nếu có thể được.
Ta có 9 + 5 + 3 + 2 + 1 + 0 = 20 . Vậy số 953210 là đáp số của bài toán.
BÀI 3:
Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số mà tổng các chữ số bằng 15.

Hướng dẫn học sinh: Một số tự nhiên có 3 chữ số lớn nhất thì chữ số hàng trăm phải là số lớn
nhất. Kết hợp với tổng các chữ số bằng 15 thì chữ số hàng trăm có thể là 9. Từ đó 2 chữ số còn
lại phải có tổng là 6. Ta chọn 6 + 0 = 6. Vậy số đó là 960.
BÀI GIẢI
Trước hết, chọn số hàng đơn vị là số 0. Tiếp tục chọn chữ số hàng trăm và chữ số hàng chục
sao cho có tổng 2 chữ số bằng 15. Số 9 cộng với 6 bằng 15. Vậy số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ
số và có tổng các chữ số bằng 15 là số 960.
Đáp số: 960
BÀI 4:
Cho A = 1 + 11 + 111 + 1111 + + 111111111 + 1111111111. Có 10 số hạng. Hỏi A chia
cho 9 dư bao nhiêu?

Hướng dẫn học sinh: Vận dụng dãy số cách đều để giải bài toán này.
Số hạng thứ nhất là 1 chữ số 1, số hạng thứ mười là 10 chữ số 1. Cặp số hạng thứ nhất và thứ
mười có 11 chữ số 1.
Số A có tất cả 11 x 5 = 55 chữ số 1. Tổng các chữ số 1 là 55.
55 chia 9 dư bao nhiêu?
BÀI GIẢI
Số A có tổng các chữ số 1 là: (10+1) x 5 = 55.
55 chia 9 được 6 lần và dư 1.
Đáp số: dư 1
BÀI 5:
Tìm tất cả các số chẵn có ba chữ số mà khi chia mỗi số đo cho 9 ta được thương là một số có
ba chữ số.
(Giải bằng nhiều cách)

Cách 1:
Thương bé nhất có ba chữ số là 100. Ta biết 9 là số lẻ khi nhân với số chẵn sẽ được số chẵn
cần tìm.
Ta có:

100 x 9 = 900
102 x 9 = 918
104 x 9 = 936
106 x 9 = 954
108 x 9 = 972
110 x 9 = 990
112 x 9 = 1008 loại
Các số cần tìm là: 900, 918, 936, 954, 972, 990.
Cách 2:
Thương bé nhất có ba chữ số là 100. Số bị chia ứng với thương 100 là: 100 x 9 = 900. Số 900
số chẵn có ba chữ số bé nhất theo yêu cầu của bài
Các số cần tìm có dạng: 9a8, 9a6, 9a4, 9a2, 9a0. Vận dụng tính chất chia hết cho 9, ta thay a
bằng một chữ số để có tổng các chữ số chia hết cho 9. Ta có: 918, 936, 954, 972, 990
Các số cần tìm là: 900, 918, 936, 954, 972, 990.
Cách 3:
Thương bé nhất có ba chữ số là 100. Số bị chia ứng với thương 100 là: 100 x 9 = 900. Số 900
số chẵn có ba chữ số bé nhất theo yêu cầu của bài
Các số cần tìm là một số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 9 hay chia hết cho 18 (2x9=18)
Vậy ta lần lượt có các số:
900 + 18 = 918
918 + 18 = 936
936+ 18 = 954
954+ 18 = 972
972+ 18 = 990
990+ 18 = 1008 loại
Các số cần tìm là: 900, 918, 936, 954, 972, 990.
BÀI 6:
Tìm số tự nhiên nhỏ nhất được viết bởi các chữ số khác nhau và tổng các chữ số của nó
bằng 25.

Số nhỏ nhất khi có ít chữ số nhất, giá trị từng chữ số lớn nhất có thể.
Hàng đơn vị là 9; hàng chục là 8; hàng trăm là 7. Vậy hàng nghìn là 1 để có tổng các chữ số
bằng 25.
Số đó là: 1 789
BÀI 7:
Tìm số lớn nhất được viết bởi các chữ số khác nhau và tổng các chữ số của nó bằng 23.
chuong giải:
Số lớn nhất khi có nhiều chữ số nhất, giá trị từng chữ số nhỏ nhất có thể.
Ta chọn các chữ số nhỏ nhất là: 0; 1; 2; 3; 4; 5 và 8 để có 0+1+2+3+4+5+8=23.
Số lớn nhất đó là: 8 543 210
BÀI 8:
Tìm số tự nhiên bé nhất khác 0 và chia hết cho 2; 3; 4; 5 và 6.
huong giải:
Số chia hết cho 6 thì chia hết cho 2 và cho 3.
Số bé nhất vừa chia hết cho 4, vừa chia hết cho 6 là: 2 x 2 x 3=12
Số cần tìm là: 12 x 5 = 60
BÀI 9:
Tìm số tự nhiên bé nhất khác 1 và khi chia số đó cho 2; 3; 4; 5 và 6 thì cùng có số dư
bằng 1.
Như bài 8, để đều dư 1 ta thêm vào số bị chia 1 đơn vị. 60 + 1 = 61

BÀI 10:
Tìm số tự nhiên bé nhất sao cho khi chia số đó cho 2; 3; 4; 5 và 6 thì được số dư lần lượt
là 1; 2; 3; 4 và 5.
Như bài 8, để đều có số dư bé hơn số chia 1 đơn vị thì ta bớt ở số bị chia 1 đơn vị.
60 – 1 = 59
BÀI 11:
Một dãy phố có 20 nhà. Số nhà được đánh là các số lẻ liên tiếp. Biết tống của 20 số nhà đó
bằng 2000. Hãy cho biết số nhà cuối cùng.?
Tổng 2 số nhà đầu tiên và cuối cùng là: 2000 : (20:2) = 200

Hiệu 2 số nhà đầu tiên và cuối cùng là: (20-1) x 2 = 38
Số nhà cuối cùng là: (200 + 38) : 2 = 119
BÀI 12:
Một dãy phố có 50 nhà. Số nhà được đánh là các số chẵn liên tiếp. Biết tống của 50 số nhà đó
bằng 4950. Hãy cho biết số nhà đầu tiên?
Tổng 2 số nhà đầu tiên và cuối cùng là: 4950 : (50:2) = 198
Hiệu 2 số nhà đầu tiên và cuối cùng là: (50-1) x 2 = 98
Số nhà đầu tiên là: (198 – 98) : 2 = 50
Dịch chuyển dấu phẩy số thập phân
Ví dụ 1
Khi chuyển dấu phẩy của số thập phân A sang bên phải một chữ số, số đó tăng thêm 175,05
đơn vị. Tính số A.
Hướng dẫn học sinh giải:
Khi chuyển dấu phẩy của số thập phân sang bên phải một chữ số làm số đó tăng thêm 10 lần và
hơn số trước khi tăng 9 lần.
175,05 chính bằng 9 lần số A. Số A là: 175,05 : 9 = 19,45
Ví dụ 2
Khi chuyển dấu phẩy của số thập phân B sang bên phải hai chữ số, số đó tăng thêm 24,75
đơn vị. Tính số B.
Hướng dẫn học sinh giải:
Khi chuyển dấu phẩy của số thập phân sang bên phải hai chữ số làm số đó tăng thêm 100 lần và
hơn số trước khi tăng 99 lần.
24,75 chính bằng 99 lần số B. Số B là: 175,05 : 99 = 0,25
Ví dụ 3
Khi chuyển dấu phẩy của số thập phân C sang bên trái một chữ số, số đó giảm đi 18,072 đơn
vị. Tính số C.
Hướng dẫn học sinh giải:
Khi chuyển dấu phẩy của số thập phân sang bên trái một chữ số làm số đó giảm đi 10 lần và
kém hơn số trước khi giảm 9 lần.
18,072 chính bằng 9 lần số sau khi giảm. Số C là: 18,072 : 9 x 10 = 20,08

Ví dụ 3
Khi chuyển dấu phẩy của số thập phân D sang bên trái hai chữ số, số đó giảm đi 18,513 đơn
vị. Tính số D.
Hướng dẫn học sinh giải:
Khi chuyển dấu phẩy của số thập phân sang bên trái hai chữ số làm số đó giảm đi 100 lần và
kém hơn số trước khi giảm 99 lần.
18,513 chính bằng 99 lần số sau khi giảm. Số D là: 18,513 : 99 x 100 = 18,7
Dịch chuyển dấu phẩy
1
Khi cộng một số tự nhiên với một số thập phân một học sinh sơ ý viết nhầm dấu phẩy của số
thập phân sang bên phải một hàng nên tìm được tổng sai bằng 591,4. Tìm số thập phân đó? Biết
tổng đúng bằng 480,34.
ĐS: 12,34
2
Tổng của một số tự nhiên và một số thập phân là 2077,15 .Nếu bỏ dấu phẩy của số thập phân
đó thì tổng sẽ bằng 8824 . tìm số tự nhiên và số thập phân đó ?
ĐS : số tự nhiên đó là 2009, Số thập phân đó là 68,15
3
Cho số thập phân A; chuyển dấu phẩy của số thập phân A sang phải một hàng ta được số B.
Biết B – A = 222,12. Tìm số thập phân A.
ĐS : 24,68
Xóa chữ số bên phải của một số:
Ví dụ 1:
Khi xóa chữ số 9 ở hàng đơn vị của một số tự nhiên thì được số mới kém số đó 1809 đơn vị.
Tìm số tự nhiên đó.
Hướng dẫn học sinh giải:
Số mới bé hơn số cần tìm 9 đơn vị và 9 lần số mới
9 lần số mới là: 1809 - 9 = 1800
Số mới là: 1800 : 9 =200
Số cần tìm là: 2009

* Hoặc số cần tìm là 200 x 10 + 9 = 2009
Ví dụ 2:
Tìm một số tự nhiên, biết rằng khi xóa chữ số hàng đơn vị của số đó thì ta được số mới kém
số phải tìm 1794 đơn vị.
Hướng dẫn học sinh giải:
Số mới bé hơn số cần tìm bằng dơn vị của số cần tìm và 9 lần số mới.
Chữ số xóa đi bằng bao nhiêu? Tính nhẩm để tìm số chia hết cho 9 mà bé hơn hơn 1974 dưới 9
đơn vị.Số đó là 1971. Vậy chữ số ở hàng đơn vị là: 1974 - 1971 = 3
9 lần số mới là: 1794 - 3 = 1971
Số mới là: 1971 : 9 =199
Số cần tìm là: 1993
* Hoặc số cần tìm là 199 x 10 + 3 = 1993
Ví dụ 3:
Khi xóa chữ số 6 ở hàng đơn vị và chữ số 3 ở hàng chục của một số tự nhiên thì được số mới
kém số đó 1917 đơn vị. Tìm số đó.
Hướng dẫn học sinh giải:
Số mới bé hơn số cần tìm 36 đơn vị và 99 lần số mới
99 lần số mới là: 1917 - 36 = 1881
Số mới là: 1881 : 99 = 19
Số cần tìm là: 1936
* Hoặc số cần tìm là 19 x 100 + 36 = 1936
Ví dụ 4:
Khi xóa hai chữ số tận cùng của một số tự nhiên thì được số mới kém số đó 1989 đơn vị. Tìm
số tự nhiên đó.
Hướng dẫn học sinh giải:
Số mới bé hơn số cần tìm bằng hai chữ số xóa đi và 99 lần số mới
Hai chữ số xóa đi bằng bao nhiêu? Tính nhẩm để tìm số chia hết cho 99 mà bé hơn hơn 1989 từ
9 đến 18 đơn vị. Số đó là 1980. Vậy hai chữ số xóa đi là : 1989 - 1980 = 9, cũng là 09
Số mới là: 1980 : 99 = 20
Số cần tìm là: 2009

* Hoặc số cần tìm là 20 x 100 + 09 = 2009
một số bài luyện tập dạng toán xóa chữ số bên phải của một số:
1a)
Khi xóa chữ số 8 ở hàng đơn vị của một số tự nhiên thì được số mới kém số đó 1772 đơn vị.
Tìm số tự nhiên đó.
1b)
Khi xóa chữ số 7 ở hàng đơn vị của một số tự nhiên thì được số mới kém số đó 1753 đơn vị.
Tìm số tự nhiên đó.
2a)
Tìm một số tự nhiên, biết rằng khi xóa chữ số hàng đơn vị của số đó thì ta được số mới kém
số phải tìm 1795 đơn vị.
2b)
Tìm một số tự nhiên, biết rằng khi xóa chữ số hàng đơn vị của số đó thì ta được số mới kém
số phải tìm 1796 đơn vị.
3a)
Khi xóa chữ số 7 ở hàng đơn vị và chữ số 3 ở hàng chục của một số tự nhiên thì được số mới
kém số đó 1918 đơn vị. Tìm số đó.
3b)
Khi xóa chữ số 8 ở hàng đơn vị và chữ số 3 ở hàng chục của một số tự nhiên thì được số mới
kém số đó 1919 đơn vị. Tìm số đó.
4a)
Khi xóa hai chữ số tận cùng của một số tự nhiên thì được số mới kém số đó 1990 đơn vị. Tìm
số tự nhiên đó.
4b)
Khi xóa hai chữ số tận cùng của một số tự nhiên thì được số mới kém số đó 1991 đơn vị. Tìm
số tự nhiên đó.
Các bài toán cơ bản về dãy số
A. Dãy số có bao nhiêu số?
a) Dãy số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, có bao nhiêu số?
Dãy số có: (8 – 1) : 1 + 1 = 8 (số).

Lấy số cuối trừ cho số đầu chia cho hiệu 2 số liền kề rồi cộng thêm 1
b) Dãy số 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 có bao nhiêu số?
Dãy số có: (13 – 1) : 2 + 1 = 7 (số).
Lấy số cuối trừ cho số đầu chia cho hiệu 2 số liền kề rồi cộng thêm 1

c) Dãy số 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 , …, 19 có bao nhiêu số?
Dãy số có: (19 – 1) : 2 + 1 = 10 (số).
Lấy số cuối trừ cho số đầu chia cho hiệu 2 số liền kề rồi cộng thêm 1

B. Số đầu tiên, số cuối cùng, số thứ của dãy số?
a) Dãy số 1, 3, 5, 7… có 7 số. Số cuối cùng là bao nhiêu?
Số cuối cùng là: 1 + (7 – 1) x 2 = 13
Lấy số đầu tiên cộng với hiệu.
Hiệu của số đầu tiên và số cuối cùng bằng lấy số số hạng trừ 1 nhân với hiệu hai số liền kề.
b) Dãy số …, 13 , 15, 17, 19 có 9 số. Số đầu tiên là bao nhiêu?
Số đầu tiên là: 19 – (9 – 1) x 2 = 3
Lấy số cuối trừ cho hiệu.
Hiệu của số cuối cùng và số đầu tiên bằng lấy số số hạng trừ 1 nhân với hiệu hai số liền kề.
Số chẵn có 3 chữ số thứ 345 là
số nào?
Số chẵn có 3 chữ số thứ 345 là
số : 100 + (345 - 1) x 2 = 788.
Lấy số chẵn có 3 chữ số nhỏ
nhất cộng với hiệu.
* Đề toán tương tự :
Cho dãy số 100, 102, 104, …,
… Hỏi số thứ 345 là số nào ?
Số lẻ có 3 chữ số thứ 345 là
số nào?
Số lẻ có 3 chữ số thứ 345 là

số : 101 + (345 - 1) x 2 =
789.
Lấy số lẻ có 3 chữ số nhỏ
nhất cộng với hiệu.
* Đề toán tương tự :
Cho dãy số 101, 103, 105,
…,… Hỏi số thứ 345 là số
nào ?
Số có 3 chữ số thứ 345 là số
nào?
Số có 3 chữ số thứ 345 là số :
100 + (345 - 1) x 1 = 444.
Lấy số có 3 chữ số nhỏ nhất
cộng với hiệu.
* Đề toán tương tự :
Cho dãy số 100, 101, 102, …,
… Hỏi số thứ 345 là số
nào ?

Số có 3 chữ số chia hết cho 3 thứ
34 là số nào?
Số có 3 chữ số chia hết cho 3 thứ
34 là số: 102 + (34 - 1) x 3 =
201.
Lấy số có 3 chữ số chia hết cho
3 nhỏ nhất cộng với hiệu.
* Đề toán tương tự :
Cho dãy số 102, 105, 108, …,
… Hỏi số thứ 345 là số nào ?

Số có 3 chữ số chia hết cho
9 thứ 34 là số nào?
Số có 3 chữ số chia hết cho
9 thứ 34 là số: 108 + (34 - 1)
x 9 = 405.
Lấy số có 3 chữ số chia hết
cho 9 nhỏ nhất cộng với
hiệu.
* Đề toán tương tự :
Cho dãy số 108, 117, 126,
…,… Hỏi số thứ 345 là số
nào ?

C. Tính tổng của dãy số.
a) Tính tổng của dãy số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Tổng của dãy số là (1 + 8) x 8 : 2 = 36 (đơn vị)
Lấy số đầu tiên cộng với số cuối cùng nhân với số số hạng chia cho 2
Vì 8 số tạo thành 4 cặp, mỗi cặp có giá trị bằng 1 + 8 = 9
b) Tính tổng của dãy số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Tổng của dãy số là (1 + 9) x 9 : 2 = 45 (đơn vị)
Lấy số đầu tiên cộng với số cuối cùng nhân với số số hạng chia cho 2
Vì 9 số tạo thành 4,5 cặp, mỗi cặp có giá trị bằng 1 + 9 = 10
c) Tính tổng của dãy số 1, 2, 3, , 344
Dãy số trên có: (344 - 1) : 1 + 1 = 344 (số)
Tổng của dãy số là (1 + 344) x 344 : 2 = 59340 (đơn vị)
Lấy số đầu tiên cộng với số cuối cùng nhân với số số hạng chia cho 2

d) Tính tổng của dãy số 2, 4, 6, , 344
Dãy số trên có: (344 - 2) : 2 + 1 = 172 (số)
Tổng của dãy số là (2 + 344) x 172 : 2 = 29756 (đơn vị)

Lấy số đầu tiên cộng với số cuối cùng nhân với số số hạng chia cho 2

e) Tính tổng của dãy số 5, 7, 9, , 345
Dãy số trên có: (345 - 5) : 2 + 1 = 171 (số)
Tổng của dãy số là (2 + 345) x 171 : 2 = 29925 (đơn vị)
Lấy số đầu tiên cộng với số cuối cùng nhân với số số hạng chia cho 2
BÀI 1:
Hãy so sánh từ 1 đến 100, tổng các số lẻ và tổng các số chẵn hơn kém bao nhiêu đơn vị? Nêu
rõ cách giải.
BÀI 2:

Tính Y:
Y+ 1+ Y + 2 + Y + 3 +Y + 4 + Y + 5 = 60
Để giải bài này các em sẽ dùng tính chất giao hoán, tính chất kết hợp và tìm thành phần chưa
biết của phép tính.
Trước tiên, các em sẽ giao hoán các số hạng giống nhau thành 1 nhóm, các số hạng còn lại
thành 1 nhóm, dùng dấu ngoặc đơn để kết hợp chúng lại ta được:
(y + y + y + y + y) + (1+2 + 3 + 4 + 5) = 60
Tiếp theo, chuyển phép cộng có các số hạng giống nhau thành phép nhân và tính tổng các số
hạng còn lại, ta được:
y x 5 + 15 = 60 (xem y x 5 là số hạng chưa biết)
y x 5 = 60 - 15 (tìm số hạng chưa biết)
y x 5 = 45 (trở về dạng cơ bản)
y = 45 : 5
y = 9
BÀI GIẢI
y + 1 + y + 2 + y + 3 + y + 4 + y + 5 = 60
(y + y + y + y + y) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 60
y x 5 + 15 = 60
y x 5 = 60 - 15

y x 5 = 45
y = 45 : 5
y = 9
Đáp số y = 9
BÀI 3:

Cho một dãy số có 10 chữ số thập phân với các số cách đều nhau. Biết tổng của các số ở vị trí
1, 3, 5, 7, 9 bằng 24. Tổng của các số ở vị trí 2, 4, 6, 8, 10 bằng 28. Hãy cho biết dãy số đó gồm
những số nào.
- Đây là bài toán dạng dãy số cách đều, cho biết tổng và thấy rõ số các số hạng. Cả 2 dãy số
tách ra cũng theo thứ tự cách đều, mỗi dãy gồm 5 số hạng. Do vậy số chính giữa là trung bình
cộng của dãy số.
- Dãy số ở vị trí 1, 3, 5, 7, 9, Số trung bình cộng nằm ở vị trí 5 đó là: 24 : 5 (số hạng) = 4,8
- Dãy số ở vị trí 2 ,4 , 6 , 8 , 10 , Số trung bình cộng nằm ở vị trí 6 đó là: 28 : 5 (số hạng) =
5,6
Nhận xét 2 số hạng liền nhau vị trí 5 và 6 có qui luật là cách nhau 0,8.
Mặt khác , trung bình cộng của 10 số hạng trên là : ( 24 + 28 ) : 10 = 5,2
mà (4,8 + 5,6 ) : 2 = 5,2 nên nhận xét trên là đúng. Dãy số cần tìm là: 1,6 ; 2,4 ; 3,2 ; 4,0 ;
4,8; 5,6 ; 6,4 ; 7,2 ; 8,0 ; 8,8.

Giúp học sinh nhận xét, nhận dạng:
Trước khi giải bài này các em nên biết:
- Tổng của dãy số cách đều. Ví dụ tổng của dãy số 1, 2, 3, 4, 5 là 15.
- Trung bình cộng của dãy số trên là:
15 : 5 = 3.
- Số 3 cũng chính là số chính giữa của dãy số.
Bài toán thuộc dạng dãy số cách đều gồm 10 số. Dãy số được tách thành 2 dãy số con, mỗi
dãy số con gồm 5 chữ số và tổng các số trong dãy. Từ dữ liệu đã có, ta tính được trung bình
cộng của mỗi dãy số. Đó cũng là số chính giữa của mỗi dãy. Biết được số chính giữa, biết được
hiệu của 2 số liền kề ta lập được dãy số.

BÀI GIẢI
Trung bình cộng của dãy số có các vị trí 1, 3, 5, 7, 9 là:
24 : 5 = 4,8. Số 4,8 chính là số chính giữa của dãy số (số vị trí 5).
Trung bình cộng của dãy số có các vị trí 2, 4, 6, 8, 10 là:
28 : 5 = 5,6. Số 5,6 chính là số chính giữa của dãy số (số vị trí 6).
Hiệu của vị trí số 5 và số 6 là:
5,6 - 4,8 = 0,8.
Ta lập được dãy số cần tìm: 1,6 ; 2,4 ; 3,2 ; 4,0 ; 4,8 ; 5,6 ; 6,4 ; 7,2 ; 8,0 ; 8,8
BÀI 4:

Điền thêm ba số hạng vào mỗi dãy số sau và nêu quy luật viết số của dãy số đó:
a) 10 ; 18 ; 32 ; 54 ; ; ;
b) 15 ; 32 ; 66 ; 134 ; ; ;
a/ 10 ; 18 ; 32 ; 54 ; 90 ; 148 ; 242 .
Qui luật của dãy số là: Từ số thứ ba trở đi, ta có số sau bằng tổng 2 số liền trước cộng thêm 4.
b/ 15 ; 32 ; 66 ; 134 ; 270 ; 542 ; 1086.
Qui luật của dãy số là: Số đứng sau bằng số liền trước nhân 2 rồi cộng 2.
Qui luật của dãy số còn là: Số thứ ba bằng 2 lần hiệu của 2 số liền trước cộng với số liền
trước.
Ví dụ: 270 = ( 134 - 66 ) x 2 + 134
BÀI 5:
Tổng của hai số là 2009, giữa hai số trên có 5 sổ lẻ. Tìm hai số.
Tổng 2 số tự nhiên là 2009 (lẻ), tức phải có 1 chẵn và 1 lẻ. Giữa chúng có 5 số lẻ, phải có 5 số
chẵn. Vậy giữa chúng có 10 số.
Hiệu chúng là: 10 + 1 = 11 (số)
Số bé: (2009 – 11) : 2 = 999
Sơ lớn: 2009 – 999 = 1010
Đáp sô: 999 và 1010
BÀI 6:
BÀI 7:

Tìm hai số lẻ có tổng là 2006 và giữa chúng có 5 sổ lẻ.
Hướng dẫn học sinh:
Học sinh cần ghi nhớ.
Hai số tự nhiên liền kề hơn kém nhau 1 đơn vị.
Hai số lẻ liền kề hơn kém nhau 2 đơn vị.
Hai số chẵn liền kề hơn kém nhau 2 đơn vị.
Xét 5 sổ lẻ ở giữa, hiệu giữa số lẻ lớn và số lẻ bé là: (5-1) x 2 = 8 (đơn vị)
Như vậy, hiệu giữa số lẻ lớn và số lẻ bé của đề bài là: 8 + 2 + 2 = 12
Số lẻ lớn của đề bài: (2006 + 12) : 2 = 1009
Số lẻ bé của đề bài: (2006 - 12) : 2 = 997
Tìm hai số chẵn có tổng là 2006 và giữa chúng có 5 sổ lẻ.
Hướng dẫn học sinh:
Xét 5 sổ lẻ ở giữa, hiệu giữa số lẻ lớn và số lẻ bé là: (5-1) x 2 = 8 (đơn vị)
Như vậy, hiệu giữa số chẵn lớn và số chẵn bé của đề bài là: 8 + 1 + 1 = 10
Số lẻ lớn của đề bài: (2006 + 10) : 2 = 1008
Số lẻ bé của đề bài: (2006 - 10) : 2 = 998
Tìm hai số có tổng là 2009 và giữa chúng có 5 sổ lẻ
Hướng dẫn học sinh:
Tổng của hai số là một số lẻ nên một trong hai số là số lẻ
Xét 5 sổ lẻ ở giữa, hiệu giữa số lẻ lớn và số lẻ bé là: (5-1) x 2 = 8 (đơn vị)
Như vậy, hiệu giữa số chẵn lớn và số chẵn bé của đề bài là: 8 + 2 + 1 = 11
Số lẻ lớn của đề bài: (2009 + 11) : 2 = 1010
Số lẻ bé của đề bài: (2009 - 11) : 2 = 999
BÀI 8:

Cho dãy số: 1 ; 4 ; 7 ; 10 ; ; 37; 40.
Câu a: Dãy số trên có bao nhiêu số?
Câu b: 19 có thuộc dãy số trên không? Tại sao?
Câu c: 35 có thuộc dãy số trên không? Tại sao?
HƯỚNG DẪN HỌC SINH:

Câu a: Số số của dãy: (40 - 1) : 3 + 1 = 14 (số)
Câu b:
Qui luật của dãy số là hai số liền kề hơn kém nhau 3 đơn vị nên hiệu của một số với số thứ
nhất đều chia hết cho 3.
(19 -1) : 3 = 6, số 19 thuộc dãy số trên
Câu c:
(35 -1) : 3 = 11 dư 1, số 35 không thuộc dãy số trên

BÀI 9:
Một khu phố có 2 dãy nhà đối diện nhau, được đánh số liên tục từ 1 đến 50. Nhà số 1
đối diện với nhà số 50, nhà số 2 đối diện với nhà số 49 Hỏi nhà số 15 đối diện với nhà số
bao nhiêu?
Hướng dẫn học sinh:
Vận dụng dãy số cách đều để giải bài toán này.
50 số tạo thành 25 cặp số. Mỗi cặp số có giá trị: 1 + 50 = 51.
Vậy nhà đối diện với nhà số 15 là: 51 - 15 = 36
Đáp số: Nhà số 36.
BÀI 10:
Câu a: Ta viết được tất cả bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số?
Câu b: Ta viết được tất cả bao nhiêu số lẻ có 4 chữ số?
Câu a:
Số chẵn có 3 chữ số bé nhất là 100.
Số chẵn có 3 chữ số lớn nhất là 998.
Số số chẵn có 3 chữ số là: (998 - 100) : 2 + 1 = 450 (số)
Đáp số: có 450 số

Câu a:
Số lẻ có 4 chữ số bé nhất là 1001.
Số lẻ có 4 chữ số lớn nhất là 9999.
Số số lẻ có 4 chữ số là: (9999 - 1001) : 2 + 1 = 4500 (số)

Đáp số: có 4500 số
BÀI 11:
Cho dãy số: 3 ; 13 ; 23 ; 43 ; 53 ; Chọn một trong bốn số sau để thêm vào dãy số trên: 63
; 73 ; 83 ; 93. Tại sao?
Dãy số theo quy luật là số không chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 9 và sắp theo thứ tự từ nhỏ
đến lớn.
Số 63 chia hết cho 3, loại.
Số 73 không chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 9, chấp nhận.
Đáp số: Số 73.
BÀI 12:
BÀI 13:
Một tòa nhà ở tầng một có 9 phòng, tầng hai có 8 phòng, tầng ba có 7 phòng, cho đến tầng
cao nhất có 1 phòng. Hỏi tòa nhà có bao nhiêu tầng và bao nhiêu phòng.
Bài toán nầy có dạng dãy số cách đều: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Số tầng của tòa nhà: 7 tầng
Số phòng của tòa nhà: (1 + 7) x 7 : 2 = 28 (phòng)
Đáp số: 7 tầng và 28 phòng
BÀI 14:
Một dãy số cách đều có 7 số. Số đầu dãy số là 5, số chính giữa dãy số là 35. Hãy viết đầy đủ
dãy số trên.
Do dãy số có 7 số hạng nên số 35 chính là số hạng thứ tư của dãy số.
Hai số liền kề hơn kém nhau: (35 - 5) : (4 - 1) = 10 (đơn vị)
Dãy số đầy đủ là : 5 , 15 , 25 , 35 , 45 , 55 , 65.
BÀI 2:
Một số chia 5 dư 1 khi có chữ số ở hàng đơn vị là 1 hoặc 6. Số đó là số lẻ thì chữ số
ở hàng đơn vị là 1.
Ta đã có 5 + 6 + 7 = 18, 18 chia hết cho 9 nên ta chỉ còn tìm ba số chia cho 9 dư 1.
Như trên ta đã có chữ số hàng đơn vị là 1 nên ta chỉ còn tìm hai chữ số ở hàng
trăm, hàng chục chia hết cho 9.
Các cặp số đó là: 09; 90 : chọn

18; 81, trùng 1 loại
27; 72, trùng 7 loại
36; 63, trùng 6 loại
45; 54, trùng 5 loại
Như vậy số đó là 567091 hoặc 567901.
* nguyenngocphuong giải:
Xin giải bài toán thêm 3 chữ số :
Giải
Số lẻ chia cho 5 dư 1 , suy ra chữ số tận cùng phải là chữ số 1.
Số cần tìm có dạng 567**1.
Tổng các chữ số hiện có : 5+6+7+1 = 19
Để số 567**1 chia cho 9 dư 1 thì tổng của ** phải là 9
Để ** là 2 chữ số khác nhau , ta tìm được 2 chữ số 0 và 9. Vậy số phải tìm là 567091 và
567901
Đáp số : 567091 và 567901
BÀI 1:
Một cửa hàng có 5 rổ đựng cam và chanh. Trong mỗi rổ chỉ đựng một loại quả (cam hoặc
chanh). Số quả đựng ở mỗi rổ lần lượt là 110 quả, 100 quả, 105 quả, 115 quả, 130 quả. Sau khi
cất đi một rổ thì trong các rổ còn lại có số quả cam nhiều gấp 3 lần số quả chanh. Hỏi trong các
rổ còn lại đó có bao nhiêu quả mỗi loại? Giải thích cách tìm.
Đề thi HSG toàn quốc 1989

*havietchuong giải:
Sau khi cất đi một rổ thì trong các rổ còn lại có số quả cam nhiều gấp 3 lần số quả chanh.
Vậy tổng số quả còn lại phải chia hết cho 4 (3+1=4).
Tổng số quả 5 rổ: 110+105+115+130+100 = 560 (quả)
560 là số chia hết cho 4 nhưng trong 5 rổ ấy chỉ có 100 chia hết cho 4 nên rổ được cất đi là rổ
đựng 100 quả. (Tổng số quả còn lại mới chia hết cho 4).
Tổng của 4 rổ còn lại: 560 – 100 = 460 (quả)
Trong các rổ còn lại có số quả chanh:

460 : 4 = 115 ( quả chanh)
Số quả cam: 460 – 115 = 345 (quả cam)
Đáp số: 115 quả chanh ; 345 quả cam.

* huynhthienkhi:
Cùng các bạn thân mến!
Với cách giải của havietchuong ta có thể áp dụng giải các bài toán tương tự được không?,
cụ thể ở 2 bài sau:
Một cửa hàng có 5 rổ đựng cam và chanh. Trong mỗi rổ chỉ đựng một loại quả (cam
hoặc chanh). Số quả đựng ở mỗi rổ lần lượt là 110 quả, 100 quả, 105 quả, 115 quả, 125
quả. Sau khi cất đi một rổ thì trong các rổ còn lại có số quả cam nhiều gấp 3 lần số quả
chanh. Hỏi trong các rổ còn lại đó có bao nhiêu quả mỗi loại? Giải thích cách tìm.

Hoặc bài toán sau:
Một cửa hàng có 5 rổ đựng cam và chanh. Trong mỗi rổ chỉ đựng một loại quả (cam
hoặc chanh). Số quả đựng ở mỗi rổ lần lượt là 120 quả, 100 quả, 105 quả, 125 quả, 130
quả. Sau khi cất đi một rổ thì trong các rổ còn lại có số quả cam nhiều gấp 3 lần số quả
chanh. Hỏi trong các rổ còn lại đó có bao nhiêu quả mỗi loại? Giải thích cách tìm.

Tùy theo mỗi đề toán để ta có cách suy luận một cách hợp lí.

Sau khi cất đi một rổ thì trong các rổ còn lại có số quả cam nhiều gấp 3 lần số quả chanh.
Vậy tổng số quả còn lại phải chia hết cho 4 (3+1=4).
Tổng số quả của 5 rổ: 110+100+105+115+125 = 555 (quả)
555 lẻ không chia hết cho 4 nên rổ bị cất đi cũng phải lẻ không chia hết cho 4 (chỗ này ta
không cần xét đến rổ 100 và rổ 110, ta cần xét hiệu của 555 với 105; 115 và 125).
Ta có: 555 – 115 = 440 (quả) (chia hết cho 4).
Số quả chanh: 440 : 4 = 110 (quả).
Số quả cam: 440 – 110 = 330 (quả)
Hoặc bài toán sau:

Một cửa hàng có 5 rổ đựng cam và chanh. Trong mỗi rổ chỉ đựng một loại quả (cam
hoặc chanh). Số quả đựng ở mỗi rổ lần lượt là 120 quả, 100 quả, 105 quả, 125 quả, 130
quả. Sau khi cất đi một rổ thì trong các rổ còn lại có số quả cam nhiều gấp 3 lần số quả
chanh. Hỏi trong các rổ còn lại đó có bao nhiêu quả mỗi loại? Giải thích cách tìm.
Sau khi cất đi một rổ thì trong các rổ còn lại có số quả cam nhiều gấp 3 lần số quả chanh.
Vậy tổng số quả còn lại phải chia hết cho 4 (3+1=4).
Tổng số quả của 5 rổ: 120+100+105+125+130= 580 (quả)
580 là số chia hết cho 4. Và trong 5 rổ ấy có 2 trường hợp: 100 và 120 chia hết cho 4 nên ta
xét 2 trường hợp này. (Tổng số quả còn lại chia hết cho 4).
*.Trường hợp cất đi rổ 100 quả:
Ta có: 580 – 100 = 480 (quả) (chia hết cho 4).
Số quả chanh: 480 : 4 = 120 (quả).
Số quả cam: 480 – 120 = 360 (quả)
*.Trường hợp cất đi rổ 120 quả:
Ta có: 580 – 120 = 460 (quả) (chia hết cho 4).
Số quả chanh: 460 : 4 = 115 (quả).
Không có rổ đựng 115 quả (loại)
Nếu ta điều chỉnh lại như sau thì sẽ có 2 trường hợp xảy ra.
Một cửa hàng có 5 rổ đựng cam và chanh. Trong mỗi rổ chỉ đựng một loại quả (cam
hoặc chanh). Số quả đựng ở mỗi rổ lần lượt là 120 quả, 100 quả, 105 quả, 115 quả, 140
quả. Sau khi cất đi một rổ thì trong các rổ còn lại có số quả cam nhiều gấp 3 lần số quả
chanh. Hỏi trong các rổ còn lại đó có bao nhiêu quả mỗi loại? Giải thích cách tìm.
* huynhthienkhitrao đổi về Cam Chanh
Cảm ơn havietchuong đã giải chi tiết 3 bài toán 5 rổ cam chanh, và theo thầy mỗi đề toán thì
cần một cách suy luận hợp lí nên cả 3 bài trên thầy cần đến 3 cách giải riêng. Nếu thế! Liệu học
sinh lớp 5 có làm được không?
Theo tôi ở 3 bài này ta không nhất thiết phải suy luận riêng biệt như vậy, chỉ cần giúp học
sinh tìm được mấu chốt của đề bài;
Và ở đây đề bài yêu cầu:
- 4 rổ còn lại gồm 3 phần cam và 1 phần chanh;

- và 1 phần chanh đó phải ở 1 rổ riêng biệt.
Từ 2 yêu cầu này ta giúp học sinh xác định: tổng số quả của 4 rổ được chia làm 4 phần (mỗi
phần là số trung bình cộng của tổng 4 số) và 1 phần trong đó là số quả chanh.
Khi học sinh biết được điều này ta giúp học sinh tìm lần lượt số trung bình cộng của tổng 4
số và chọn lựa số trung bình cộng nào trùng với 1 số hạng của tổng 4 số tạo ra nó. Thì đó là số
chanh cần tìm
Ta tính thử 1 bài toán: bài toán có số quả như sau: 120, 100, 105, 125, 130.
Tìm số trung bình cộng lần lượt của 4 rổ:
(120 + 100 + 105 + 125) : 4 = 450 : 4 = 112,5
(120 + 100 + 105 + 130) : 4 = 455 : 4 = 113,75
(120 + 100 + 125 + 130) : 4 = 475 : 4 = 118,75
(120 + 105 + 125 + 130) : 4 = 480 : 4 = 120
(100 + 105 + 125 + 130) : 4 = 460 : 4 = 115
Chọn lựa số trung bình cộng trùng với 1 số hạng của tổng 4 số tạo ra nó:
(120 + 105 + 125 + 130) : 4 = 120
Đáp số: 1 rổ chanh 120 quả, 3 rổ cam 360 quả.
Áp dụng giải bài toán: 5 rổ với số quả như sau: 120, 100, 105, 115, 140.
Tìm số trung bình cộng lần lượt của 4 rổ;
(120 + 100 + 105 + 115) : 4 = 440 : 4 = 110
(120 + 100 + 105 + 140) : 4 = 465 : 4 = 116,25
(120 + 100 + 115 + 140) : 4 = 475 : 4 = 118,75
(120 + 105 + 115 + 140) : 4 = 480 : 4 = 120
(100 + 105 + 115 + 140) : 4 = 460 : 4 = 115
Chọn lựa: có 2 số đáp ứng yêu cầu 120 và 115
Đáp số: 3 rổ cam (100, 105 và 140)
1 rổ chanh (120)
1 rổ còn lại (115) khi là chanh, khi là cam không cố định
* bachdongso trao đổi về Cam Chanh
Tôi thấy cách giải của hai thầy havietchuong và huynhthienkhi không khác gì nhau
lắm.

- Thầy havietchuong thì lần lượt cất đi một rổ rồi xem xét số (quả) của 4 rổ còn lại có
dấu hiệu chia hết cho 4 không? Nếu có thì chia cho 4 và kết quả sẽ là số quả chanh cần
tìm.
- Thầy huynhthienkhi thì lần lượt cất đi một rổ rồi tính trung bình cộng số (quả) của 4
rổ còn lại xem có là số nguyên hay không? Nếu có thì xem xét số trung bình cộng có trùng
với một số hạng nào đó không? Nếu có thì kết luận đó là số quả chanh cần tìm.
Theo tôi, đối với dạng toán này người ra đề cần lưu ý là chỉ nên có một đáp số. Còn lắt
léo để tăng độ khó thì cũng chỉ nên có một đáp số.
BÀI 2:
Một công ty có số nhân công hưởng mức lương mỗi tuần 360000đ, số khác hưởng mức
495000đ, số còn lại hưởng 672000đ. Sau khi phát lương tháng 7 cho các công nhân, cô kế
toán cộng tất cả số tiền là 273815000đ. Hỏi cô kế toán tính đúng hay sai? Tại sao?
* havietchuong giới thiệu

* bachdongso giải:
Từng số 360000, 495000, 672000 chia hết cho 3 nên tổng của chúng cũng chia hết cho 3.
Từng số 360000, 495000, 672000 chia hết cho 3 nên tích của chúng với một số nguyên cũng
chia hết cho 3.
Số 273885000 không chia hết cho 3 nên cô kế toán đã tính sai
BÀI 3:
havietchuong giới thiệu
* huynhthienkhi giải:
Chỉ cần tính chữ số tận cùng của tổng A+B
Với A ta có: 2004 x 2004 = 16
2004 x 2004 x 2004 = 64
2004 x 2004 x 2004 x 2004 = 256
2004 x 2004 x 2004 x 2004 x 2004 = 1024
Nhận xét: khi nhân 2 thừa số thì chữ số tận cùng của tích là 6, nhân 3 thừa số thì chữ số tận
cùng của tích trở lại là 4 (chu kì là 2 thừa số)
Với A có 2003 thừa số (gồm 1001 chu kì và thừa 1 thừa số) nên chữ số tận cùng của tích của

chúng phải là chữ số 4.
Tương tự với B, ta có: 2003 x 2003 = 9
2003 x 2003 x 2003 = 27
2003 x 2003 x 2003 x 2003 = 81
2003 x 2003 x 2003 x 2003 x 2003 = 243
2003 x 2003 x 2003 x 2003 x 2003 x 2003 = 729
Nhận xét: khi nhân 4 thừa số thì chữ số tận của tích là 1, nhân 5 thừa số thì chữ số tận cùng
của tích trở lại là 3 (chu kì là 4 thừa số)
Với B có 2004 thừa số (gồm 501 chu kì) nên chữ số tận cùng của tích của chúng là chữ số 1
Tổng A + B có chữ số tận cùng là 5 nên chia hết cho 5
BÀI 1