đề thi hsg toán toán 8,đề THI số 39

đề S 39
Bài 1: (2 điểm)
Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:
1.
2
7 6x x
+ +
2.
4 2
2008 2007 2008x x x
+ + +
Bài 2: (2điểm) Giải ph ơng trình:
1.
2
3 2 1 0x x x
+ + =
2.
( )
2 2 2
2
2 2
2 2
1 1 1 1
8 4 4 4x x x x x
x x x x

+ + + + + = +
ữ ữ ữ ữ

Bài 3: (2điểm) 1. CMR với a,b,c,là các số dơng ,ta có: (a+b+c)(
9)

111
++
cba
3. Tìm số d trong phép chia của biểu thức
( ) ( ) ( ) ( )
2 4 6 8 2008x x x x
+ + + + +
cho đa thức
2
10 21x x
+ +
.
Bài 4: (4 điểm)Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng
cao AH (H

BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đờng
vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính
độ dài đoạn BE theo
m AB
=
.
2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam
giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM
3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh:
GB HD
BC AH HC
=
+
.

Bài
1
Câu
Nội dung
Điểm
1.
2,0
1.1
(0,75 điểm)
( ) ( )
2 2
7 6 6 6 1 6 1x x x x x x x x
+ + = + + + = + + +

( ) ( )
1 6x x
= + +
0.5
0,5
1.2
(1,25 điểm)
4 2 4 2 2
2008 2007 2008 2007 2007 2007 1x x x x x x x
+ + + = + + + + +
0,25
( ) ( ) ( )
2
4 2 2 2 2 2
1 2007 1 1 2007 1x x x x x x x x= + + + + + = + + + +
0,25

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
1 1 2007 1 1 2008x x x x x x x x x x
= + + + + + + = + + +
0,25
2.
2,0
2.1
2
3 2 1 0x x x
+ + =
(1)
+ Nếu
1x

: (1)
( )
2
1 0 1x x
= =
(thỏa mãn điều kiện
1x

).
+ Nếu
1x
<
: (1)
( ) ( ) ( )
2 2

4 3 0 3 1 0 1 3 0x x x x x x x
+ = = =

1; 3x x
= =
(cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại)
Vậy: Phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất là
1x
=
.
0,5
0,5
2.2
( )
2 2 2
2
2 2
2 2
1 1 1 1
8 4 4 4x x x x x
x x x x

+ + + + + = +
ữ ữ ữ ữ

(2)
Điều kiện để phơng trình có nghiệm:
0x

(2)

( )
2 2
2
2 2
2 2
1 1 1 1
8 4 4x x x x x
x x x x


+ + + + + = +

ữ ữ ữ ữ



( ) ( )
2
2 2
2
2
1 1
8 8 4 4 16x x x x
x x

+ + = + + =
ữ ữ

0 8x hay x
= =

và
0x

.
Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm
8x
=
0,25
0,5
0,25
3
2.0
3.1 Ta có:
A=
111)
111
)((
++++++++=++++
b
c
a
c
c
b
a
b
c
a
b
a

cba
cba
=
)()()(3
c
b
b
c
a
c
c
a
a
b
b
a
++++++
Mà:
2
+
x
y
y
x
(BĐT Cô-Si)
Do đó A
.92223
=+++
Vậy A
9

0,5
0,5
3.2 Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
( ) 2 4 6 8 2008
10 16 10 24 2008
P x x x x x
x x x x
= + + + + +
= + + + + +
Đặt
2
10 21 ( 3; 7)t x x t t= + +
, biểu thức P(x) đợc viết lại:
( ) ( )
2
( ) 5 3 2008 2 1993P x t t t t
= + + = +
Do đó khi chia
2
2 1993t t
+
cho t ta có số d là 1993
0,5
0,5
4
4,0

4.1 + Hai tam gi¸c ADC vµ BEC cã:
Gãc C chung.

CD CA
CE CB
=
(Hai tam gi¸c vu«ng CDE
vµ CAB ®ång d¹ng)
Do ®ã, chóng dång d¹ng (c.g.c).
Suy ra:
·
·
0
135BEC ADC= =
(v× tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H theo gi¶ thiÕt).
Nªn
·
0
45AEB
=
do ®ã tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A. Suy ra:
2 2BE AB m
= =
1,0
0,5
4.2
Ta cã:
1 1
2 2
BM BE AD

BC BC AC
= × = ×
(do
BEC ADC
∆ ∆
:
)
mµ
2AD AH
=
(tam gi¸c AHD vu«ng v©n t¹i H)
nªn
1 1 2
2 2
2
BM AD AH BH BH
BC AC AC BE
AB
= × = × = =
(do
ABH CBA
∆ ∆
:
)
Do ®ã
BHM BEC
∆ ∆
:
(c.g.c), suy ra:
·

·
·
0 0
135 45BHM BEC AHM= = ⇒ =
0,5
0,5
0,5
4.3 Tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A, nªn tia AM cßn lµ ph©n gi¸c gãc BAC.
Suy ra:
GB AB
GC AC
=
, mµ
( ) ( )
//
AB ED AH HD
ABC DEC ED AH
AC DC HC HC
= ∆ ∆ = =
:
0,5
Do ®ã:
GB HD GB HD GB HD
GC HC GB GC HD HC BC AH HC
= ⇒ = ⇒ =
+ + +
0,5