Đề thi học kì II môn toán lớp 10 Hậu lộc 2 năm học 2014 - 2015(có đáp án)

Câu 1 (3 điểm). Giải các phương trình, bất phương trình và hệ phương trình sau:
a.
5 4 2
x x
  
; b.
2
2 3 4 7 2
x x x
   
;
c.
2 1 2
x x
  
; d.
1 1
2
1
x x
x x
 
 

;

e.
2 2
7
5
x y xy
x y xy

  

  

; f.
2 2
3 3
2 3
2 6
x y xy
x y

 


 


;

Câu 2 (1,5 điểm). Cho phương trình:
2 2
6 2 2 9 0

x mx m m
    
.
Tìm các giá trị của tham số m sao cho phương trình đó có hai nghiệm phân biệt âm.

Câu 3 (2 điểm).
a. Rút gọn biểu thức:
2
(sin cos ) 1
cot sin .cos
x x
A
x x x
 


(khi biểu thức có nghĩa).
b. Cho góc

thỏa mãn:
3
sin
5


và 0
2


 

. Tính giá trị biểu thức:
2 2
cos2 3.sin 4tan
B x x x
   .

Câu 4 (3 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm
(1;1), ( 2; 3), (2; 1)
A B C
  
.
a. Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng AB.
b. Viết phương trình đường tròn (T) có tâm là điểm C và tiếp xúc với đường thẳng AB.
c. Cho đường thẳng
: 1 0
x y
   
. Gọi M là điểm thay đổi trên

, qua M kẻ hai tiếp
tuyến ME, MF đến đường tròn (T), với E, F là các tiếp điểm. Tìm tọa độ điểm M sao cho
đường thẳng EF đi qua điểm B.

Câu 5 (0,5 điểm). Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn:
ab bc ca
1
  
. Chứng minh rằng:

a b c

a b c
2 2 2
3
2
1 1 1
  
  
.





ĐỀ THI HỌC KÌ 2 NĂM HỌC 2014-2015
Môn: TOÁN - LỚP 10
Thời gian làm bài: 90 phút
S
Ở GD&ĐT THANH HÓA

TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 2
HẾT
ĐÁP ÁN
Câu 1. Giải PT, BPT, HPT:
a.(0,5đ)
2 2
2 2
2 0
5 4 2
0 1 1
5 4 4 4 0

x x
x x
x x
x x x
x x x x x
   
  
 
 
      
  

   
     
 
 

b. (0,5đ)
2
2
2
2
2
7 2 0
2 3 4 7 2 3
7
7
2 3 4 7 2
1 3
2 4 6 0

x
x
x
x x x x
x x x
x x
x x


 
 

 
 
        
  
   

 
   
  


c. (0,5đ)
2 2 2
2
2 0 2
1
2 1 2 3
1

3
3
4 4 1 4 4 3 8 3 0
3
x
x x
x x x
x
x x x x x x
 

   
 

         
  
  
       
 



d. (0,5đ)
2 2 2
1 1 3 1 1 3 2 1 2 1
2 0 0 0
1 1 ( 1) ( 1)
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
         

        
   

Lập bảng xét dấu hoặc dùng phương pháp khoảng ta được tập nghiệm là:
1
( ; 1) (0; ) (1; )
2
S
     

e. (0,5đ)

2 2 2
3 1
2 2
7 ( ) 7
5 ( ) 5
4 2
(VN)
9 1
x y x
xy y
x y xy x y xy
x y xy x y xy
x y x
xy y
    
 
 
 

 
 
     
 
 
  
 
 
     
   
 
 
 
 
 
 
 
 

Vậy hệ có 2 nghiệm:
(1;2), (2;1)
.
f. (0,5đ)
3
3
2 2 2 2
3 3
3 3 3 3
3
6

6
(2 )( ) 0
2 3 2 3 0
1
2 6
2
2 6 2 6
2
6 6
x y
x y
x
x y x y
x y xy x xy y
x
x y
y x
x y x y
y
x
 



  

  
 
    



  

   
 
  



 

   

 


 


 




 



Vậy hệ có 2 nghiệm:



3 3
( 6; 6), 1; 2
 
.
Câu 2.(1,5đ) Phương trình:
2 2
6 2 2 9 0
x mx m m
    
có hai nghiệm phân biệt âm khi và chỉ
khi:
2
' 0 2 2 0 1
0 6 0 0 1
0
9 2 2 0
m m
S m m m
P m
m m
    
 
  
       
  
  
  
  
 




Vậy
1
m

là giá trị cần tìm.
Câu 3. (2đ)
a. (1đ). Rút gọn:
2 2 2 2
2
2
2
(sin cos ) 1 sin cos 2sin .cos 1 2sin .cos 2sin
2tan
1
cot sin .cos cos
1 sin
cos sin
cos
sin
sin
x x x x x x x x x
A x
x x x x
x
x x
x
x

x
    
    
    


 
 
 
 

b. (1đ) Ta có:
2
3 4
sin cos 1 sin
5 5
x x

      
.
Do 0
2


 
nên
4
cos 0 cos
5
x x

  

3
tan
4
x
 
(0,5đ)
2 2 2 2 2
16 9 9 29
cos2 3.sin 4tan 2cos 1 3.sin 4tan 2. 1 3. 4.
25 25 16 20
B x x x x x x             .
Vậy
29
20
B  (0,5đ)
Câu 4 (3đ)
a. (1đ) Ta có
( 3; 4) (3;4)
AB u    
 
là vectơ chỉ phương và
(4; 3)
n
 

là vectơ pháp tuyến
của đường thẳng AB.
Phương trình tham số của đường thẳng AB:

1 3
( )
1 4
x t
t
y t
 



 


. (0,5đ)
Phương trình tổng quát của đường thẳng AB:
4 3 1 0.
x y
  
(0,5đ)
b. (1đ) Đường tròn (T) có tâm là C và tiếp xúc với đường thẳng AB có bàn kính là:
4.2 3.( 1) 1
( ; ) 2
5
R d C AB
  
  
. (0,5đ)
Vậy phương trình đường tròn (T) là:
2 2
( 2) ( 1) 4

x y
   
. (0,5đ)
c. (1đ) Do
: 1 0
M x y
   
nên gọi
( ; 1)
M m m
 
.
Giả sử qua M kẻ được 2 tiếp tuyến ME, MF đến đường tròn (T) (với E, F là các tiếp điểm). Khi
đó 4 điểm C, E, M, F nằm trên đường tròn đường kính MC
Phương trình đường tròn đường kính MC:
2 2
( 2) 1 0
x y m x my m
      
(0,5đ)
Tọa độ E, F là nghiệm của hệ phương trình:
2 2
2 2
4 2 1 0
( 2) 1 0
x y x y
x y m x my m

    



      



Suy ra phương trình đường thẳng EF là:
( 2) ( 2) 2 0
m x m y m
     
.
Đường thẳng EF đi qua điểm
( 2; 3) 0
B m
   
. Vậy
(0;1)
M

là điểm cần tìm. (0,5đ)
Câu 5 (0,5 điểm). Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn:
ab bc ca
1
  
. Chứng minh rằng:

a b c
a b c
2 2 2
3
2

1 1 1
  
  
.
Giải: Áp dụng giả thiết và bất đẳng thức Cô-si ta được:
    
     
  
     
      
     
     
     
a b c a b c
a b a c b c b a c a c b
a b c
a b c
(dpcm)
a b a c b c a b c a c b
2 2 2
( )( ) ( )( ) ( )( )
1 1 1
1 1 1 1 1 1 3
2 2 2 2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1
3
a b c  
.

Ghi chú: - Học sinh làm bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
HẾT