Đề thi học sinh giỏi thành phố Hà Nội 2008 (vòng 1)CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ môn vật lý

CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ
Bài 1. Quá trình quá độ của dòng điện trong mạch có cuộn cảm: Cho
mạch điện như hình vẽ. Các cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L
1
và L
2
;
nguồn điện có suất điện động E, điện trở trong r, điện trở ngoài có giá trị R.
Ban đầu K mở. Tính cường độ dòng điện qua R, qua L
1
và L
2
khi K đóng.
Lời giải:
Khi K đóng, dòng điện trong các đoạn mạch tăng, do đó trong các cuộn dây xuất hiện suất
điện động cảm ứng:
dt
di
Le
1
11
−=
(1.1)
dt
di
Le
2
22
−=
(1.2)
Ta luôn có

21
eeu
AB
==
→
2211
diLdiL =
Ban đầu
0
21
== ii
→
2211
iLiL =
(1.3)
Mặt khác: i = i
1
+ i
2
(1.4)
Từ (1.3) và (1.4) →
i
LL
L
i
21
2
1
+
=

(1.5)
Theo định luật Ôm ta có:
21
-er)R( eiEu
AB
−==+−=
(1.6)
dt
di
iE
1
1
Lr)R( =+−
dt
di
LL
LL
iE
21
21
r)R(
+
=+−
0)(
21
21
=−++
+
EiRr
dt

di
LL
LL
(1.7)
Phương trình vi phân này có nghiệm
CeIi
t
+=
λ
0
với C là một hằng số (1.8)
Tại thời điểm K đóng thì i = 0, do đó
I
0
+ C = 0
Thay (1.8) vào (1.7) ta được:
>
0))((
00
21
21
=−+++
+
ECeIRreI
LL
LL
tt
λλ
λ
với mọi t

> C =
Rr
E
+
>
rR
E
I
+
−=
0
>
).(
)(
21
21
LL
LL
Rr
+
+
−=
λ
>









−
+
=
++
− t
LL
LLRr
e
rR
E
i
21
21
))((
1
Hay
( )
t
e
rR
E
i
α
−
−
+
= 1
(1.9)

1
Với
).(
)(
21
21
LL
LL
Rr
+
+
=
α
(1.10)
Từ (1.9) suy ra:
- Khi t = 0: i = 0
- Khi t tăng, dòng điện qua đoạn mạch tăng dần theo đồ thị như
hình vẽ.
- Khi t > ∞ thì i dần đến giá trị
rR
E
I
+
=−
0
Như vậy, có thể nói khi thời gian t đủ lớn thì dòng điện giữ không đổi và cuộn cảm không còn
ảnh hưởng gì tới dòng điện trong mạch nữa.
Theo (1.5), cường độ dòng điện trong các cuộn dây là
rR
E

LL
L
i
LL
L
i
++
=
+
=
21
2
21
2
1
(1.11)
rR
E
LL
L
i
LL
L
i
++
=
+
=
21
1

21
1
2
(1.12)
Nhận xét: Do tác dụng của cuộn cảm nên dòng điện trong mạch tăng một cách từ từ, nếu điện trở
R là một bóng đèn thì đèn sẽ sáng lên dần, sau một lúc mới có độ sáng ổn định, đây chính là sự quá
độ của dòng điện trong một mạch điện có cuộn cảm.
Bài 2. Sự chuyển hoá năng lượng điện thành năng lượng từ: Cho mạch
điện như hình vẽ: nguồn điện E = 6V, tụ điện có điện dung C =
π
1
(µF), cuộn
dây thuần cảm, độ tự cảm là L =
π
1
(µH). Ban đầu khoá K ở vị trí 1. Sau đó
chuyển K sang vị trí 2.
a) Tính hiệu điện thế, điện tích và năng lượng của tụ điện khi K ở vị trí 1.
b) Khi K chuyển sang 2, tính cường độ dòng điện cực đại qua cuộn dây.
c) Tính cường độ dòng điện qua cuộn dây và hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện khi năng lượng điện
trường trong tụ điện bằng 3 lần năng lượng từ trường trong cuộn dây.
Lời giải:
a) Khi K ở vị trí 1, nguồn điện tích điện cho tụ điện và trong mạch không có dòng điện. Khi đó hiệu
điện thế giữa hai bản tụ điện là
U
0
= E = 6 V
Điện tích của tụ điện là
Q
0

= C.U
0
=
π
6
(µC)
Năng lượng của tụ điện là năng lượng điện trường trong tụ điện:
W
0
=
2
1
Q
0
U
0
=
π
18
(µJ)
b) Khi K chuyển sang 2, trong mạch hình thành một dao động điện từ xoay chiều.
Ở thời điểm ban đầu, i = 0, u = U
0
, năng lượng của mạch chỉ gồm năng lượng điện trường trong tụ
điện.
2
00
2
1
W CU=

Vì cuộn dây thuần cảm nên tại một thời điểm bất kì ta luôn có: tổng năng lượng của mạch được bảo
toàn:
2
2
0
22
0
2
1
2
1
2
1
W CULiCu =+=
= hằng số. (2.1)
Từ (2.1) ta thấy: i đạt cực đại khi u = 0
Từ đó ta có:
2
0
2
max
2
1
2
1
CULi =
L
C
UIi
00max

==⇒
(2.2)
Thay số ta được: I
0
= 6 A
c) Khi năng lượng điện trường trong tụ điện bằng 3 lần năng lượng từ trường trong cuộn dây, ta có:
22
2
1
.3
2
1
LiCu =
(2.3)
Thay (2.3) vào (2.1) ta được:
2
0
2
2
1
2
1
4. CULi =
00
2
1
2
1
I
L

C
Ui ==⇒
= 3 A
Từ (2.3)
C
L
iu
3
=⇒
= 3
3
V
Nhận xét: Trong bài toán này ban đầu năng lượng của hệ được dự trữ dưới dạng năng lượng điện
trường của tụ điện, sau đó năng lượng này được chuyển hoá thành năng lượng từ trường trong
cuộn dây và ngược lại.
Bài 3. Sự chuyển hoá năng lượng từ thành năng lượng điện: Cho mạch
điện như hình vẽ: nguồn điện có suất điện động E, điện trở trong r, điện trở
thuần R, cuộn dây thuần cảm, độ tự cảm L, tụ điện có điện dung C. Ban đầu
khoá K ở 1, sau đó K chuyển nhanh sang 2.
a) Tính cường độ dòng điện qua cuộn dây khi K ở 1.
b) Tính hiệu điện thế cực đại giữa hai đầu tụ điện khi K chuyển sang 2
c) Tính hiệu điện thế giữa hai đầu tụ điện khi cường độ dòng điện trong cuộn dây bằng ½ cường độ
dòng điện cực đại.
Lời giải:
a) Khi khoá K ở vị trí 1: dòng điện qua cuộn dây là dòng điện không đổi, cuộn cảm không cản trở
dòng điện. Do đó dòng điện qua cuộn dây là:
Rr
E
I
+

=
0
(3.1)
b) Khi K chuyển sang vị trí 2, cuộn dây và tụ điện tạo thành một mạch dao động: trong mạch hình
thành một dao động điện từ xoay chiều. Vì cuộn dây thuần cảm nên tổng năng lượng của mạch bảo
toàn:
2
0
2
0
2
1
2
1
W CULI ==
(3.2)
U
0
là hiệu điện thế cực đại giữa hai đầu tụ điện.
>
C
L
Rr
E
C
L
IU
+
==
00

(3.3)
c) Ta luôn có:
222
0
2
0
2
1
2
1
2
1
2
1
W CuLiCULI +===
(3.4)
Thay
0
2
1
Ii =
vào biểu thức trên ta được:
2
2
0
2
0
2
0
2

1
42
1
2
1
2
1
W Cu
I
LCULI +===
3
>
2
0
2
0
2
2
1
.
4
3
2
1
.
4
3
2
1
CULICu ==

>
C
L
rR
E
Uu
+
==
2
3
2
3
0
Nhận xét: Trong bài toán này ban đầu năng lượng của hệ được dự trữ
dưới dạng năng lượng từ trường trong cuộn dây, sau đó năng lượng này
được chuyển hoá thành năng lượng điện trường của tụ điện và ngược lại.
Tuy nhiên sự chuyển mạch của khoá K phải diễn ra nhanh và ta phải bỏ
qua sự phóng điện khi chuyển mạch. Với mạch điện như hình bên thì ta chỉ
cần ngắt khoá K chứ không cần chuyển mạch, khi ấy không có sự phóng
điện khi K tiếp xúc với đầu dây 2.
Bài 4. Sự biến đổi cơ năng thành năng lượng từ trường: Cho mạch
điện như hình vẽ: Cuộn dây thuần cảm, có độ tự cảm L; thanh kim loại
MN khối lượng là m, chiều dài
l
, điện trở không đáng kể có thể trượt
không ma sát dọc theo 2 thanh ray x, y. Bỏ qua điện trở của các thanh
ray và điện trở tiếp xúc giữa MN và các thanh ray. Hệ thống được đặt
trong một mặt phẳng nằm ngang trong một từ trường đều cảm ứng từ
B


hướng thẳng đứng xuống dưới.
Thanh MN đang đứng yên, truyền cho MN vận tốc ban đầu
0
v

theo hướng như hình vẽ.
Tìm quy luật chuyển động của MN.
Lời giải:
Khi thanh MN chuyển động trong từ trường thì trong thanh xuất hiện suất điện động cảm ứng.
Khi vận tốc của thanh là v thì:
Bvle =
Suất điện động cảm ứng này làm phát sinh trong mạch chứa cuộn dây một dòng điện cảm ứng
i
c
. Đây là một dòng điện biến thiên, do đó trong cuộn cảm lại suất hiện một suất điện động tự cảm
e’. Ta có:
'' Li
dt
di
Le −=−=
Theo định luật Ohm ta có:
'eeu
CD
−==
→ Bv
l
=Li’ (4.1)
Tại một thời điểm bất kì năng lượng của hệ bao gồm:
- Động năng của thanh MN:
2

2
1
mvK =
- Năng lượng từ trường trong cuộn cảm:
2
1
1
W Li=
Vì bỏ qua mọi ma sát và điện trở của mạch bằng 0 nên tổng năng lượng của hệ được bảo toàn:
constLimvKE =+=+=
22
2
1
2
1
W
(4.2)
Lấy đạo hàm hai vế của (4.2) theo thời gian ta được:
0'.'.' =+== iLivmv
dt
dE
E
(4.3)
Từ (4.1) →
"' i
Bl
L
v
dt
dv

==
(4.4)
Thay (4.4) vào (4.3) ta được:
0'."' =+ iLii
Bl
L
i
Bl
L
m
Vì i’ ≠ 0 nên ta được:
4
0"
22
=+ i
mL
lB
i
Đặt
mL
Bl
=
ω
(4.5)
→
0"
2
=+ ii
ω
(4.6)

Phương trình này có nghiệm là một hàm điều hoà:
)sin(
0
ϕω
+= tIi
(4.7)
Từ (4.1) rút ra:
)cos('
0
ϕω
+== tI
mL
Bl
Bl
L
i
Bl
L
v
Hay
)cos(
0
ϕω
+= tI
m
L
v
(4.8)
Chọn trục Ox như hình vẽ, gốc thời gian lúc truyền vận tốc cho vật.
Tại thời điểm t = 0: v = v

0
và i = 0
→
00
cos vI
m
L
=
ϕ
và
0sin
0
=
ϕ
I
→
0=
ϕ
và
L
m
vI
00
=
(4.9)
→
tvv
ω
cos
0

=
Lấy tích phân của v ta được:
t
v
x
ω
ω
sin
0
=
=
tA
ω
sin
(4.10)
Với
Bl
mLvv
A
00
==
ω
(4.11)
Phương trình (4.10) chứng tỏ thanh MN dao động điều hoà xung quanh O với tần số góc
mL
Bl
=
ω
, biên độ dao động
Bl

mLv
A
0
=
Nhận xét: Trong bài toán trên có cả năng lượng từ trường và cơ năng, trong đó có sự biến đổi qua
lại giữa hai dạng năng lượng nhưng tổng năng lượng của hệ được bảo toàn. Trong bài toán có sử
dụng phương pháp dùng định luật bảo toàn để chứng minh dao động điều hoà. Trong phương pháp
này ta phải tìm tất cả các dạng năng lượng mà hệ có, lí luận để thấy tổng năng lượng của hệ được
bảo toàn; sau đó lấy vi phân phương trình bảo toàn năng lượng, kết hợp với các lên hệ khác để ra
phương trình tổng quát cho dao động điều hoà:
0"
2
=+ xx
ω
.
Bài 5. Một mạch khác có sự chuyển hoá giữa năng lượng từ trường
và cơ năng: Trong mặt phẳng nằm ngang cho hệ như hình vẽ: cuộn
dây có độ tự cảm L, điện trở không đáng kể; thanh dây dẫn MN khối
lượng m, chiều dài l có điện trở không đáng kể, đầu M có thể quay
không ma sát quanh trục qua M, đầu N luôn tiếp xúc với thanh ray dẫn
điện xy và có thể trượt không ma sát trên thanh ray.
Hệ được đặt trong từ trường đều, vectơ cảm ứng từ
B

vuông góc với mặt phẳng của mạch điện. Bỏ
qua điện trở tiếp xúc, điện trở của dây nối và điện trở của thanh ray. Thanh MN đang đứng yên, ta
truyền cho đầu N của thanh vận tốc ban đầu
0
v


(đủ nhỏ) như hình vẽ. Tìm quy luật chuyển động
của thanh MN.
Lời giải:
5
Khi thanh dây dẫn MN chuyển động trong từ trường trong
thanh xuất hiện suất điện động cảm ứng e
1
.
Chọn chiều dương của dòng điện trong mạch như hình vẽ,
chiều dương góc quay ngược chiều kim đồng hồ.
Giả sử tại thời điểm t vận tốc góc của thanh là
ω
, trong khoảng thời gian dt góc quay của
thanh là d
ϕ
. Khi ấy từ thông qua mạch biến thiên trong khoảng thời gian dt là:
dtBldBld
ωϕ
22
2
1
2
1
==Φ
→
2
2
1
Bl
dt

d
e
ω
=
Φ
=
(5.1)
Suất điện động cảm ứng e
1
làm phát sinh trong mạch một dòng điện i. Dòng điện biến thiên i lại
làm xuất hiện suất điện động tự cảm e
2
trong cuộn dây:
'
2
Li
dt
di
Le −=−=
Theo định luật Ohm: u
MN
= e
1
= - e
2
Do đó ta có:
'
2
2
Li

Bl
=
ω
(5.2)
Vì bỏ qua mọi ma sát và sức cản, bỏ qua mọi hao phí do toả nhiệt nên tổng năng lượng của mạch
bao gồm động năng của MN và năng lượng từ trường trong cuộn dây được bảo toàn:
22
2
1
2
1
ω
M
ILiE +=
= hằng số (5.3)
Trong đó
2
3
1
mlI
M
=
là mômen quán tính của MN đối với trục quay qua M.
Lấy đạo hàm 2 vế của (5.3) theo thời gian ta được:
0'.'.' =+=
ωω
M
IiLiE
(5.4)
Thay (5.2) vào (5.4):

0'.
2
.
2
=+
ωω
ω
M
I
L
Bl
Li
→
0'.
2
2
=+
ω
M
Ii
Bl
(5.5)
Từ (5.2) →
"
2
'
2
Li
Bl
=

ω
→
"
2
'
2
i
Bl
L
=
ω
(5.6)
Thay (5.6) vào (5.5):
→
0"
2
.
32
2
22
=+ i
Bl
Lml
i
Bl
→
0
4
3
"

22
=+ i
mL
lB
i
(5.7)
Phương trình này có nghiệm là một hàm dạng sin:
)sin(
0
Θ+Ω= tIi
(5.8)
Với
LI
Bl
mL
lB
M
2
4
3
222
==Ω
, Θ là một hằng số, phụ thuộc vào gốc thời gian, I
0
là cường độ dòng
điện cực đại.
Từ (5.6) và (5.8) ta được:
)sin(
2
3

2
3
"
2
'
0
2
Θ+Ω−=−== t
m
BI
i
m
B
i
Bl
L
ω
Lấy tích phân ta được:
)cos(
2
3
0
Θ+Ω
Ω
= t
m
BI
ω
6
Tại thời điểm t = 0:

l
v
0
0
=
ω
và i
0
= 0
→
l
v
m
BI
00
cos
2
3
=Θ
Ω
và
0sin
0
=ΘI
→ Θ = 0 và
L
m
v
Bl
mv

I
33
2
0
0
0
=
Ω
=
→
t
l
v
Ω= cos
0
ω
Gọi góc hợp bởi thanh MN với vị trí ban đầu là ϕ, ta có:
ωϕ
='
>
tt
l
v
m
Ω=Ω
Ω
= sinsin
0
ϕϕ
(5.9)

Với biên độ góc của dao động
3
2
2
00
mL
Bl
v
l
v
m
=
Ω
=
ϕ
(5.10)
Vậy: Thanh MN dao động điều hoà quanh vị trí ban đầu với vận tốc góc
LI
Bl
M
2
2
=Ω
và biên độ
góc ϕ
m
tính theo (5.10).
Nhận xét: Đây cũng là một bài toán có cả năng lượng từ trường và cơ năng, nhưng động năng của
hệ là động năng quay được tính theo biểu thức
2

2
1
ω
M
IK =
, I là momen quán tính của vật đối với
trục quay,
ω
là vận tốc góc của vật đối với trục quay ấy.
II. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1. Cho mạch điện như hình vẽ: nguồn điện có suất điện động E và điện
trở trong r; cuộn dây có hệ số tự cảm L và điện trở thuần R; điện trở thuần có
giá trị R
0
. Ban đầu khoá K mở. Đóng khoá K, tìm quy luật biến đổi của dòng
điện trong mạch điện và hiệu điện thế giữa hai đầu cuộn dây.
Đáp số:










++
−
−

++
=
t
e
RRr
E
i
L
RRr
0
0
1
iRrEu
AB
)(
0
+−=
Bài 2. Một mạch dao động LC gồm một tụ điện và một cuộn dây được nối với một bộ pin có suất
điện động E, điện trở trong r qua một công tắc K. Ban đầu K đóng. Khi dòng điện đã ổn định,
người ta mở công tắc và trong mạch có một dao động điện từ với chu kì T.
Biết rằng hiệu điện thế cực đại giữa hai đầu tụ điện lớn gấp n lần suất
điện động E của bộ pin. Hãy tính theo T và n độ tự cảm L của cuộn dây và
điện dung C của tụ điện.
Bỏ qua điện trở thuần của cuộn dây.
Đáp số:
nr
T
C
π
2

=
,
π
2
Tnr
L =
Bài 3. Cho mạch điện như hình vẽ: các cuộn dây có hệ số tự cảm L
1
và L
2
, điện trở thuần không đáng kể; nguồn điện có suất điện động E
và điện trở trong r; R là điện trở thuần.
a) Ban đầu cả hai khoá đều mở. Người ta đóng khoá K
1
và khi
dòng điện trong L
1
đạt giá trị I
0
thì đóng K
2
.
7
Tính các giá trị cuối cùng I
1
và I
2
khi đã ổn định của các dòng điện i
1
và i

2
trong hai cuộn dây.
b) Xét trường hợp đồng thời đóng cả hai khoá . Tính các giá trị cuối cùng I
1
và I
2
.
Đáp số: a)
))((
)(
21
201
1
LLRr
ELrRIL
I
++
++
=
;
[ ]
))((
)(
21
10
2
LLRr
LrRIE
I
++

+−
=
b)
))((
21
2
1
LLRr
EL
I
++
=
;
))((
21
1
2
LLRr
EL
I
++
=
Bài 4. Cho mạch điện như hình vẽ: nguồn điện có suất điện động E, điện trở trong r; cuộn dây
thuần cảm, có độ tự cảm L; thanh kim loại MN khối lượng là m, chiều dài
l
, điện trở không đáng
kể có thể trượt không ma sát dọc theo 2 thanh ray x, y. Hệ thống được đặt trong một mặt phẳng
nằm ngang trong một từ trường đều cảm ứng từ
B


hướng thẳng đứng xuống dưới.
Ban đầu khoá K đóng. Khi dòng điện trong cuộn dây ổn
định người ta ngắt khoá K. Hỏi thanh MN sẽ chuyển động như
thế nào ?
Bỏ qua điện trở của các thanh ray và điện trở tiếp xúc giữa
MN và các thanh ray.
LG:
K đóng: Ban đầu Dòng điện do nguồn sinh ra trong MN là
0
E
I
r
=
(vì cuộn cảm cản trở dòng điện
nên dòng điện chỉ qua MN).
Thanh MN chuyển động đều do lực cản điện từ:
0
Bv l E=
→
0
E
v
Bl
=
.
Lúc này dòng điện cảm ứng qua cuộn cảm bằng I
0
, có chiều C→ D, còn dòng điện trong MN lại
bằng 0.
Khi ngắt K: Tổng năng lượng trong mạch bảo toàn:

2 2 2 2
0 0
1 1 1 1
Li mv LI mv
2 2 2 2
+ = +
Đạo hàm theo thời gian →
Lii ' mvv' 0
+ =
(*)
Suất điện động cảm ứng trong MN là
MN
e Bvl=
Suất điện động cảm ứng trong cuộn dây là
tc
e Li'=
→ Bvl = Li’ (**)
→ (*) tương đương:
2 2
B l
i" i 0
mL
+ =
→ i dao động điều hoà với tần số góc
Bl
mL
ω =
Từ (**) → x
MN
cũng dao động điều hoà với cùng tần số góc.

Từ điều kiện ban đầu →
2 2
2 2 2
max 0 0
2 2 2
L E L E
v v I
m B l m r
= + = +
→ Biên độ dao động
max
2 2 2
v
E mL 1 L
A
Bl B l mr
= = +
ω
8
Bài 5. Cho mạch điện như hình vẽ: Cuộn dây thuần cảm, hệ số tự cảm L; thanh
dẫn điện MN khối lượng m, chiều dài l, điện trở không đáng kể, MN có thể trượt
không ma sát dọc theo hai thanh ray siêu dân x và y đặt song song trong một mặt
phẳng thẳng đứng. Bỏ qua ma sát và điện trở tiếp xúc giữa MN và hai thanh ray.
Ban đầu MN được gữ đứng yên, sau đó được thả tự do. Trong quá trình
chuyển động MN luôn tiếp xúc với x, y. Hỏi MN sẽ chuyển động như thế nào ?
Coi hai thanh ray đủ dài và gia tốc rơi tự do g là không đổi.
Đáp số: MN dao động điều hoà quanh VTCB ở dưới vị trí ban đầu
22
0
lB

mgL
x =
Tần số góc của dao động:
mL
Bl
=
ω
Bài 6. Trong mp thẳng đứng đặt hai thanh ray song song và cách nhau một
khoảng l. hai đầu dưới của thanh đươci nối với nhau bằng một tụ điện có điện
dung C. Một thanh dẫn có khối lượng m được đặt nằm ngang và luôn tiếp xúc
điện với hai ray. Thanh dẫn được giữ nhờ một lò xo có phương thẳng đứng.
Đầu trên của lò xo cố định tại điểm I nằm trong mp của hai ray. Hệ được đặt
trong từ trường đều có cảm ứng từ B, các đường sức từ vuông góc với mp
chứa hai ray (hình vẽ). Bỏ qua ma sát. Dịch chuyển thanh dẫn một đoạn nhỏ
theo phương song song với hai ray rồi thả nhẹ. Chứng tỏ rằng thanh dẫn dao
động điều hoà. Tìm chu kì dao động.
9