Đề thi học sinh giỏi môn Vật lý các năm của THÀNH PHỐ Hà Nội 2007

Sở giáo dục và đào tạo
hà nội
Kì thi chọn học sinh giỏi thành phố lớp 12
năm học 2007-2008
Môn: Vật lý
Ngày thi: 13/ 11/ 2007
Thời gian làm bài: 180 phút
(Đề thi gồm 02 trang và có 04 câu)
Câu I. (10 điểm)
1/ Một con lắc lò xo dao động điều hoà với phơng trình
)sin(

+= tAx
. Cơ
năng của con lắc E = 0,125J. Tại thời điểm ban đầu vật nặng có vận tốc
smv
o
/25,0=
và gia tốc
2
/325,6 sma
o
=
. Biết vật nặng có khối lợng m = 1kg.
Tính A, , và độ cứng K của lò xo. Bỏ qua khối lợng của lò xo.
2/ Một con lắc lò xo nằm ngang dao động điều hoà xung quanh vị trí cân
bằng với phơng trình x = A sin(
t
). Biết động năng bằng thế năng sau những
khoảng thời gian bằng nhau và bằng
s

48

. Tính chu kỳ dao động của con lắc lò
xo.
3/ Một con lắc đơn dao động nhỏ điều hoà xung quanh vị trí cân bằng với
biên độ góc
0
. Tính lực căng dây khi vật ở: vị trí dây treo tạo với phơng thẳng
đứng góc ( <
0
); vị trí cân bằng; vị trí biên độ. Biết khối lợng của quả nặng là
m; gia tốc trọng trờng là g.
4/ Một con lắc đơn dao động nhỏ điều hoà tại mặt đất. Nếu đa con lắc đơn
lên đến độ cao h = 6,4 km so với mặt đất thì phải thay đổi chiều dài dây treo nh
thế nào để chu kỳ dao động của nó không thay đổi?
Biết bán kính Trái đất R = 6400 km.
Câu II. (4,5 điểm)
Cho cơ hệ nh hình vẽ, biết m
1
= m
2
= 400g, K= 40N/m. Từ
vị trí cân bằng, nâng vật m
2
theo phơng thẳng đứng đến vị
trí lò xo không biến dạng rồi thả nhẹ. Bỏ qua mọi ma sát,
sợi dây không dãn, khối lợng của dây và các ròng rọc
không đáng kể ; lấy g = 10m/s
2
.

1/ Chứng tỏ rằng hệ dao động điều hoà. Tìm chu kỳ
dao động.
2/ Khi các vật đến vị trí cân bằng thì sợi dây buộc
vào m
1
đột nhiên bị tuột ra. Biết rằng sau đó vật m
1
vẫn dao
động điều hoà. Tìm biên độ dao động mới của m
1
.
Câu III. (2,5 điểm)
Bốn điện tích điểm giống nhau q
1
= q
2
= q
3
= q
4
= Q đợc đặt cố định ở bốn
đỉnh hình vuông có cạnh bằng a trong chân không. Tại tâm O của hình vuông đặt
một điện tích điểm q (cùng dấu với Q) có khối lợng m. Dịch chuyển q một đoạn
nhỏ theo phơng của một đờng chéo rồi thả nhẹ. Chứng tỏ rằng điện tích q sẽ dao
động điều hoà. Tìm chu kỳ dao động. Bỏ qua tác dụng của trọng lực.
Câu IV. (3 điểm)
Trong mặt phẳng thẳng đứng đặt hai thanh ray song song và
cách nhau một khoảng l. Hai đầu dới của thanh đợc nối với nhau
bằng một tụ điện có điện dung C. Một thanh dẫn có khối lợng m đợc
đặt nằm ngang và luôn tiếp xúc điện với hai ray. Thanh dẫn đợc giữ

nhờ một lò xo có phơng thẳng đứng. Đầu trên của lò xo cố định tại
điểm I nằm trong mặt phẳng của hai ray. Hệ đợc đặt trong từ trờng
1
m
1
m
2
K

C
K
I
đều có cảm ứng từ B, các đờng cảm ứng từ vuông góc với mặt phẳng chứa hai ray
(xem hình vẽ). Bỏ qua ma sát. Dịch chuyển thanh dẫn một đoạn nhỏ theo phơng
song song với hai ray rồi thả nhẹ. Chứng tỏ rằng thanh dẫn dao động điều hoà.
Tìm chu kỳ dao động.
Hết
Sở giáo dục và đào tạo
hà nội
Kì thi chọn học sinh giỏi thành phố lớp 12
năm học 2007-2008
Môn: Vật lý
Ngày thi: 13/ 11/ 2007
Thời gian làm bài: 180 phút
Hớng dẫn chấm THI HSG LớP 12 NĂM HọC 2007 2008
Câu I.
1/ Theo bài ta có:
125,0
2
2

=
kA
(1)
)sin(
)cos(
2


+=

=
+=

=
tAva
tAxv
Tại thời điểm ban đầu t = 0:
25,0cos
0
==

Av
(2)

325,6sin
2
0
==

Aa

(3) 1 điểm
Giải hệ pt trên ta tìm đợc:
.3/
;/625
;/25
;2


=
=
=
=
mNK
srad
cmA

.1,5 điểm
2/ Biểu thức của động năng và thế năng lần lợt là:
2
Động năng W
đ
=
2 2 2
m
A cos t
2

Thế năng W
t
=

2 2 2
m
A sin t
2

1 điểm
Động năng bằng thế năng dẫn đến t =
T T
k
8 4
+
với k = 0,1, 2, 3, 4, 0,5 điểm
Vậy T/4 =
s
48

từ đó suy ra chu kỳ T = / 12 (s) 1 điểm
3/ Xét quả nặng ở vị trí góc ; Dùng định luật bảo toàn cơ năng dẫn đến vận tốc của
quả nặng tại đó là: v
2
= 2gl (cos - cos
0
) (1) 1 điểm
+ Theo định luật 2 Niu tơn có: (N P cos ) = m v
2
/l (2) với N là lực căng dây
+ Từ (1) và (2) dẫn đến N = mg (3 cos - 2 cos
0
) 1 điểm
Tại vị trí cân bằng thì = 0 nên N = mg (3 - 2 cos

0
)
Tại vị trí biên độ =
0
nên N = mg cos
0
.0,5 điểm
4/ Gia tốc trọng trờng thay đổi theo độ cao h nh sau: g = GM / ( R + h )
2

Tại mặt đất h = 0 ; g = GM/ R
2
; chu kỳ dao động của con lắc T
/
= 2
l
g
.
Tại độ cao h: g
,
= GM / ( R + h )
2
; chiều dài dây l
/
= (l +
l
);
Chu kỳ dao động của con lắc T
/
= 2

,
l l
g
+

Vậy
/
,
T g l l
T g l
+
=
= (R +
h
R
) ( 1 +
l
l

)
1/2
1,5 điểm
Bỏ qua số hạng bé bậc cao, ta có:
/
T
T
= 1 +(
l h
2l R

+
)
Để T
/
= T thì (
l h
2l R

+
) = 0 dẫn đến
l
l

= - 2h/ R , chiều dài dây phải giảm và độ giảm
so với lúc đầu là
l
l

=
2h
R

= 0,2 % 1 điểm
Câu II.
1/ Chọn chiều dơng cho chuyển động của m
1
hớng sang phải, của m
2
hớng xuống dới. ở
VTCB:

Với m
1
:
0
0
= lKT

Với m
2
:
02
02
= Tgm
Suy ra
lKgm = 2
2
(1) 0,5 điểm
Xét thời điểm m
2
có toạ độ x, khi đó m
1
có toạ độ 2x (chú ý rằng a
1
= 2a
2
). Phơng trình
động lực học cho các vật:
amxlKT 2.)2(
1
=+

amTgm
22
2 =
1,5 im
Từ các phơng trình trên kết hợp với phơng trình (1) ta thu đợc phơng trình:
xmmammKx

+=+= )4()4(4
2121
0
4
4
21
=
+
+

x
mm
K
x
3
Phơng trình trên cho thấy hệ dao động điều hoà với chu kỳ
s
K
mm
T
52
4
4

2
2
21




=
+
==
. 1 điểm
2/ Từ (1) tìm đợc độ giãn của lò xo ở vị trí cân bằng là 5cm. Nh vậy ban đầu vị trí của
m
2
cách VTCB một đoạn 2,5cm, đó cũng là biên độ dao động của m
2
, còn biên độ dao
động của m
1
bằng 5cm. Khi dao động, đến VTCB vận tốc của m
1
có giá trị :
scm
mm
K
AAv /520
4
4
21
110

=
+
==

. 0, 75 điểm
Đây cũng là vận tốc của m
1
ngay sau khi dây tuột. Sau khi dây tuột vật m
1
dao động
điều hoà với tần số góc
sradmK /10/
1
==


. Tại vị trí cân bằng mới của m
1
lò xo
không biến dạng. Nh vậy vị trí cân bằng cũ của m
1
cách vị trí cân bằng mới 5cm, do đó
biên độ dao động mới của m
1
bằng:
.53
2
0
2
02

cm
v
xA =







+=

0, 75 điểm
Câu III.
Chọn trục toạ độ nh hình vẽ. Xét khi điện tích q ở toạ độ x. Kí hiệu nửa độ dài của đờng
chéo của hình vuông là b (
2/ab =
).
Ta có:
2
22
222
132
)(
.2
)(
)cos(2
xb
kqQ
xb

x
xb
kqQ
xb
kqQ
FOqQFFF
x


+
+
+
+
=+=
22
22
2222
)/1(
.2
)/1( bxb
kqQ
xb
x
xb
kqQ
bxb
kqQ


+

+
+
+
=
)/21(2)/21(
232
bx
b
kqQ
x
b
kqQ
bx
b
kqQ
++
x
b
kqQ
3
2=
1,5 điểm
Theo định luật II Newton ta có:
x
b
kqQ
xm
3
2=

Chú ý:
2/ab =
02
3
=+

x
mb
kqQ
x

024
3
=+

x
ma
kqQ
x
Phơng trình này chứng tỏ điện tích q dao động điều hoà với chu kỳ:
2
.
kqQ
ma
aT

=
.1 điểm
Câu IV.
ở vị trí cân bằng:

lKmg =

Xét ở thời điểm t, thanh có toạ độ x, vận tốc v và đang đi
xuống. Theo quy tắc Lenx, dòng điện cảm ứng trong thanh có
chiều nh hình vẽ. Suất điện đông cảm ứng giữa hai đầu thanh
là:
BvlE
c
=
. S.đ.đ này chính bằng hiệu điện thế giữa hai bản
tụ,
uBvl
=
, do đó điện tích của tụ điện và dòng điện trong
mạch là:
BCla
dt
dq
i
BClvCuq
==
==
Các lực tác dụng lên thanh gồm: trọng lực, lực đàn hồi và lực
từ, ta có :
4

O
1
F
2

F
3
F
4
F
q
Q
x

C
K
I
O
i
x
maBi lxlKmg =+ )(
.2 điểm
Kết hợp với các phơng trình trên ta thu đợc pt:
amClBKx )(
22
+=
xmClBKx

+= )(
22
pt này có nghiệm
)sin(

+= tAx
chứng tỏ thanh dao động điều hoà. Chu kỳ dao động

K
mClB
T
+
=
22
2

.1 điểm
Chú ý: Học sinh giải theo cách khác nhng lập luận và kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa.
. Sóng dừng đợc tạo ra trên sợi dây nằm ngang. Những điểm trên dây dao động
với cùng biên độ 5 mm nằm cách đều nhau một đoạn 20cm.
a) Tính bớc sóng.
b) Tính biên độ dao động cực đại của các điểm trên dây.
Ta xét hai trờng hợp:
A) Trờng hợp 1: Những điểm dao động với biên độ bằng nhau chính là các
bụng sóng. Khi đó koảng cách gữa hai bụng liên tiếp nhau nhau chính
bằng nửa bớc sóng. Nh vậy bớc sóng
cml 402 ==

, và biên độ dao động
cực đại của các điểm trên dây bằng a = 5cm.
B) Trờng hợp các điểm dao động với biên độ bằng nhau không phải là các
bụng sóng:
a) Rõ ràng là trên mỗi bó sóng chỉ có hai điểm dao động với biên độ với
biên độ bằng nhau, mặt khác hai điểm đó lại phải cách nút sóng gần nhất một
khoảng nh nhau. Do vậy mỗi điểm nh thế cách nút sóng gần nhất một đoạn
bằng l/2 = 10cm.
Vậy bớc sóng
.801020202010 cm

=++++=


b) Từ phơng trình sóng dừng trên dây có dạng:
)sin().sin(

+= tbxAu
Xét bó sóng đầu tiên: tại điểm có x = 10cm biên độ a = 5mm, tại điểm
x = 20cm (bụng sóng) sóng có biên độ cực đại bằng A, ta có:
AbA
abA
=
=
20sin
10sin
Suy ra
4
10120sin

== bb
. Do đó A =
25
mm.
5