đề thi CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH long an

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
LONG AN MÔN THI: TOÁN
NGÀY THI : 08/04/2014
THỜI GIAN : 150 phút ( Không kể thời gian phát đề )
Bài 1: (4 điểm)
1) Rút gọn biểu thức A=
3 1 3 1
3 3
1 1 1 1
2 2
− +
+
+ + − −
2) Cho hai số
,x y
là hai số khác 0 và thỏa mãn:
1x y+ =
. Hãy tìm giá trị lớn nhất
của P với
3 3
1
P
x y xy
=
+ +
Bài 2: (5 điểm)
1) Cho phương trình ẩn x:
2
1 0x mx+ + =
Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm
1 2

,x x
thỏa:
2 2
1 2
2 1
2
x x
x x
   
 ÷  ÷
   
+ >
2) Giải phương trình:
2
2
48 4
10
3 3
x x
x x
 
+ = −
 ÷
 
Bài 3: (5 điểm)
1) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R)(AB<AC), các
đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H (D∈BC, E∈AC, F∈AB). Chứng minh
rằng:
a)
⊥OC DE

b)
2 2 2
AB + AC + BC
AH.AD + BH.BE + CH.CF=
2
2) Cho tam giác ABC có góc BAC là góc tù; H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi
K, F, E lần là chân đường vuông góc hạ từ A, B, C đến BC, AC và AB.
Chứng minh:
AK AE AF
HK BE CF
+ +
=1
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có
5 2BC cm=
; cho
1r cm=
là bán kính
đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Hãy tính diện tích của tam giác ABC.
Bài 5: (3 điểm)
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 5x
2
+ 2y
2
+ 4xy – 2x + 4y + 2019.
2) Tìm số có hai chữ số mà bình phương của nó bằng lập phương của tổng các chữ
số của nó.

HẾT
Họ và tên thí sinh………………………………… Số báo danh…………………….

ĐỀ CHÍNH THỨC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
LONG AN MÔN THI: TOÁN
NGÀY THI : 08/04/2014
THỜI GIAN : 150 ph
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1
Nội dung
Điểm
1
(4đ)
1)
(2đ)
A=
3 1 3 1
3 3
1 1 1 1
2 2
− +
+
+ + − −
Ta có:
2
3 4 2 3 1 3
1
2 4 2
 
+ +
+ = =
 ÷

 ÷
 
…………………………
Tương tự:
2
3 1 3
1
2 2
 
−
− =
 ÷
 ÷
 
………………………………
3 1 3 1
3 3 3 3
2 2 2 2
A
− +
= +
+ −
…………………
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 3 2 3 1 3 3
6
3 3 3 3
A
− + − − + + +
= + =

+ −

8 3
3
A =
………………………………………………………
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
2) (2đ)
P=
3 3
1
x y xy+ +
với
1x y+ =
Ta có: B=
( )
( )
3 3 2 2
x y xy x y x y xy xy+ + = + + − +
……………
Mà:
1x y+ =
( )
2
2 2 2 2
1 2 2 1B x y x x x x⇒ = + = + − = − +

…………
2 2
1 1 1 1 1
2 2
2 4 2 2 2
B x x
 
   
⇒ = − + = − + ≥
 
 ÷  ÷
   
 
 
………………………
B
⇒
có GTNN là
1
2
khi x =
1
2
P
⇒
có GTLN là 2 khi x = y =
1
2
……….
0,5đ

0,5đ
0,5đ
0,5đ
2
(5đ)
1)
(3đ)
2
1 0x mx+ + =
2
4m∆ = −
2
0 4 2m m∆ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
……………………………………………….
4 4 2 2
1 2 1 2
2 2
1 2
2 1
22
x x
x x x x
x x
   
+ >
 ÷  ÷
   
+ > ⇔
…………………………………
( )

2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 1 2
2 2 0x x x x x x⇔ + − − >
………………………………………
( ) ( )
2
2 2
1 2 1 2 1 2
2 4 0x x x x x x
 
⇔ + − − >
 
…………………………………
( ) ( )
2 2
2 2
2 4 0 2 4m m⇔ − − > ⇔ − >
……………………………………
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
ĐỀ CHÍNH THỨC
2
2
2 2
2 2(loaùi)
m

m

>


<

.
2
2
4 2
2
m
m m
m
>

> >

<


0,5
0,5
2)(2)
2
2
48 4
10
3 3

x x
x x

+ =
ữ

iu kin
0x

t
2
2
2
4 16 8
3 9 3
x x
t t
x x
= = +
2
2
2
48
3 8
3
x
t
x
+ = +

2 2
3 8 10 3 10 8 0t t t t + = + =
2t
=
v
4
3
t =

*
2t =
2
6 12 0 3 21x x x = =

*
2
4
4 12 0 6
3
t x x x= = =
v
2x
=

KL:
{ }
3 21;6; 2S =
.
0,5
0,25

0,5
0,5
0,25
3(5) 1)(3)
a) K Cx l tip tuyn ca (O) ti C
T giỏc AEDB l t giỏc ni tip vỡ
ã
ã
0
90AEB ADB= =

ã
ã
ã
ã
ã
ẳ
ã
ã
/ /
(cuứng buứ BDE)
(cuứng chaộn BC)
EDC BAE
EDC BCx Cx ED
BCx BAE

=

=

=


.
M: OC Cx OC ED
b)DBHEBC
. .
BH DB
BH BE DB BC
BC BE
= =

Tng t: DHCFBC
. .CH CF CD CB =

( )
2
. . . .BH BE CH CF BD BC CD CB BC BD CD BC + = + = + =

0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,5
2
. .BH BE CH CF BC⇒ + =
(1)
Tương tự:CH.CF+AH.AD=AC
2

;AH.AD+BH.BE=AB
2
(2)………….
(1) và (2)⇒
2 2 2
AB + AC + BC
AH.AD + BH.BE + CH.CF=
2
………
0,5 đ
0,5 đ
2)(2đ)
Ta có:
HBC ABC AHC AHB
S S S S= + +


HBC ABC AHC
AHB
HBC HBC HBC HBC
S S S
S
S S S S
⇔ = + +
……………………………………….
1 1 1
. . .
2 2 2
1
1 1 1

. . .
2 2 2
AK BC AE HC AF BH
HK BC BE HC CF BH
⇔ + + =
…………………………………
1
AK AE AF
HK BE CF
⇔ + + =
…………….………………………………………
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
4(3đ)
Ta có
·
·
·
0
90OMA ONA MAN
OM ON r

= = =

⇒

= =



MANO là hình vuông
OM MA AN NO r
⇒ = = = =
………………………………………
0,25 đ
0,25 đ
;BM BP CN CP= =
(Tính chất tiếp tuyến cắt nhau)…………………

ABC AOB AOC BOC
S S S S= + +

1 1 1
. . .
2 2 2
ABC
S OM AB ON A C OP BC= + +
………………………………………….

1
.( )
2
ABC
S r AM MB AN NC BC= + + + +
………………………………………….

1
.( )
2

ABC
S r r PB r CP BC= + + + +
………………………………………………

1
.(2 2 ) ( )
2
ABC
S r r BC r r BC= + = +
………………………………………………

2
1 2 5
ABC
S cm= +
……………………………………………………………….
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5đ
0,25đ
5(3đ) 1)1,5đ M = 5x
2
+ 2y
2
+ 4xy – 2x + 4y + 2019.
M=4x
2
+ 4xy + y

2
+ y
2
+ 4y + 4 + x
2
–2x + 1 + 2014
M=
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 1 2014 2014x y y x+ + + + − + ≥

MinM=2014
1
2
x
y
=

⇔

= −


0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
2) 1,5đ
Số cần tìm có dạng
ab
(

, ;1 9; 0 9a b N a b∈ ≤ ≤ ≤ ≤
)……………………
Theo đề bài:
( )
2
3
ab a b= +
…………………………………………….
⇒
ab
là một số lập phương, còn (a+b) là số chính phương……………
Mà
10 99ab≤ ≤
nên
ab
=27 hoặc
ab
=64…………………………….
Thử lại:
ab
=27 thì a+b = 9 (nhận)
ab
= 64 thì a+b = 10 (loại) …………………………………………
Vậy:
ab
= 27 …………………………………………………………
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ

0,25 đ
0,25 đ
Hết