Đáp án Đề thi Đại học môn Toán khối D năm 2009

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009
Môn: TOÁN; Khối: D
(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)


ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM
Câu Đáp án Điểm
1. (1,0 điểm) Khảo sát…
Khi
0,m =
42
2.yx x=−
•
Tập xác định:
.D = \
•
Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: hoặc
3
'4 4;yxx=−
'0y =
⇔
1x =± 0.x =
0,25
Hàm số nghịch biến trên: (; và đồng biến trên: và (1 1)−∞ − (0;1); (1;0)− ; ).+∞
- Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại đạt cực đại tại y

1, 1;
CT
xy=± =−
0,x =
CĐ

0.=
- Giới hạn:
lim lim .
xx
yy
→−∞ →+∞
==+∞
0,25
- Bảng biến thiên:

Trang 1/4




0,25
•
Đồ thị:

0,25
2. (1,0 điểm) Tìm
m
Phương trình hoành độ giao điểm của
(
và đường thẳng
)
m
C
1:y =−
42
(3 2) 3 1.xmxm−+ +=−
Đặt phương trình trở thành:
2
,0;txt=≥
2
(3 2) 3 1 0tmtm−+++=
0,25
⇔
hoặc
tm

1t = 31.=+
0,25
Yêu cầu của bài toán tương đương:
03 14
311
m
m

<+<
⎧
⎨
+≠
⎩
0,25
I
(2,0 điểm)
⇔

1
1,
3
m−< <

0.m ≠
0,25
1. (1,0 điểm) Giải phương trình…
Phương trình đã cho tương đương:
3 cos5 (sin 5 sin ) sin 0xxxx−+−=

⇔

31
cos5 sin 5 sin
22
x
xx−=

x −∞ 1− 0 1

y'
− 0 + 0 − 0 +
y
+∞
1−
1−

0
+∞
+∞
x
O
y
2−
2
1
−
1−
1
8
0,25
II
(2,0 điểm)
⇔

sin 5 sin
3
x
x
π

⎛⎞
−=
⎜⎟
⎝⎠

0,25
Trang 2/4
Câu Đáp án Điểm
⇔

52
3
x
xk
π
π
−=+
hoặc
52
3
xxk
π
ππ
−=−+ .

0,25
Vậy:
18 3
x
k

ππ
=+
hoặc
62
x
k
ππ
=− +
( ).
k ∈ ]
0,25
2. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình…
Hệ đã cho tương đương:
2
2
3
10
5
() 1
xy
x
xy
x
⎧
++− =
⎪
0
⎪
+−+=
⎪

⎩
⎪
⎨

0,25
⇔

2
2
3
1
35
11
0
⇔
xy
x
x
x
⎧
+=−
⎪
⎪
⎨
⎛⎞
⎪
−−+=
⎜⎟
⎪
⎝⎠

⎩

2
3
1
46
20
xy
x
x
x
⎧
+=−
⎪
⎪
⎨
⎪
−+=
⎪
⎩

0,25
⇔

1
1
2
x
xy
⎧

=
⎪
⎨
⎪
+=
⎩
hoặc
11
2
1
2
x
xy
⎧
=
⎪
⎪
⎨

⎪
+=
⎪
⎩
0,25
⇔

1
1
x
y

=
⎧
⎨
=
⎩
hoặc
2
3
.
2
x
y
=
⎧
⎪
⎨
=−
⎪
⎩

Nghiệm của hệ: và
(; ) (1;1)xy =
3
(;

0,25
) 2; .
2
xy
⎛⎞

=−
⎜⎟
⎝⎠
Tính tích phân…
Đặt
3
,;1,;3,
x
dt
tedx x tex te
t
======
0,25
.

3
(1)
e
e
dt
I
tt
=
−
∫
=
3
11
1
e

e
∫
dt
tt
⎛⎞
−
⎜⎟
−
⎝⎠

0,25
=
33
ln| 1| ln| |
ee
ee
tt−−

0,25
III
(1,0 điểm)
=
2
ln( 1) 2.ee++ −
0,25
Tính thể tích khối chóp
IV
(1,0 điểm)
Hạ ; là đường cao
của tứ diện

()IH AC H AC⊥∈
⇒
()IH ABC⊥ IH
.
I
ABC

⇒

// '
I
HAA

⇒

2
''
3
IH CI
AA CA
==
⇒

24
'.
33
a
IH AA==

22

'' 5,AC A C A A a=−=

22
2.
B
CACAB a=−=

Diện tích tam giác
:ABC
2
1

2
ABC
SABBC
Δ
==a

Thể tích khối tứ diện
:
I
ABC

3
14

39
ABC
a
VI

HS
Δ
==


0,50
A

C

C'
A'
B
B
'
M
K
I
H

a
2a
3a
Trang 3/4
Câu Đáp án Điểm
Hạ '( ').
A
KABKAB⊥∈ Vì ('')
B

C ABB A⊥ nên
⇒

AK BC⊥
().
A
KIBC⊥
Khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng () là IBC
.AK
0,25
'
22
2
'. 2 5
.
'5
'
AA B
S
AA AB a
AK
AB
AA AB
Δ
== =
+

0,25

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất…

Do nên: 1,xy+=
22 3 3
16 12( ) 9 25Sxy xy xyx=++++y
0,25

22 3
16 12 ( ) 3 ( ) 34
x
yxyxyxyxy
⎡⎤
=++−++
⎣⎦
22
16 2 12.xy xy=−+

Đặt ta được:
,txy=
2
16 2 12;Stt=−+
2
()1
0
44
xy
xy
+
≤≤ =

⇒

1
0; .
4
t
⎡
⎤
∈
⎢
⎥
⎣
⎦

Xét hàm trên đoạn
2
() 16 2 12ft t t=−+
1
0;
4
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦

'( ) 32 2;ft t=− '( ) 0ft=
⇔
1

;
16
t =
(0) 12,f =
1
16
f
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
=
191
,
16

1
4
f
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
=
25
.
2

1
0;
4
125

max ( ) ;
42
ft f
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
⎛⎞
==
⎜⎟
⎝⎠

1
0;
4
1191
min ( ) .
16 16
ft f
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
⎛⎞
==
⎜⎟
⎝⎠


0,25
Giá trị lớn nhất của bằng
S

25
;
2
khi
1
1
4
x
y
xy
+=
⎧
⎪
⎨
=
⎪
⎩

⇔
11
(; ) ; .
22
xy
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠

0,25
V

(1,0 điểm)
Giá trị nhỏ nhất của bằng
S
191
;
16
khi
1
1
16
x
y
xy
+=
⎧
⎪
⎨
=
⎪
⎩

⇔

2323
(; ) ;
44
xy
⎛⎞
+−
=

⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
hoặc
2323
(; ) ; .
44
xy
⎛⎞
−+
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

0,25
1. (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng…
Toạ độ
A
thoả mãn hệ:
⇒

7230
64
0
xy
xy
−−=
⎧
⎨

−−=
⎩
(1; 2).A
B
đối xứng với
A
qua
,
M
suy ra (3; 2).B =−
0,25
Đường thẳng
B
C
đi qua
B
và vuông góc với đường thẳng 64xy−−=0.
.
Phương trình
:690BC x y++=
0,25
Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng
N
B
C
thoả mãn hệ:
7230
690
xy
xy

−−=
⎧
⎨
++=
⎩
⇒
3
0; .
2
N
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠

0,25
⇒
phương trình đường thẳng
(
2. 4; 3 ;AC MN==−−
)
JJJG JJJJG
:3 4 5 0.AC x y−+=
0,25
2. (1,0 điểm) Xác định toạ độ điểm

D

(1;1;2),AB =−
JJJG

phương trình
:AB
2
1
2.
x
t
yt
zt
=−
⎧
⎪
=+
⎨
⎪
=
⎩

0,25
VI.a
(2,0 điểm)
D
thuộc đường thẳng
A
B
(2 ;1 ;2 ) (1 ; ;2 ).
D
ttt CD ttt⇒ −+ ⇒ =−
J
JJG

0,25
Trang 4/4
Câu Đáp án Điểm
Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ():P
(1;1;1).n =
G

C
không thuộc mặt phẳng ().P
//( ) . 0CD P n CD⇔=
GJJJG
1
1.(1 ) 1. 1.2 0 .
2
tt t t⇔−++=⇔=−
Vậy
51
;;1.
22
D
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠

0,50
Tìm tập hợp các điểm…
Đặt (, );zxyixy=+ ∈\
()( )

34 3 4.zix y−+ = − + +
VII.a
i
0,25
Từ giả thiết, ta có:
()( ) ()( )
22 22
342344xy xy−++ =⇔−++=.

0,50
(1,0 điểm)
Tập hợp điểm biểu diễn các số phức là đường tròn tâm bán kính z
(
3; 4I −
)
2.R =
0,25
1. (1,0 điểm) Xác định toạ độ điểm

M

Gọi điểm
()
;.
M
ab Do
()
;
M
ab thuộc nên ()C

()
2
2
11;ab−+= ()OC∈
⇒
1.IO IM==
0,25
Tam giác
I
MO
có nên
n
OIM =
120
D
22 2 22
2 . .cos120 3.OM IO IM IO IM a b=+ − ⇔+=
D
0,25
Toạ độ điểm
M
là nghiệm của hệ
()
2
2
22
3
11
2
3

3
.
2
a
ab
ab
b
⎧
=
⎪
⎧
−+=
⎪⎪
⇔
⎨⎨
+=
⎪⎪
⎩
=±
⎪
⎩
Vậy
33
;.
22
M
⎛⎞
=±
⎜⎟
⎜⎟

⎝⎠

0,50
2. (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng…
Toạ độ giao điểm của với thoả mãn hệ: I Δ ()P
22
11
1
x
2340
yz
xyz
+−
⎧
==
⎪
−
⎨
⎪
+−+=
⎩

⇒
( 3;1;1).I −
0,25
Vectơ pháp tuyến của vectơ chỉ phương của ():P
(1; 2; 3);n =−
G
:Δ
(1;1; 1).u =−

G

0,25
Đường thẳng cần tìm qua và có vectơ chỉ phương
d
I
()
,1;2;1vnu
⎡⎤
==−−
⎣⎦
G
.
GG

0,25
VI.b
(2,0 điểm)
Phương trình
:d
3
12
1.
x
t
yt
zt
=− +
⎧
⎪

=−
⎨
⎪
=−
⎩

0,25
Tìm các giá trị của tham số
m

VII.b
Phương trình hoành độ giao điểm:
2
1
2
xx
x
m
x
+−
=− +

⇔
2
3(1)10(0).xmx x+− −= ≠
0,25
(1,0 điểm)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
12
,

x
x
khác 0 với mọi
.m
0,25
12
1
.
26
I
xx
m
x
+
−
==
Hoành độ trung điểm của I
0,25
:AB
1
00
6
I
m
IOy x m
−
∈⇔=⇔ =⇔=
1.

0,25

Hết