Đề thi thử đại học môn Toán số 4

SỞ GD – ĐT HÀ TĨNH
TRƯỜNG THPT MINH KHAI
ĐỀ THI THỬ ĐH – CĐ LẦN 2, NĂM HỌC 2013 – 2014
Môn: TOÁN; Khối: A, A1, B và D
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH( 7,0 điểm)
Câu 1( 2,0 điểm). Cho hàm số
3 2
6 9 2 (C). y x x x= − + −
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm M, biết M cùng với hai điểm cực trị của (C)
tạo thành một tam giác có diện tích bằng 6.
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình
( )
2
sin 2 os2 3 2 sinx 2
1
sinx cos
x c x
x
+ − −
=
+
.
Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
3 3 2
2
3 4 2 0
1 2 1
x y x x y
x y y


− + + − + =


− − = − −


Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân
2
2
2 2
1
1
I = dx.
( 1)( 3 1)
x
x x x x
−
− + + +
∫

Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi cạnh a;
ABC
∧
= 60
0
; mp(SAC) và
mp(SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy; góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 30
0
.

Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, CD.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
2 2 2
3( ) 4T a b c abc= + + +
.
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm I(-5;1) là tâm
đường tròn ngoại tiếp; phương trình đường cao AH và trung tuyến AM lần lượt là:
2 13 0 và 13 6 9 0. x y x y− − = − − =
Xác định tọa độ các đỉnh A, B, C.
Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm A(4;4;0); điểm B thuộc mặt cầu
(S):
2 2 2
4 4 4 0x y z x y z+ + − − − =
sao cho tam giác OAB đều. Viết phương trình mặt phẳng (OAB).
Câu 9.a (1,0 điểm). Tìm môđun của số phức
3
1 2 (1 )
1
i i
Z
i
+ − −
=
+
.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn(C):

2 2
2 4 2 0x y x y+ − + + =
.
Gọi (C'

)là đường tròn tâm I' (5;1) và cắt đường tròn (C) tại hai điểm M; N sao cho MN=
5
. Viết
phương trình đường tròn (C').
Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tọa độ trực tâm của tam giác ABC
biết A(3;0;0); B(0;1;4) và C(1;2;2).
Câu 9.b (1,0 điểm). Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số
và số đó chia hết cho 3?
Hết
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
ĐỀ CHÍNH THỨC
SỞ GD – ĐT HÀ TĨNH
TRƯỜNG THPT MINH KHAI
ĐỀ THI THỬ ĐH – CĐ LẦN 2, NĂM HỌC 2013 – 2014
Môn: TOÁN; Khối: A, A1, B và D
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Đáp án- hướng dẫn chấm
Phần chung: 7 điểm
Câu
1a.
TXĐ: D=R
Sự biến thiên : +
lim ; lim
x x
y y

→+∞ →−∞
= +∞ = −∞
0,25
+ y
/
=3x
2
-12x + 9 , y
/
= 0
⇔
x = 1 hoặc x = 3
+ Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-
∞
;1) và (3;+
∞
); nghịch biến trên khoảng
(1;3)
Hàm số đạt cực đại tại x = 1, y
CĐ
= 2
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3, y
CT
= -2
0, 5
Đồ thị
0,25
Câu 1b
M∈(C) ⇒ M(t; t

3
-6t
2
+9t-2) với t ≠ 1; t≠ 3
Điểm CĐ : A(1 ; 2) và điểm CT : B(3 ;-2) ⇒ AB =
20
0,25
Phương trình đường thẳng AB : 2x+ y- 4 =0
3 2
6 11 6
1 1
Ta c . ( ; ) 6 20
2 2
5
MAB
t t t
ó S AB d M AB
∆
− + −
= ⇒ =
0,25
3 2
0
6 11 6 6
4
t
t t t
t
=


⇔ − + − = ⇔

=

0,25
ĐỀ CHÍNH THỨC
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
-12
5 10 15 20 25 30
Y
O
1
X
3
x
y
/
y
- 1 3 +
+ 0 - 0 +

-
2
-2

+
Với t = 0 ⇒ phương trình tiếp tuyến: y =9x -2
Với t = 4 ⇒ phương trình tiếp tuyến: y =9x -34
0,25
Câu 2
ĐK
sin cos 0
4
x x x k
π
π
−
+ ≠ ⇔ ≠ +
Phương trình tương đương:
sin 2 os2 3 2 sinx 2 1 sin 2x c x x
+ − − = +
0,25
2
2sin 3 2 sinx 2 0x
⇔ + + =
s 2( )
1
s
2

= −

⇔
−


=


inx loaïi
inx
0,25
2
4
5
2
4
x k
x k
π
π
π
π
−

= +

⇔


= +


0,25
Đối chiếu điều kiện nghiệm của phương trình là:
5

2
4
x k
π
π
= +
0,25
Câu 3
ĐK
1 1
0 2
x
y
− ≤ ≤


≤ ≤

(1)
3 3
( 1) ( 1) (2)x x y y⇔ + + + = +
Xét hàm số
3
( )f t t t= +
với
[ ]
0;2t ∈
Ta có
/ 2
( ) 3 1 0 (0;2)f t t t= + > ∀ ∈

f⇒
đồng biến trên
[ ]
0;2
0,25
Phương trình(2) có dạng
( 1) ( ) 1f x f y x y+ = ⇔ + =
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được
2
1 1 1 1x x x− − + = − −

2
1 1 1 1 0x x x⇔ + + − − − − =
0,25
Đặt
1 1 , 2 2t x x t= + + − ≤ ≤

2
2
2
1
2
t
x
−
⇒ − =
Phương trình trở thành:
2
0

2 0
2
t
t t
t
=

− = ⇔

=

(loaïi)

(t/m)
0,25
Với
2
2 1 1 2 1 1t x x x= ⇒ + + − = ⇔ − =

0x⇔ =
(t/m đk)
x = 0 ⇒ y=1
Vậy hệ có nghiệm (0;1).
0,25
Câu 4
Ta có
2
2
1
1

1

1 1
1 3
dx
x
I
x x
x x
 
−
 ÷
 
=
  
+ − + +
 ÷ ÷
  
∫
0,25
Đặt
1
t x
x
= +

2
1
1dt dx
x

 
⇒ = −
 ÷
 
x = 1
⇒
t = 2 ;
x= 2
⇒
t = 5/2
0,25
5 5
2 2
2 2
1 1 1
( 1)( 3) 4 1 3
dt
I dt
t t t t
 
= = −
 ÷
− + − +
 
∫ ∫
0,25
( )
5
2
2

1
ln 1 ln 3
4
t t= − − +

1 15
ln
4 11
=
0,25
Câu 5 Gọi O là tâm của hình thoi
ABCD; M là trung điểm của
AB và I là trung điểm của AM
Do ∆ ABC đều nên CM ⊥ AB ;
OI⊥AB và
3
= ;
2
a
CM
3
4
a
OI =
;
2
3
2
ABCD
a

S =
0,25
Do (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với (ABCD) nên SO⊥(ABCD)
Do
AB OI
AB SO
⊥


⊥

⇒ AB ⊥ SI
⇒ góc giữa 2 mp(SAB) và (ABCD) là
SIO
∧
= 30
0
, ta có SO =IO tan30
0
=
4
a
3
.
1 3
.
3 24
S ABCD ABCD
a
V SO S= =

0,25
Gọi J = OI ∩ CD và H là hình chiếu của J trên SI
Do AB⊥(SOI) ⇒ JH ⊥ AB ⇒ JH ⊥(SAB)
d(SA,CD)= d(CD,(SAB))=d(J,(SAB))=JH
0,25
Ta có : JH = IJsin30
0
= 2OIsin30
0
=
3
;
4
a
0,25
Câu 6 Giả sử
0 3a b c< ≤ ≤ <
Do
3a b c+ + =

3a b c⇒ + = −
và
1c ≥

Do
a b c
+ >

3
1;

2
c
 
⇒ ∈
÷

 
0,25
Ta có T = 3(a
2
+b
2
) + 3c
2
+ 4abc= 3(a +b)
2
- 6ab +3c
2
+ 4abc
= 3(3-c)
2
+3c
2
-2(3-2c)ab
Lại có
3
2
c <
⇒ 3 - 2c > 0
2

2
a b
ab
+
 
≥
 ÷
 

2
3
0
2
c
ab
−
 
⇒ ≥ >
 ÷
 
0,25
⇒ T
≥
3(3-c)
2
+3c
2
- 2(3-2c)
2
3

2
c−
 
 ÷
 
3 2
3 27

2 2
T c c⇒ ≥ − +
0,25
I
M
O
C
B
A
D
S
J
H
H
M
N
I
I'
Xét hàm số :
3 2
3 27
( )

2 2
f c c c= − +
với
3
1;
2
c
 
∈
÷

 
( ) (1) 13f c f≥ =
hay T ≥ 13
Vậy giá trị của nhỏ nhất của biểu thức T bằng 13 đạt được khi a = b = c = 1
0,25
II. Phần riêng
Theo chương trình chuẩn
Ta có A=AM∩AH ⇒ A(-3 ;-8)
Do IM // AH ⇒ phương trình đường thẳng IM: x - 2y + 7 = 0
0,25
M = IM ∩ AM ⇒ M(3;5)
BC ⊥ AH ⇒ phương trình đường thẳng BC: 2x + y - 11 = 0
0,25
Do B ∈ BC ⇒ B( x
0
; 11 - 2x
0
)
Ta có IB =IA ⇒ (x

0
+5)
2
+ (10 - 2x
0
)
2
= 85 ⇔ x
0
2
- 6x
0
+8 = 0
0
0
2
4
x
x
=

⇔

=


0,25
⇒ B(2; 7) ; C(4;3) hoặc B( 4;3) ; C(2;7)
0,25
Câu 8a

( ; ; ) ( )B x y z S∈
và ∆OAB đều nên
2 2 2
4 4 4 0x y z x y z
OA OB AB

+ + − − − =

= =

2 2 2
2 2 2
2 2 2
4 4 4
32
(4 ) (4 ) 32
x y z x y z
x y z
x y z

+ + = + +

⇔ + + =


− + − + =


2 2 2
8

32
4
x y z
x y z
x y
+ + =


⇔ + + =


+ =

0,25
0; 4; 4
4; 0; 4
x y z
x y z
= = =

⇔

= = =


(0;4;4)
(4;0;4)
B
B


⇒


0,25
(0;4;4)B
⇒ phương trình mp(OAB): x - y + z =0
0,25
(4;0;4)B
⇒ phương trình mp(OAB): x - y - z =0
0,25
Câu 9a
3 2 3
1 2 (1 ) 1 2 (1 3 3 ) 3 4
1 1 1
i i i i i i i
Z
i i i
+ − − + − − + − +
= = =
+ + +
0,25
7 1

2 2
Z i⇒ = +
0,25
2 2
7 1 5 2
2 2 2
Z

   
= + =
 ÷  ÷
   
0,5
Theo chương trình nâng cao
Câu 7b Trường hợp 1 :
Đường tròn (C) có tâm I(1 ;-2), bán kính
3R =
; II
/
= 5
Gọi H = II
/
∩ MN ⇒ HM = HN =
5
2
Ta có
2 2
7
2
IH R MH= − =
;
/ /
7
5
2
I H II IH= − = −
0,25
Bán kính đường tròn (C

/
) :
/ /
R I M=
=
/ 2 2
28 5 7I H HM+ = −
0,25
Phương trình đường tròn (C
/
) : (x - 5)
2
+ ( y - 1)
2
= 28 -
5 7
Trường hợp 2 :
Đường tròn (C) có tâm I(1;-2), bán kính
3R =
; II
/
= 5
Gọi H = II
/
∩ MN ⇒ HM = HN =
5
2
Ta có
2 2
7

2
IH R MH= − =
;
/ /
7
5
2
I H II IH= + = +
0, 25
Bán kính đường tròn (C
/
) :
/ /
R I M=
=
/ 2 2
28 5 7I H HM+ = +
Phương trình đường tròn (C
/
) : (x - 5)
2
+ ( y - 1)
2
= 28 +
5 7
0,25
Câu8b.
( 3;1;4); ( 2;2;2); (1;1; 2)
, ( 6; 2; 4)
AB AC BC

AB AC
= − = − = −
 
= − − −
 
uuur uuur uuur
uuur uuur

Mp(ABC) đi qua A(3;0;0) và có VTPT
(3;1;2)n
r
có pt: 3x + y + 2z - 9=0
0,25
0 0 0
( ; ; )H x y z
là trực tâm của
( )
. 0
. 0
H ABC
ABC AH BC
BH AC
∈


∆ ⇔ =


=


uuuruuur
uuur uuur
0, 25
0 0 0
0 0 0
0 0 0
3 2 9 0
2 3 0
5 0
x y z
x y z
x y z

+ + − =

⇔ + − − =


− − + =

0,25
0
0
0
5
7
32
7
8
7

x
y
z

=



⇔ =



=


. Vậy
5 32 8
( ; ; )
7 7 7
H

0,25
Câu 9b
Số có 5 chữ số cần lập là
abcde
(
0a ≠
; a, b, c, d, e
∈
{0; 1; 2; 3; 4; 5})

3abcde M

( ) 3a b c d e⇔ + + + + M
0,25
- Nếu
( ) 3a b c d+ + + M
thì chọn e = 0 hoặc e = 3
- Nếu
( )a b c d+ + +
chia 3 dư 1 thì chọn e = 2 hoặc e = 5
- Nếu
( )a b c d+ + +
chia 3 dư 2 thì chọn e = 1 hoặc e = 4
0,25
Như vậy với mỗi số
abcd
đều có 2 cách chọn e để được một số có 5 chữ số
chia hết cho 3
Số các số dạng
abcd
lập được từ tập A là: 5x6x6x6= 1080 số
0,25
Số các số cần tìm là 2 x 1080 = 2160 số
0,25
H
M
N
I'
I