ôn luyện và kiểm tra toán lớp 5

MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÍNH NHANH
I. CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY CÁCH ĐỀU.
A. Công thức tính.
Tổng = (Số đầu + số cuối) x số số hạng : 2
Số khoảng cách = (Số lớn nhất - số bé nhất) : giá trị 1 khoảng cách
Số số hạng = Số k/cách + 1 = (Số lớn nhất - số bé nhất) : giá trị 1 k/ cách + 1
Số lớn nhất = giá trị 1 khoảng cách x số k/cách + số bé nhất
Số bé nhất = Số lớn nhất - giá trị 1 khoảng cách x số k/cách
Giá trị1 khoảng cách = hiệu 2 số liền nhau
B. Bài tập vận dụng.
Tính nhanh các tổng sau.
1, 1 + 3 + 5 + 7 + …( dãy có 50 số hạng)
Giải
Dãy trên là dãy cách đều, hai số liền nhau hơn kém nhau 2 đơn vị: 3-1=2 ; 5-3=2…
Dãy có 50 số hạng nên số đầu cách số cuối 49 khoảng cách 2 đơn vị hay hiệu của chúng bằng : 49 x 2 =
98
Số cuối của dãy là : 1 + 98 = 99.
Tổng của dãy là : (1 + 99) x 50 : 2 = 2500
Đáp số : 2500
2, 1,2 + 1,5 + 1,8 + . . . 6,6 + 6,9
Giải
Dãy trên là dãy cách đều, hai số liền nhau hơn kém nhau 0,3 đơn vị: 1,5-1,2= 0,3 ; 1,8-1,5 = 0,3. . .
Số số hạng của dãy là: (6,9 - 1,2) : 0,3 + 1 = 20 (số hạng)
Tổng của dãy là : (1,2 + 6,9) x 20 : 2 = 81
Đáp số : 81
C. Bài tập tự làm:
Bài 1: Tính nhanh giá trị các dãy sau:
1, Tổng của 20 số lẻ liên tiếp đầu tiên
2, 3 + 6 + 9 + . . . (dãy có 20 số hạng)
3, 0,1 + 0,2 + . . . + 0,98 + 0.99
4, 1,1 - 1,11 + 1,12 - 1,13 …- 1,97 + 1,98

Bài 2 : Tìm x, biết:
1, (x+9) + (x-2) + (x+7) + (x - 4) + (x+5) + (x - 6) + (x + 3) + (x - 8) + (x + 1) =95
2, (x+1) + (x+2) + (x+3) . . . + (x+99) (x+100) = 5250
II. CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY CẤP SỐ NHÂN.
A. Công thức tính.
S = + + + . . . +
Nếu : = : = … = k thì S x k = + + + …+ = + S -
S x (k - 1) = - ; S = ( - ) : (k - 1)
B. Bài tập vận dụng.
Tính nhanh giá trị các dãy sau:
1, + + + +
Cách 1: Giải
Ta thấy : : =2 ; : = 2 ; : = 2; : = 2
Đặt S = + + + +
S x 2 = 2 x ( + + + + ) = 1 + + + +
S x 2 = 1 + S -
1
Bớt S ở cả hai vế, ta có:
S = 1 - =
Đáp số: S =
Cách 2: Giải
Ta thấy : = 1 - ; = - ; = - ; = - ; = -
Vậy : + + + + = 1 - + - + - + - + - = 1 - =
Đáp số :
Cách 3: Giải
Ta thấy : + = = 1 - ; + + = = 1 - ; …
Vậy : + + + + = 1 - =
Đáp số :
2, 1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 8192
Giải

Ta thấy : 1 + 2 = 3 = 4 -1
1 + 2 + 4 = 7 = 8 - 1
1 + 2 + 4 + 8 = 15 = 16 -1.(hay = 8 x 2 -1) . . .
Vậy 1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 8192 = (8192 x 2) - 1 = 16384 - 1 = 16383
Đáp số : 16383
C. Bài tập tự làm:
Bài 1 : Tính nhanh giá trị các dãy sau:
1, + + + … +
2, + + + +
3, + + + + . . . ( Dãy có 8 số hạng)
Bài 2 : Tìm x.
1, + + + + + =
2, x X ( + + + + ) =
III. CÁC BÀI TOÁN QUI VỀ THỪA SỐ ĐỐI NHAU
A. Công thức tính.
+ + = - + - + - = - (Với c-b = d-c = e-d = a)
B. Bài tập vận dụng.
Tính nhanh giá trị các dãy sau.
1, + + +
Giải
Ta thấy : = = 1 - ; = = - . . .
Vậy : + + + = 1- + - + - + - = 1 - =
Đáp số :
2, 1 x + x + x + x
Giải
Ta có : 1 x + x + x + x = + + +
Đặt : S = + + +
Sx2 = 2 x ( + + + ) = + + +
Sx2 = 1 - + - + - + - = 1- =
S = : 2 =

Vậy : 1 x + x + x + x =
Đáp số :
C. Bài tập tự làm:
Tính nhanh giá trị các dãy sau:
1, x + x + x + x + x
2, + + +
3, + + + + +
2
IV. CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CÁC TÍNH CHẤT GIAO HOÁN, KẾT HỢP… CỦA PHÉP
CỘNG (PHÉP NHÂN, . .) ĐỂ ĐƯA VỀ TỔNG (TÍCH,. . . ) TRÒN CHỤC, TRÒN TRĂM…
A. Lí thuyết.
a + b = b + a a x b = b x a
a + 0 = 0 + a = a a x 0 = 0
a x 1 = a a : 1 = a 0 : a = 0
(a + b) + c = a + (b + c) (a x b) x c = a x (b x c)
(a + b) x c = a x c + b x c (a - b) x c = a x c - b x c
(a + b) : c = a : c + b : c (a - b) : c = a : c - b : c
(a : b) : c = a : b : c = a : c : b (a x b) : c = (a : c) x b = a x (b : c)
a : (b : c) = a : b x c = a x c : b a : (b x c) = a : b : c = a : c : b
a - (b + c - d - e) = a - b - c + d + e a + (b + c - d - e) = a + b + c - d - e
a x 0,25 = a : 4 a : 0,25 = a x 4
a x 0,5 = a : 2 a : 0,5 = a x 2
a x 0,125 = a : 8 a : 0,125 = a x 8
a x 0,2 = a : 5 a : 0,2 = a x 5
a x 0,75 = a x 3 : 4 a : 0,75 = a : 3 x 4
a x 5 = a x 10 : 2 a : 5 = a : 10 x 2
a x 25 = a x 100 : 4 a : 25 = a : 100 x 4
. . . . . . . .
- Chia nhẩm (nhân nhẩm) một số thập phân cho (với) 10; 100; 1000…ta dời dấu phẩy của số đó
sang trái (sang phải) một, hai … chữ số

- Nhân nhẩm (chia nhẩm) một số thập phân với (cho) 0,1; 0,01; 0,001…ta dơid dấu phẩy của số đó
sang phải (sang trái) một, hai ….chữ số.
- Cùng thêm hoặc cùng bớt một lượng ở cả hai số thì hiệu hai số không thay đổi.
- Thêm bao nhiêu ở số này và bớt bấy nhiêu ở số kia thì tổng hai số không thay đổi.
- Thêm a đơn vị ở số trừ và giữ nguyên số bị trừ thì hiệu giảm a đơn vị
- Thêm a đơn vị ở số bị trừ và giữ nguyên số trừ thì hiệu tăng a đơn vị
. . . . .
B. Bài tập vận dụng.
Tính nhanh các giá trị sau:
1, 36,75+ 1,32 - 1,75 + 3,68 + 0,5
Giải
36,75+ 1,32 - 1,75 + 3,68 + 0,5
= (36,75 - 1,75) + (1,32 + 3,68) + 0,5
= 35 + 5 + 0,5 = 40 + 0,5 = 40,5
Đáp số : 40,5
2,
42,0:25,113,32
225,0:25,65,0:52,12
xxx
xx
Giải
=
42,0:25,113,32
225,0:25,65,0:52,12
xxx
xx
=
4525,113,32
2425,6252,12
xxxx

xxxx
4525,113,32
24525,12413,3
xxxx
xxxxxx
= 4 x2 = 8
Đáp số : 8
3, 467 x 138 + 138 x 534
Giải
467 x 138 + 138 x 534 = 467 x 138 + 138 x (533 + 1)
3
= 467 x 138 + 138 x 533 + 138 x 1 = (467 + 533) x 138 + 138
= 1000 x 138 + 138 = 138000 + 138 = 138138
Đáp số : 138138
C. Bài tập tự làm:
Bài 1 : Tính nhanh giá trị các dãy sau.
1, 32,6 x 98 + 3 x 32,6 - 32,6
2,
02,04200
10:2025,0165,08,4
x
xx ++
3,
191463827
100445064
xx
xx
+
+
4,

419618426625
6286475614
−−+
++ xxx
5, 1,25 x 25 x 3,86 x 32
6,
1
5
2
4 −
4
3
-
7, (792,81 x 0,25 + 792,81 x 0,75) x (11 x 9 - 90 x 0,1 - 9)
8, 87 x 11 x 0,1 + 1,235 x 5555 x (3 : 4 - 0,75)
9, 817 x 15 + 85 x 816
10,
234638
153847
+
−
x
x
11, - + - +
12,
__________________________________________________
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỐ VÀ CHỮ SỐ
A. Lí thuyết.
1, Dủng 10 chữ số để viết số trong hệ thập phân : 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
2, ab = a x 10 + b

abc = a x 100 + b x 10 + c
= ab x 10 + c
= a x 100 + bc
. . . . .
3, Hai số tự nhiên liên tiếp hơn kém nhau 1 đơn vị
4, Hai số chẵn hoặc hai số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị
5, Dãy STN liên tiếp bắt đầu từ 1 thì số lượng số của dãy bằng giá trị số đứng sau cùng. Nếu bắt
đầu khác 1 thì số lượng số của dãy bằng số lớn nhất trừ số bé nhất + 1.
6, Dãy STN liên tiếp bắt đầu chẵn, kết thúc lẻ (hoặc bắt đầu lẻ, kết thúc chẵn) thì số lượng số chẵn
bằng số lượng số lẻ.
7, Dãy STN liên tiếp bắt đầu chẵn, kết thúc chẵn thì số lượng số chẵn hơn số lượng số lẻ là 1
8, Dãy STN l/ tiếp bắt đầu lẻ, kết thúc lẻ thì số lượng số lẻ hơn số lượng số chẵn là 1
B. Bài tập vận dụng.
Bài1: Dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 99 có bao nhiêu số? Bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ?
Giải
Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 thì số lượng số của dãy bằng giá trị số đứng sau cùng. Vậy dãy có
99 số.
Dãy STN l/ tiếp bắt đầu lẻ, kết thúc lẻ thì số lượng số lẻ hơn số lượng số chẵn là1.
Vậy dãy có số lượng số chẵn là : (99 - 1) : 2 = 49 (số)
Số lượng số lẻ là : 99 - 49 = 50 (hoặc 49 + 1 = 50)
Đáp số : 99 số; 49 số chẵn và 50 số lẻ.
Bài 2: Cho 4 chữ số : 0, 3, 8, 9
4
a, Ta có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau ? Có 3 chữ số khác nhau ?
b, Hãy lập các số có 3 chữ số khác nhau từ 4 chữ số đã cho.
Giải
a, Có 3 cách chọn các chữ số đứng ở hàng nghìn (trừ chữ số 0)
Có 3 cách chọn các chữ số đứng ở hàng trăm (trừ các chữ số đã chọn đứng ở hàng nghìn)
Có hai cách chọn các chữ số đứng ở hàng chục (trừ các chữ số đã chọn đứng ở hàng nghìn, hàng trăm)
Có một cách chọn các chữ số đứng ở hàng đơn vị (trừ các chữ số đã chọn đứng ở hàng nghìn, hàng trăm,

hàng chục)
Ta lập được số lượng số có 4 chữ số khác nhau từ các chữ số đã cho là:
3 x 3 x 2 x 1 =18 (số)
b, Các số lập được là: 389; 398; 380; 308; 390; 309; 893; 839; 809; 890; 803; 830; 983; 938; 908; 980;
903; 930.
Đáp số : 18 số; 18 số trên.
Bài 3: Để đánh quyển sách dày 108 trang cần ghi bao nhiêu chữ số?
Giải
Có 9 trang được ghi bằng 1 chữ số từ 1 đến 9
Có 90 trang được ghi bằng 2 chữ số từ 10 đến 99
Số trang được ghi bằng 3 chữ số là : 108 - (90 + 9) = 9 (trang)
Để đánh quyển sách dày 108 trang cần ghi số chữ số là:
9 x 1 + 90 x 2 + 9 x 3 = 216 (chữ số)
Đáp số : 216 chữ số
Bài 4: Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng nếu thêm chữ số 2 vào bên trái của số phải tìm thì số mới
này gấp 9 lần số phải tìm.
Giải
Gọi STN có ba chữ số cần tìm là abc (a = 0);
khi thêm chữ số 2 vào bên trái số đó ta được số 2abc.
Theo bài ra ta có: 2abc = 9 x abc
2000 + abc = 9 x abc
Bớt abc ở cả hai vế ta có :
8 x abc = 2000
abc = 2000 : 8
abc = 250
Thử lại : 250 x 9 = 2250
Đáp số : 250
Bài 5: Điền số thích hợp vào các chữ trong các phép tính sau, biết các chữ khác nhau thay bằng các số
khác nhau
a, abcde x 4 = edcba

Giải
Để phép tính có nghĩa thì a và e phải khác 0.
Vì thừa số thứ nhất có 5 chữ số và tích có 5 chữ số nên a <3 (a = 0).
Vậy a = 1 hoặc a = 2.
Ta thấy, e x 4 cho kết quả tận cùng bằng a và là kết quả chẵn, suy ra a = 2.
Mặt khác, a = 2 nên chữ số hàng chục nghìn của tích bằng 8 hoặc bằng 9, hay e = 8 hoặc e = 9. Vì e x 4
cho tận cùng bằng a (hay bằng 2), suy ra e = 8.
Ta lại thấy, tích của 4 với chữ số hàng nghìn không qua 10 nên b <3, vậy b = 0 (hoặc 1; 2) mà 4 x d + 3
(nhớ ở hàng đơn vị sang) cho kq tận cùng bằng b (là kết quả lẻ) suy ra b = 1.
4 x d + 3 cho kq tận cùng bằng b (bằng1); nên d = 7 hoặc d = 2. Nếu d = 2 thì 4 x c + 1 (nhớ ở hàng chục
sang) cho tận cùng bằng c (loại - vì không có giá trị nào thoả mãn). Vậy d = 7. Với d = 7 thì c x 4+ 3 (nhớ
ở hàng chục sang) cho tận cùng bằng c. Suy ra, c = 9.
5
Thay a = 2; b = 1; c = 9; d = 7; e = 8 ,ta có phép tính đúng : 21978 x 4 = 87912
Đáp số : abcde = 21978 (a = 2; b = 1; c = 9; d = 7; e = 8)
b, ab,cd - a,bcd = 17,865
Giải
ab,cd - a,bcd = 17,865 a,bcd x 10 - a,bcd x 1 = 17,865
a,bcd x (10 - 1) = 17,865 a,bcd x 9 = 17,865
a,bcd = 17,865 : 9
a,bcd = 1,985 (hay a =1; b = 9; c = 8; d = 5)
Ta có phép tính đúng : 19.85 - 1,985 = 17,865
Đáp số : a,bcd = 1,985 (a= 1; b = 9; c = 8; d = 5)
C. Bài tập tự làm.
Bài 1: Dãy số tự nhiên 2; 3; 4 ….102; 103. có bao nhiêu số? Bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ?
Bài 2: Cho bốn chữ số 1; 2; 4; 7 .Ta cố thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau từ bốn chữ số đã
cho? (không liệt kê các số để tính).
Bài 3: Để đánh một quyển sách dày 128 trang thì cần ghi bao nhiêu chữ số?
Bài 4: Người ta phải đánh quyển sách dày bao nhiêu trang để tổng số chữ số của các trang gấp đôi số
trang?

Bài 4: Thay a, b,c bởi các chữ số thích hợp trong các biểu thức sau để có phép tính đúng:
1, a,b : (a + b) = 0,5
2, a7b,8c9 : 10,01 = ac,b
3, cab = 3 x ab + 8
4, 15abc : abc = 121
5, abab + ab = 2550
Bài 5 : Tìm một số có 3 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó thì nó tăng thêm 1112
đơn vị.
Bài 6: Cho một số có ba chữ số, nếu ta xoá bỏ chữ số hàng trăm thì số đó giảm đI 7 lần. Tìm số đó.
Bài 7: Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số đó chia cho hiệu các chữ số của nó được thương là 28 và dư
1.
Bài 8: Tìm số có hai chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó ta được số lớn hơn số
phải tìm 230 đơn vị.
Bài 9: Hiệu của hai số là 319. Nếu xoá bỏ chữ số 4 ở hàng đơn vị của số bị trừ thì ta được số trừ. Tìm hai
số đã cho.
Bài 10: Tìm một số có 3 chữ số, biết rằng viết thêm chữ số 0 xen giữa chữ số hàng trăm và hàng chục ta
được một số lớn gấp 7 lần số đó.
Bài 11: Cho một số thập phân, dời dấu phẩy của số thập phân đó sang bên phải một chữ số được số TP
thứ hai. Cộng hai số TP lại ta được 294,58. Tìm số TP ban đầu.
Bài 12: Cho một số TP, dời dấu phẩy của số TP đó sang bên trái hai chữ số, ta được số thứ hai. Lấy số
ban đầu trừ đi số thứ hai ta được hiệu bằng 261,657. Tìm số thập phân ban đầu.
Bài 13: Cho một số TP, dời dấu phẩy của số đó sang bên phải một chữ số ta được số thứ hai, dời dấu phẩy
của số ban đầu sang bên trái một chữ số ta được số thứ ba, cộng ba số lại ta được tổng bằng 360,306. Hãy
tìm số TP ban đầu.
Bài 14: Khi thực hiện phép cộng hai số TP, một HS đã viết nhầm dấu phẩy của một số hạng sang bên
phải một chữ số, do đó được kết quả là 692,22. Em hãy tìm hai số đã cho, biết tổng đúng của chúng bằng
100,556.
Bài 15: Trong một phép trừ có số bị trừ là số tự nhiên, số trừ là số thập phân mà phần thập phân có một
chữ số. Một HS vì chép thiếu dấu phẩy nên đã tiến hành trừ hai số tự nhiên và tìm được kết quả là 164.
Em hãy tìm số bị trừ, số trừ đã cho biết hiệu đúng của chúng bằng 328,7.

Bài 16: Khi nhân một số tự nhiên với 45, một HS đã đặt các tích riêng thẳng cột như trong phép cộng nên
được kết quả là 2934. Em hãy tìm tích đúng của phép tính.
Bài 17: Không thực hiện phép tính, hãy tìm chữ số tận cùng của kết quả mỗi phép tính sau (có giải thích).
a, 1 x 3 x 5 x 7 x 9 x. . . x 99
6
b, (1999 + 2378 + 4545 + 7956) - (315 + 598 +736 + 89)
c, 56 x 66 x 76 x 86 - 51 x 61 x 71 x 81.
Bài 18: Một người viết liên tiếp nhóm chữ CHAM HOC CHAM LAM thành dãy CHAM HOC CHAM
LAM CHAM HOC CHAM LAM ….
a, Chữ cái thứ 1000 trong dãy là chữ gì?
b, Nếu đếm được trong dãy có 1200 chữ H thì đếm được bao nhiêu chữ A?
c, Một người đếm được trong dãy có 1996 chữ C, hỏi người đó đếm đúng hay sai? Giải thích tại sao?
Bài 19: Điền các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 vào các ô tròn sao cho tổng 3 ô liền nhau trong một hàng bằng
nhau và bằng 10; bằng 12.


Bài 20: Tìm x là số tự nhiên biết :
a, (x + 238) x 45 = 22140
b, 6203 : x = 326 (dư 9)
c, 4,25 x (x + 41,53) - 12,5 = 53,5
d, x : 6 X 7,2 + 1,3 X x + x : 2 + 15 = 19,95
e, 7,75 - (0,5 X x : 5 - 6,2) = 5
g, + = 1
h, (0,3 x x - 2,7) : 9,1 = 0
I , < <
k, 12,34 < x X 2 < 13,34
l, (x - ) x = -
m, 200 - 18 : (372 : 3 X x - 1) - 28 = 166
_____________________________________________________
DẤU HIỆU CHIA HẾT

A. Lí thuyết
1, Dấu hiệu chia hết cho 2 : Các số chẵn thì chia hết cho 2 (các số có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6;
8; )
2, Dấu hiệu chia hết cho 5: Các số có chữ số tận cùng là 0; 5 thì chia hết cho 5.
3, Số chia hết cho cả 2 và 5: Là những số có chữ số tận cùng bằng 0.
4, Dấu hiệu chia hết cho 3: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho 3.
5, Dấu hiệu chia hết cho 9: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì số đó chia hết cho 9. (Những
số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3)
6, a : c và b : c thì (a + b) : c và (a - b) : c
7, (a + b) : c mà a : c (dư r) thì (b + r) : c.
8, a : c (dư r) và b : c (dư r) thì (a - b) : c
9, a : b và a : c thì a : (b x c) và ngược lại.
10,Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25): Là những số có 2 chữ số tận cùng hợp thành số chia hết cho 4
(hoặc 25).
11,Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125): Là những số có 3 chữ số tận cùng hợp thành số chia hết cho
8 (hoặc 125).
12,Số 1001 : 7 : 11 : 13 vì 7 x 11 x 13 = 1001.
B. Bài tập vận dụng.
Bài 1: Viết một chữ số vào dấu * để số 123*:
a, Chia hết cho 2: 1230; 1232; 1234; 1236; 1238
b, Chia hết cho 9: 1233
c, Chia hết cho 5: 1230; 1235
7
d, Chia hết cho cả 2 và 3: 1230; 1236
e, Chia hết cho cả 2 và 5: 1230
g, Chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 3: 1232; 1234; 1238.
Bài 2: Không thực hiện phép tính, hãy giải thích tại sao : 2010 và 1992 có tổng và hiệu đều chia hết cho
cả 2 và 3.
Giải
2010 : 2 và 1992 : 2 (vì 2010 và 1992 đều là số chẵn)

nên (2010 + 1992) : 2 và (2010 - 1992) : 2
2010 : 3 (vì 2 + 0 + 1 + 0 = 3; 3 : 3) và 1992 : 3 (vì 1 + 9 + 9 + 2 = 21 ; 21: 3)
Nên (2010 + 1992) : 3 và (2010 - 1992) : 3
Bài 3: Thay x và y trong số 1996xy để được số chia hết cho cả 2,; 5; và 9
Giải
Để 1996xy : 2 thì y = 0 (hoặc 2; 4; 6; 8)
Để 1996xy : 5 thì y = 0 hoặc 5.
Để 1996xy : 2 : 5 thì y = 0
Thay y = 0 ta có : 1996xy = 1996x0
Để 1996x0 : 9 thì (1 + 9 + 9 + 6 + x + 0 ) : 9 hay (25 + x) : 9
Vì 25 : 9 = 2 (dư 7) nên (x + 7) : 9 ; x là số tự nhiên bé hơn 10 nên x = 2.
Thay x = 2 vào ta có : 1996x0 = 199620
199620 : 2 : 5 : 9
Vậy với x = 2 ; y = 0 ta có 1996xy = 199620 : 2 : 5 : 9
Đáp số : x = 2 ; y = 0 ta được số 199620 : 2 : 5 : 9
Bài 4: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 2 dư 1; chia cho 3 dư 2; chia cho 4 dư 3 và chia cho 5 dư 4 và
chia cho 6 dư 5.
Giải
Gọi số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là A.
A : 2 dư 1 nên (A + 1) : 2; A : 3 dư 2 nên (A + 1) : 3
A : 4 dư 3 nên (A + 1) : 4 A : 5 dư 4 nên (A + 1) : 5
A : 6 dư 5 nên (A + 1) : 6
Số chia hết cho 6 thì sẽ chia hết cho 2 và 3 (vì 6 = 2 x 3)
Số nhỏ nhất chia hết cho cả 6 và 4 là 12 .
Vậy số nhỏ nhất chia hết cho cả 2; 3; 4; 5; 6 bằng : 12 x 5 = 60
Hay A + 1 = 60 A = 60 - 1 A = 59
Đáp số : A = 59
Bài 5: Chứng tỏ rằng không thể thay mỗi chữ cái trong phép tính sau bằng chữ số thích hợp để được một
phép tính đúng.
HOC HOC HOC

_
TOT TOT TOT
1234 567 891
Giải
Tổng các chữ của HOC HOC HOC là : 3 x ( H + O + C) : 3
Tổng các chữ của TOT TOT TOT là : 3 x ( T x 2 + O ) : 3
Nên 3 x (H + O + C) + 3 x ( T x 2 + O ) :3 hay (HOC HOC HOC - TOT TOT TOT) :3
Mà số 1234 567 891 không chia hết cho 3 nên ta không thể thay thế mỗi chữ cái trên bằng chữ số thích
hợp đẻ có phép tính đúng.
Bài 5: Một cửa hàng rau quả có 5 rổ đựng cam và chanh (trong mỗi rổ chỉ đựng một loại quả). Số quả
trong mỗi rổ lần lượt là 104; 115; 132; 136 và 148 quả. Sau khi bán được một rổ cam, người bán hàng
thấy rằng số chanh còn lại gấp 4 lần số cam. Hỏi cửa hàng đó có bao nhiêu quả mỗi loại?
Giải
Tổng số cam và chanh cửa hàng có là:
8
104 + 115 + 132 + 136 + 148 + 635 (quả)
Khi bán đi một rổ cam thì số chanh còn lại gấp 4 lần số cam nên tổng số chanh và cam còn lại phải chia
hết cho 5.
Tổng số quả là số chia hết cho 5 (635 : 5) ; số quả còn lại sau khi bán là số chia hết cho 5 (vì chanh gấp 4
lần cam nên tổng số quả còn lại gấp 5 lần cam) nên rổ cam bán đi có số quả là số chia hết cho 5 . Trong 5
rổ chỉ có một rổ có số quả chia hết cho 5 . Vậy rổ cam bán đi là rổ 115 quả.
Số quả còn lại là: 635 - 115 = 520 (quả)
Ta có sơ đồ số quả còn lại :
Cam :
520 quả
Chanh :
Theo sơ đồ Tổng số phần bằng nhau là: 1 + 4 = 5 (phần)
Số cam còn lại là : 520 : 5 = 1 0 4 (quả)
Số cam lúc đầu là : 115 + 104 = 219 (quả)
Số chanh lúc đầu là: 635 - 219 = 416 (quả)

Đáp số : 219 quả ; 416 quả.
C. Bài tập tự làm
Bài 1: Cho 4 chữ số 0; 1; 5 và 8. Hãy thiết lập các số có 3 chữ số khác nhau thoả mãn điều kiện:
a, Chia hết cho 6 b, Chia hết cho 15
Bài 2:Hãy xác định các chữ số a, b để khi thay vào số 6a49b ta được sốchia hết cho:
a, 2; 5 và 9 b, 2 và 9
Bài 3: Cho a = 5x1y. Hãy thay x, y bằng những chữ số thích hợp để được một số có 4 chữ số khác nhau
chia hết cho 2; 3 và chia cho 5 dư 4.
Bài 4: Viết:
a, Số lớn nhất có hai chữ số và là số chia hết cho 5
b, Số nhỏ nhất có ba chữ số và là số không chia hết cho 5
c, Số lớn nhất có ba chữ số và là số chia hết cho 5.
Bài 5: Tìm tất cả các số chẵn có ba chữ số mà khi chia mỗi số đó cho 9 ta được thương là số có ba chữ số
Bài 6: Cho ab là số tự nhiên có hai chữ số. Biết rằng ab chia hết cho 9; chia cho 5 dư 3. Tìm các chữ số a,
b.
Bài 7: cho a = x459y. Hãy tìm x, y bởi những chữ số thích hợp để khi chia a cho 2, 5 và 9 đều dư 1.
Bài 8: Trong một đợt trồng cây, số cây lớp 5 A trồng được bằng số cây lớp 5 B trồng. Tính số cây mỗi
lớp trồng, biết tổng số cây của hai lớp trồng được là một số chia hết cho 2; 3 và nhiều hơn 150 cây nhưng
ít hơn 200 cây.
Bài 9: Cần phải viết thêm số có hai chữ số nào vào bên phải số 1935 để được số mới chia hết cho 102?
Bài 10: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 2 dư 1, cho 3 dư 2, cho 4 dư 3, cho 5 dư 4,
cho 6 dư 5 và cho 7 dư 6.
___________________________________________________
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ QUI LUẬT CỦA DÃY SỐ
A. Lí thuyết
Một số qui luật thường gặp.
1, Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó cộng (hoặc trừ) với một số tự
nhiên.
2, Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó nhân (hoặc chia) với một số tự
nhiên q khác 0.

3, Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng của hai số hạng đứng trước nó.
4, Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với số tự nhiên d
rồi cộng với số thứ tự của số hạng ấy.
5, Số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước nhân với số thứ tự.
9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Bài tập vận dụng.
Viết tiếp ba số hạng vào dãy số sau:
a, 1, 3, 4, 7, 11, 18, . . .
b, 0, 2, 4, 6, 12, 22, …
c, 1, 2, 6, 24, …
a, Giải
Ta thấy: 4 = 1 + 3 7 = 3 + 4 11 = 4 + 7 18 = 7 + 11 . . . .
Qui luật của dãy : Mỗi số hạng (kể trừ số hạng thứ ba) bằng tổng của hai số đứng trước nó.
Ta viết được 3 số hạng tiếp theo của dãy là:
29 (29 = 11 + 18) ; 47 (47 = 18 + 29) ; 76 (76 = 29 + 47)
Ta có dãy : 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76,…
Đáp số : 1, 2, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76…
b, Giải
Ta thấy: 6 = 0 + 2 + 4 ; 12 = 2 + 4 + 6 ; 22 = 4 + 6 + 12
Qui luật của dãy : Kể từ số hạng thứ tư trở đi, mỗi số bằng tổng ba số đứng liền trước nó.
Ta viết được 3 số hạng tiếp theo của dãy là:
40 (40 = 6 + 12 + 22) ; 74 (74 = 12 + 22 + 40) ; 136 (136 = 22 + 40 + 74)
Ta có dãy : 0, 2, 43, 6, 12, 22, 40, 74, 136, …
Đáp số : 0, 2, 43, 6, 12, 22, 40, 74, 136, …
c, Giải
Ta thấy : 2 = 1 x 2 ; 6 = 2 x 3 ; 24 = 6 x 4
Qui luật của dãy : Kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số bằng tích của số hạng đứng liền trước nó nhân
với số thứ tự của số hạng ấy.
Ta viết được 3 số hạng tiếp theo của dãy là:

120 (120 = 24 x 5) ; 720 (720 = 120 x 6) ; 5040 (5040 = 720 x 7)
Ta có dãy : 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, ….
Đáp số: 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, …….
C. Bài tập tự làm
Bài 1: Viết tiếp ba số hạng sau của dãy.
a, 0, 3, 7, 12, …
b,100, 93, 85, 76, …
c, 1, 3, 3, 9, 27, …
Bài 2: Tìm số hạng đầu tiên của các dãy sau:
a, …, 17, 19, 21.
b, …,64, 81, 1000
biết rằng mỗi dãy có 10 số hạng.
Bài 3: Em hãy cho biết:
a, Các số 50 và 133 có thuộc dãy90; 95; 100; …hay không?
b, Số 1996 thuộc dãy 2, 5, 8, 11, …hay không?
c, Số nào trong các số 666, 1000, 9999, thuộc dãy 3, 6, 12, 24,
d, Cho dãy số 1, 4, 7, 10, 13, ….
Số 1996 có thuộc dãy trên hay không?
Giải thích tại sao?
Bài 4: a, Cho dãy số 11, 14, 17, …
Số hạng thứ 1996 là số mấy?
b, Cho dãy số 1, 3, 6, 10, … Số hạng thứ 40 của dãy là số mấy?
Bài 5: Điền các số thích hợp vào ô trống, sao cho tổng các số ở 3 ô liên tiếp đều bằng 1996:
496 996
___________________________________________________
SO SÁNH PHÂN SỐ
10
A. Lí thuyết
Một số cách so sánh phân số.
1, So sánh hai phân số cùng mẫu số.

Trong hai phân số có cùng mẫu số, phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn và ngược lại. Hai
phân số có tử số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.
2, So sánh hai phân số cùng tử số
Trong hai phân số có cùng tử số, phân số nào có mẫu số lớn hơn thì phân số đó bé hơn và ngược lại. Hai
phân số có mẫu số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.
3, So sánh với 1
Phân số có tử số lớn hơn mẫu số thì phân số đó lớn hơn 1 và ngược lại.Phân số có tử số bằng mẫu số thì
phân số đó bằng 1.
4, So sánh “phần bù” đơn vị của hai phân số.
Trong hai phân số, phân số nào có phần bù đơn vị lớn hơn thì phân số đó bé hơn và ngược lại.
Ví dụ : So sánh hai phân số và
Giải
Ta thấy : 1 - = ; 1 - =
Vì > nên <
Đáp số: <
(Thường dùng khi hiệu m/ số và tử số của hai PS bằng nhau hoặc chia hết cho nhau)
5, So sánh “phần hơn” đơn vị của hai phân số
Trong hai phân số, phân số nào có “phần hơn” đơn vị lớn hơn thì phân số đó lớn hơn và ngược lại.
Ví dụ : So sánh hai phân số và
Giải
Ta thấy : - 1 = - 1 =
Vì > nên >
Đáp số: >
(Thường dùng khi hiệu tử số và m/ số của hai PS bằng nhau hoặc chia hết cho nhau)
6, Đưa về hỗn số để so sánh.
Trong hai hỗn số, hỗn số nào có phần nguyên lớn hơn thì hỗn số đó lớn hơn và ngược lại; nếu phần
nguyên bằng nhau thì hỗn số nào có phần phần phân số bé hơn 1 lớn hơn thì hỗn số đó lớn hơn.
Ví dụ: a, So sánh hai phân số và
Giải
Ta thấy : = 4 và = 3

Vì 4 > 3 nên 4 > 3 . Vậy >
Đáp số: và
b, So sánh hai phân số và
Giải
Ta thấy: = 3 và = 3
Vì < nên 3 < 3 . Vậy <
Đáp số: <
(Thường dùng khi các phân số khi đưa về hỗn số có sự chênh lệch về phần nguyên hoặc phần nguyên
bằng nhau nhưng phần phân số có các tử số hoặc các mẫu số bằng nhau hay chia hết cho nhau)
7, So sánh hai phân số qua phân số trung gian.
Phân số trung gian là phân số nằm giữa, lớn hơn PS này nhưng bé hơn phân số kia
< và < thì < và ngược lại.
Ví dụ: So sánh hai phân số và
Giải
Ta thấy: < mà < . Vậy <
Hoặc < mà < . Vậy <
Đáp số: <
11
(Thường dùng khi tử số của phân số A bé hơn tử số của phân số B nhưng mẫu số của phân số A lại lớn
hơn mẫu số của phân số B và ngược lại. Phân số trung gian trong trường hợp đó chính là phân số có tử số
của phân số A và mẫu số của phân số B hoặc mẫu số của phân số A và tử số của phân số B)
8, Rút gọn rồi so sánh.
Rút gọn, đưa hai phân số về cùng tử số hoặc cùng mẫu số để so sánh.
Ví dụ: So sánh hai phân số và
Giải
Ta thấy : = = =
Vì > nên >
Đáp số: >
9, Nhân với phân số nghịch đảo.
A x C > B x C thì A > B

Mục đích của việc nhân với phân số nghịch đảo là để đưa một giá trị về bằng 1 và giá trị còn lại sẽ lớn
hơn hoặc bé hơn 1.
Ví dụ: So sánh hai phân số và
Giải
Ta thấy: x = 1 ; x =
Vì 1 < nên <
Đáp số: <
10, Nghịch đảo phân số.
Phân số nào khi nghịch đảo có giá trị lớn hơn thì phân số đó bé hơn.
Ví dụ: So sánh hai phân số và
Giải
Nghịch đảo phân số ta được phân số = 1 = 1
Nghịch đảo phân số ta được phân số = 1
Vì > nên 1 > 1 hay >
> nên <
Đáp số: <
11, So sánh thương tìm được.
Ví dụ: So sánh hai phân số và
Giải
Ta thấy : = 0,04 ; = 0,15
Vì 0,04 < 0,15 nên <
Đáp số: <
12, So sánh bằng sơ đồ đoạn thẳng.
Biểu thị giá trị các phân số trên sơ đồ đoạn thẳng rồi so sánh.
Ví dụ: So sánh hai phân số và
Giải
Ta biểu thị giá trị hai phân số trên sơ đồ đoạn thẳng như sau:
5/8

7/10

Nhìn vào sơ đồ ta thấy phân số <
Đáp số: <
13, So sánh số lần gấp của tử số và mẫu số.
Ví dụ: So sánh hai phân số và
Giải
12
Ta thấy: 14 : 2 = 7 30 : 5 = 6
Vì 7 > 6 nên >
Đáp số: >
(Các cách thường vận dụng là so sánh phần bù đơn vị, phần hơn đơn vị, so sánh qua phân số trung gian,
so sánh hai phân số cùng tử số, cùng mẫu số)
B. Bài tập tự làm.
Bài 1: Hãy so sánh các cặp phân số sau bằng cách nhanh nhất.
a, và b, và c, và
d, và e, và g, và
h, và i, và k, và
l, và m, và n, và
Bài 2: Hãy chứng tỏ các phân số sau bằng nhau.
a, và b, và c, và
Bài 3: Hãy xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần:
; ; ; ;
Bài 4: Không qui đồng mẫu số, hãy so sánh các phân số sau bằng cách thuận tiện nhất rồi sắp xếp chúng
theo thứ tự tăng dần:
a, ; ; ;
b, ; ; ;
Bài 5: Tìm phân số nhỏ nhất trong các phân số sau.
a, ; ; ; ;
b, ; ; ; ;
Bài 6: Hãy tìm 5 phân số nằm giữa hai phân số
a, và b, và

____________________________________________________
DẠNG TOÁN TÌM SỐ TRUNG BÌNH CỘNG
A. Lí thuyết
1, Trung bình cộng của ba số a, b, c là (a + b + c) : 3
2, Trung bình cộng của 3 số là a đơn vị thì tổng của 3 số bằng a x 3
3, Trong 3 số, nếu một số bằng trung bình cộng của cả 3 số thì sẽ bằng trung bình cộng của hai số
còn lại .
4, Trong 3 số, nếu một số bằng trung bình cộng của hai số còn lại thì sẽ bằng trung bình cộng của
cả ba số đó .
5, Cho 3 số a, b, c . Nếu c vượt mức trung bình cộng cả cả ba số là d đơn vị thì trung bình cộng của
chúng bằng (a + b + d) : 2.
6, Cho 3 số a, b, c . Nếu c kém mức trung bình cộng cả cả ba số là d đơn vị thì trung bình cộng của
chúng bằng (a + b - d) : 2.
7, Trong dãy cách đều, trung bình cộng của dãy chính bằng trung bình cộng của các cặp số ở hai
đầu dãy lại và nếu số lượng số lẻ thì trung bình cộng của dãy cũng chính bằng giá trị số đứng giữa.
B. Bài tập vận dụng.
Bài 1: Trung bình cộng của hai số là 13. Nếu xét thêm một số thứ ba nữa thì trung bình cộng của ba số là
11. Tìm số thứ ba.
Giải
Tổng của hai số đầu là : 13 x 2 = 26
Tổng của cả ba số là: 11 x 3 = 33
Số thứ ba là: 33 - 26 = 7
Đáp số: 7
Bài 2: Tìm 5 số lẻ liên tiếp biết tổng của chúng là 105
Giải
Trung bình cộng của 5 số lẻ liên tiếp hay giá trị số đứng ở giữa là:
105 : 5 = 21
13
Hai số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị. Hai số lẻ đứng trước 21 là 19 và 17 còn hai số lẻ đứng sau 21
là 23 và 25

Vậy 5 số lẻ cần tìm là: 17 ; 19 ; 21 ; 23 ; 25
Đáp số: 17 ; 19 ; 21 ; 23 ; 25
Bài 3:Lân có 20 hòn bi. Long có số bi bằng nữa số bi của Lân. Quí có số bi nhiều hơn trung bình cộng
của cả ba bạn là 6 hòn bi. Hỏi quí có bao nhiêu hòn bi?
Giải
Số bi của Long là: 20 : 2 = 10 (hòn bi)
Tổng số bi của Long và Lân là: 20 + 10 = 30 (hòn bi)
Ta có sơ đồ:
Số bi của Long và Lân (30 bi) Quí ? bi
6bi
Trung bình cộng

Nhìn vào sơ đồ ta thấy, trung bình cộng số bi của ba bạn là:
(30 + 6) : 2 = 18 (hòn bi)
Số bi Quí có là: 18 + 6 = 24 (hòn bi)
Đáp số: 24 hòn bi.
Bài 4: Có ba con gà, vịt và ngan. Hai con gà và vịt nặng tất cả 5 kg. Hai con gà và ngan nặng tất cả là 9
kg. Hai con ngan và vịt nặng tất cả là 10 kg. Hỏi trung bình mỗi con nặng tất cả mấy ki lô gam?
Giải
Theo bài ra ta có: gà + vịt = 5 kg
gà + ngan = 9 kg
ngan + vịt = 10 kg
2 x (gà + ngan + vịt) = 24 kg
Vậy ba con ngan , gà , vịt nặng tất cả là:
24 : 2 = 12 (kg)
Trung bình mỗi con nặng số kg là: 12 : 3 = 4 (kg)
Đáp số: 4 kg
C. Bài tập tự làm
Bài 1: Trung bình cộng của cả ba số là 35. Tìm ba số đó, biết rằng số thứ nhất gấp đôI số thứ hai và số
thứ hai gấp đôI số thứ ba.

Bài 2: Tìm sáu số chẵn liên tiếp biết tổng của chúng là 90.
Bài 3: Trung bình cộng số tuổi của hai anh emít hơn tuổi anh là 4 tuổi. Hỏi anh hơn em mấy tuổi.
Bài 4: Tuổi trung bình của một đội bóng đá (11 người) là 22. Nếu không kể đội trưởng thì tuổi trung bình
của 10 cầu thủ còn lại chỉ là 21. Tính tuổi của đội trưởng.
Bài 5: Lớp 4A có 40 học sinh. Lớp 4B có 36 học sinh. Lớp 4C có số học sinh ít hơn trung bình cộng của
cả ba lớp là 2 bạn. Tính số học sinh lớp 4C.
Bài 6: Có ba xe chở gạo. Xe thứ nhất chở 4,9 tấn, xe thứ hai chở 4,3 tấn, xe thứ ba chở kém mức trung
bình của cả ba xe là 0,2 tấn. Hỏi:
a, Mức trung bình của cả ba xe?
b, Xe thứ ba chở bao nhiêu?
___________________________________________________
DẠNG TOÁN TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI SỐ ĐÓ
A. Lí thuyết
SB = (T - H) : 2 SL = SB + H hoặc SL = T - SB
SL = (T + H) : 2 SB = SL - H hoặc SB = T - SL
B. Bài tập vận dụng
14
Bài 1: Tổng của hai số chẵn là 106. Tìm hai số chẵn đó biết rằng giữa chúng còn có 5 số lẻ nữa.
Giải
Giữa hai số chẵn còn có 5 số lẻ nên dãy có 6 số chẵn, số chẵn đầu cách số chẵn cuối 5 khoảng cách 2 đơn
vị hay hiệu của chúng bằng:
2 x 5 = 10
Số chẵn bé là: (106 - 10) : 2 = 48
Số chẵn lớn là: 106 - 48 = 58
(hoặc 48 + 10 = 58)
Đáp số: 48 ; 58
Bài 2: Trong một phép trừ biết tổng của số bị trừ, số trừ và hiệu bằng 6542 và hiệu lớn hơn số trừ 684.
Tìm số bị trừ, số trừ và hiệu.
Giải
Ta thấy: Tổng của số bị trừ, số trừ và hiệu chính bằng hai lần số bị trừ.

Vậy số bị trừ hay tổng của hiệu và số trừ bằng : 6542 : 2 = 3271
Số trừ bằng: (3271 - 684) : = 1293,5
Hiệu bằng : 1293 + 684 = 1977,5
Đáp số: 3271 ; 1293,5 ; 1977,5
Bài 3: Mẹ sinh ra Tâm lúc mẹ 26 tuổi. Đến năm 2000 thì tổng số tuổi của hai mẹ con là 42. Hỏi mẹ sinh
ra Tâm vào năm nào?
Giải
Mẹ sinh Tâm lúc mẹ 26 tuổi tức mẹ hơn Tâm 26 tuổi.
Đến năm 2000 thì tuổi mẹ là: (42 + 26) : 2 = 34 (Tuổi)
Mẹ sinh Tâm cách đây số năm : 34 - 26 = 8 (năm)
Vậy mẹ sinh Tâm năm 2000 - 8 = 1992
Đáp số: Năm 1992.
Bài 4: Tổng của ba số là 1999. Số thứ nhất lớn hơn tổng của hai số kia 67 đơn vị. Số thứ hai lớn hơn số
thứ ba 48 đơn vị. Tìm ba số đó.
Giải
Theo bài ra ta có sơ đồ:
67
Số thứ nhất:
1999
Tổng hai số kia:
Số thứ nhất là : (1999 + 67) : 2 = 1033
Tổng hai số kia là: 1999 - 1033 = 966
Số thứ hai là : (966 + 48) : 2 = 507
Số thứ ba là : 459 - 48 = 459
Đáp số: 1033 ; 507 ; 459
Bài 5: Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 96 m. Biết rằng nếu tăng chiều rộng thêm 4,5 m và giảm
chiều dài đi 5,5 m thì mảnh đất đó trở thành hình vuông. Hãy tính diện tích mảnh đất đó.
Giải
Khi tăng chiều rộng thêm 4,5 m và giảm chiều dài đi 5,5 m thì chiều dài bằng chiều rộng. Vậy lúc đầu
chiều dài hơn chiều rộng số m là :

4,5 + 5,5 = 10 (m)
Nửa chu vi hay tổng chiều dài và chiều rộng mảnh đất là :
96 : 2 = 48 (m)
Chiều rộng mảnh đất là : (48 - 10) : 19 (m)
Chiều dài mảnh đất là: 19 + 10 = 29 (m)
Diện tích mảnh đất là : 19 x 29 = 511 (m
2
)
Đáp số: 511 m
2
C. Bài tập tự làm
15
Bài 1: Tổng của hai số lẻ liên tiếp là 284. Tìm hai số đó.
Bài 2: Hiện nay mẹ 31 tuổi. Sau 20 năm nữa tuổi mẹ sẽ bằng tổng số tuổi của con trai và con gái. Tính
tuổi hiện nay của mỗi con, biết rằng con trai kém con gái 3 tuổi.
Bài 3: Một mảnh vườn hình thang có diện tích 2240 m
2
, chiều cao 35 m và đáy lớn dài hơn đáy bé 34 m.
Tìm độ dài mỗi đáy.
Bài 4: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 784 m. Tính diện tích thử ruộng biết rằng khi viết thêm
chữ số 2 vào trước số đo chiều rộng thì được số đo chiều dài.
Bài 5: Cho một số có hai chữ số và tổng hai chữ số đó là 10. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì số đã
cho giảm 54 đơn vị. Tìm số đó.
Bài 6: Ngày xuân, ba bạn Huệ, Mai, Hằng đi trồng cây. Biết rằng, tổng số cây của ba bạn trồng được là
17 cây. Số cây của hai bạn Huệ và Hằng trồng được nhiều hơn số cây của Mai trồng được là 3 cây. Số
cây của Huệ trồng được bằng 2/3 số cây trồng được của Hằng. Em hãy tính xem mỗi bạn trồng bao nhiêu
cây?
Bài 7: Hai bể dầu chứa tất cả 3980 lít dầu. Nếu người ta chuyển 5000 l dầu từ bể thứ nhất sang bể thứ hai
thì lúc đó bể thứ hai sẽ nhiều hơn bể thứ nhất 160 l dầu. Hãy tính xem lúc đầu mỗi bể chứa bao nhiêu l
dầu?

Bài 8: Khối lớp Bốn của nhà trường có bốn lớp với tổng số học sinh là 174 bạn. Lớp 4A nhiều hơn lớp
4B là 16 bạn, lớp 4C ít hơn lớp 4A là 10 bạn, lớp 4D và lớp 4B có số học sinh bằng nhau. Hãy tính xem
mỗi lớp đó có bao nhiêu học sinh?
Bài 9: Tìm hai số biết rằng 5/8 tổng hai số lớn hơn hiệu của chúng là 16 đơn vị. Nửa tổng hai số phải tìm
lớn gấp 8 lần nửa hiệu của chúng.
Bài 10: Tổng của hai số bằng 3618. Nếu viết thêm chữ số 2 vào bên trái số bé thì được số lớn. Tìm hai số
đã cho lúc đầu.
____________________________________________________
DẠNGTOÁN TÌM CÁCSỐ KHI BIẾT TỔNG(HIỆU) VÀ TỈ SỐ CỦA CHÚNG
A. Lí thuyết.
Các bước giải.
Bước 1: Vẽ sơ đồ
Bước 2: Tìm tổng (hiệu) số phần bằng nhau.
Bước 3: Tìm giá trị một phần = tổng (hiệu) : tổng (hiệu) số phần bằng nhau.
Bước 4: Tìm các giá trị của bài toán.
Số lớn = giá trị 1 phần x số phần của số lớn.
Số bé = giá trị 1 phần x số phần của số bé (hoặc lấy tổng - số lớn)
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Tổng của hai số bằng 0,25 . Thương của hai số cũng bằng 0,25 . Tìm hai số đó.
Giải
0,25 =
Theo bài ra ta có sơ đồ bài toán
Số thứ nhất :
0,25
Số thứ hai:
Theo sơ đồ, tổng số phần bằng nhau là: 1 + 4 = 5 (phần)
Số thứ nhất là: 0,25 : 5 x 1 = 0,05
Số thứ hai là: 0,05 x 4 = 0,2
Đáp số: 0,05 ; 0,2
16

Bài 2: Một người có số gạo tẻ nhiều hơn số gạo nếp là 25 kg. Người đó đã bán 10,5 kg gạo mỗi loại
nên số gạo nếp còn lại bằng số gạo tẻ còn lại. Hỏi lúc đầu người đó có tất cả bao nhiêu kg gạo?
Giải
Khi bán 10,5 kg số gạo mỗi loại thì số gạo tẻ vẫn hơn số gạo nếp 25 kg.
Ta có sơ đồ bài toán: Số gạo nếp: 25 kg


Số gạo tẻ:
Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là: 7 - 3 = 4 (phần)
Số gạo nếp còn lại sau khi bán là: 25 : (7 - 3 ) x 3 = 18,75 (kg)
Số gạo nếp người đó có lúc đầu là: 18,75 + 10,5 = 29,25 (kg)
Số gạo tẻ người đó có lúc đầu là: 29,25 + 25 = 54,25 (kg)
Lúc đầu người đó có tất cả số kg gạo là: 29,25 + 54, 25 = 83,5 (kg)
Đáp số : 83,5 kg
Bài 3: Kho I chứa 35,4 tấn ngô, kho II chứa 27,8 tấn ngô. Người ta vừa chuyển một số tấn ngô từ kho I
sang kho II nên lượng ngô ở kho I bằng lượng ngô ở kho II. Hỏi người ta đã chuyển bao nhiêu tấn ngô từ
kho I sang kho II?
Giải
Tổng số ngô ở kho I và kho II là: 35,4 + 27,8 = 63,2 (tấn)
Khi chuyển một số tấn ngô ở kho I sang kho II thì tổng số ngô ở cả hai kho không thay đổi hay vẫn bằng
63,2 tấn.
Ta có sơ đồ số ngô sau khi chuyển :
Kho I :
63,2 tấn
Kho II :
Theo sơ đồ, tổng số phần bằng nhau là : 2 + 3 = 5 (phần)
Số ngô ở kho I sau khi chuyển sang ở kho II là : 63,2 : (2 + 3) x 2 = 25,28 (tấn)
Ngưòi ta đã chuyển số tấn ngô từ kho I sang kho II là: 35,4 - 25,8 = 9,6 (tấn)
Đáp số: 9,6 tấn
Bài 4: Lừa và ngựa cùng nhau thồ hàng, các bao hàng đều nặng bằng nhau. Lừa kêu ca là mang nặng.

Ngựa bèn nói: “ Bạn còn kêu nỗi gì? Nếu tôi cho bớt bạn 1 bao hàng thì chúng ta mới mang nặng ngang
nhau. Còn nếu bạn cho bớt tôi 1 bao hàng thì số bao hàng của tôi sẽ gấp đôi của bạn. “ Tính xem mỗi con
mang mấy bao hàng?
Giải
Ngựa cho Lừa 1 bao thì số bao chúng mang bằng nhau. Vậy số bao lúc đầu Ngựa mang nhiều hơn Lừa
là : 1 + 1 = 2 (bao)
Nếu Ngựa bớt sang cho Lừa 1 bao thì số bao Ngựa mang nhiều hơn Lừa là:
2 + 1 x 2 = 4 (bao)
Theo bài ra, ta có sơ đồ:
Lừa:
4 bao
Ngựa :
Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là: 2 - 1 = 1 (phần)
Lúc đầu, Ngựa mang số bao hàng là: 4 : 1 x 2 - 1 = 7 (bao)
Lúc đầu, Lừa mang số bao hàng là: 7 - 2 = 5 (bao)
Đáp số : 5 bao ; 7 bao
17
Bài 5: số kẹo của Dũng thì bằng số kẹo của Hùng. Hai bạn có tất cả 38 cáikẹo. Tính số kẹo của mỗi
bạn?
Giải
= ; =
Hay số kẹo của Dũng = số kẹo của Hùng
Ta có sơ đồ bài toán:
Dũng :
38 kẹo
Hùng :

Theo sơ đồ, tổng số phần bằng nhau là: 9 + 10 = 19 (phần)
Dũng có số kẹo là : 38 : 19 x 10 = 20 (kẹo)
Hùng có số kẹo là : 38 - 20 = 18 (kẹo)

Đáp số : 20 kẹo ; 18 kẹo.
C. Bài tập tự làm.
Bài 1: Hai tấm vải xanh và đỏ dài tất cả 68 m. Nếu cắt bớt tấm vải xanh và tấm vải đỏ thì phần còn lại
của hai tấm vải dài bằng nhau. Tính chiều dài của mỗi tấm vải.
Bài 2: Tuổi của Tuấn (tính theo số ngày) thì bằng tuổi của bố (tính theo số tuần). Còn tuổi của Tuấn (tính
theo số tháng) thì bằng tuổi của ông (tính theo số năm). Biết rằng nếu tính theo số năm như bình thường
thì ông hơn bố 30 tuổi. Tính số tuổi bình thường của mỗi người.
Bài 3: Cho 4 số có tổng là 45. Nếu đem số thứ nhất cộng với 2, số thứ hai trừ đi 2, số thứ ba nhân với 2,
số thứ tư chia cho 2 thì được bốn kết quả bằng nhau. Tìm bốn số đã cho.
Bài 4: Vườn nhà em có số cây cam bằng 75% số cây chuối, số cây chanh bằng số cây cam. Biết rằng số
cây chuối nhiều hơn số cây chanh 33 cây, hãy tính số cây mỗi loại.
Bài 5: Lớp A và lớp B tham gia trồng cây. Ngày đầu cả hai lớp trồng được 115 cây. Ngày sau lớp A trồng
được 20 cây, lớp B trồng được 15 cây. Sau hai ngày trồng cây, số cây của lớp A đã trồng bằng số cây
của lớp B đã trồng. Hỏi mỗi lớp đã trồng được bao nhiêu cây?
Bài 6: Ba khu vực dân cư A, B và C có tổng số dân là 12 000 người. Hãy tính số dân mỗi khu vực, biết
rằng số dân khu vực A bằng 50% số dân khu vực B và bằng 40% số dân khu vực C.
Bài 7: Cho phân số . Hãy tìm một số nào đó sao cho khi tử số trừ đi số đó và mẫu số cộng với số đó
thì được phân số mới có giá trị bằng
Bài 8: Tổng số học sinh các khối lớp 1,2,3 của một trường Tiểu học là 430 em. Biết tỉ số giữa học sinh
khối1 và số học sinh khối 2 là ; Tỉ số giữa học sinh khối 2 và khối3 là . Hỏi mỗi khối có bao nhiêu
học sinh
Bài 9: Hiệu hai sốtự nhiên bằng 1996. Nếu số bị trừ cộng thêm 24 thì được số mới gấp 5 lần số trừ. Tìm
hai số đã cho.
Bài 10: Tìm hai số, biết tổng của chúng bằng 72 và số thứ nhất bé hơn số thứ hai 1 đơn vị.
____________________________________________________
DẠNG TOÁN TÌM HAI SỐ KHI BIẾT HAI TỈ SỐ
A. Lí thuyết.
Đối với dạng toán này cần tìm giá trị không đổi của một đại lượng trọng bài toán, biểu thị các đại lượng
còn lại qua giá trị không đổi đó.
B. Bài tập vận dụng.

Bài 1: Một giá sách gồm hai ngăn: số sách ngăn dưới bằng số sách ngăn trên. Nếu xếp thêm 15 cuốn
sách mới mua vào ngăn trên thì lúc đó số sách ngăn dưới bằng số sách ngăn trên. Hỏi lúc đầu ở mỗi ngăn
có bao nhiêu cuốn sách?
Giải
Lúc đầu số sách ngăn dưói bằng số sách ngăn trên hay số sách ngăn trên bằng số sách ngăn dưới.
18
Sau khi xếp thêm 15 quyển vào ngăn trên thì số sách ngăn dưới bằng số sách ngăn trên hay số sách
ngăn trên bằng số sách ngăn dưới.
Phân số chỉ 15 quyển sách là: - = (số sách ngăn dưới)
Lúc đầu ngăn dưới có số sách là: 15 : = 180 (quyển)
Lúc đầu ngăn trên có số sách là: 180 x = 150 (quyển)
Đáp số: 180 quyển ; 150 quyển
(Khi thêm 15 quyển vào ngăn trên thì số sách ngăn trên thay đổi, số sách ngăn dưới không thay đổi; ta
biểu thị số sách ngăn trên qua số sách ngăn dưới).
Bài 2: Cuối học kì I, lớp 5A có số học sinh giỏi bằng số học sinh còn lại của lớp. Cuối năm học, lớp
5A có thêm 4 học sinh giỏi nên tổng số học sinh giỏi bằng số học sinh còn lại của lớp. Hỏi lớp 5A có tất
cả bao nhiêu học sinh?
Giải
Cuối kì I, lớp 5A có số học sinh giỏi bằng số học sinh còn lại của lớp tức bằng tổng số học sinh cả lớp.
Cuối năm học, lớp 5A có số học sinh giỏi bằng số học sinh còn lại của lớp tức bằng tổng số học sinh
cả lớp.
Phân số chỉ 4 học sinh giỏi là: - = (số học sinh cả lớp)
Lớp 5A có số học sinh là: 4 : = 40 (em)
Đáp số : 40 em
Bài 3: Hiện nay tuổi cha gấp 4 lần tuổi con. Trước đây 6 năm, tuổi cha gấp 13 lần tuổi con lúc đó. Tính
tuổi cha hiện nay.
Giải
Hiệu tuổi hai cha con hiện nay là : 4 - 1 = 3 (lần tuổi con)
Vậy tuổi con bằng hiệu tuổi hai cha con
Cách đây 6 năm, hiệu tuổi hai cha con là : 13 - 1 = 12 (lần tuổi con)

Hay tuổi con bằng hiệu tuổi hai cha con.
Vì hiệu tuổi hai cha con không đổi nên 6 năm ứng với :
- = (hiệu tuổi hai cha con)
Hiệu tuổi hai cha con là: 6 : = 24 (tuổi)
Tuổi con hiện nay là: 24 x = 8 (tuổi)
Tuổi cha hiện nay là: 8 x 4 = 32 (tuổi)
Đáp số: 42 tuổi
Cách 2: Giải
Hiệu tuổi hai cha con hiện nay là : 4 - 1 = 3 (lần tuổi con)
Cách đây 6 năm, hiệu tuổi hai cha con là : 13 - 1 = 12 (lần tuổi con)
Vì hiệu tuổi hai cha con không thay đổi nên 3 lần tuổi con hiện nay = 12 lần tuổi con cách đây 6 năm.
Hay tuổi con hiện nay = 4 lần tuổi con cách đây 6 năm.
Ta có sơ đồ bài toán:
Tuổi con cách đây 6 năm :
6 tuổi

Tuổi con hiện nay :
Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là: 4 - 1 = 3 (phần)
Tuổi con hiện nay là: 6 : 3 x 4 = 8 (tuổi)
Tuổi cha hiện nay là: 8 x 4 = 32 (tuổi)
Đáp số: 32 tuổi
(Đối với cách giảI 2, ta đã qui bài toán về dạng toán “tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó. HS có
thể giải theo các cách khác)
C. Bài tập tự làm
Bài 1: Hiện nay tuổi cha gấp 4 lần tuổi con. Sau 20 năm nữa tuổi cha sẽ gấp đôI tuổi con. Tính tuổi mỗi
người hiện nay.
19
Bài 2: Trong một buổi sinh hoạt văn nghệ của lớp 5A, số bạn lên biểu diễn bằng số bạn ngồi xem. Sau
đó, trong số bạn ngồi xem có 1 bạn lên tham gia nhóm biểu diễn nên lúc đó số bạn biểu diễn bằng số
bạn ngồi xem còn lại. Hãy tính số bạn ngồi xem lúc sau.

Bài 3: Cho hai số tự nhiên mà số thứ nhất gấp 4 lần số thứ hai. Nếu số thứ nhất thêm 30 đơn vị, số thứ hai
bớt đi 4 đơn vị thì số thứ nhất gấp 6 lần số thứ hai. Tìm hai số đã cho.
Bài 4: Trước đây, số dân phường A bằng số dân phường B. Hiện nay, do số dânphường A đã tăng thêm
8000 người và phường B tăng thêm 4000 người nên số dân phường A bằng số dân phường B. Tính số
dân hiện nay của mỗi phường.
Bài 5: Trong một nhà máy có số nam công nhân bằng 75% số nữ công nhân. Nếu chuyển 56 nữ công
nhân đi nhà máy khác thì số nam bằng 90% só nữ còn lại. Hỏi lúc đầu nhà máy có bao nhiêu công nhân?
____________________________________________________
DẠNG TOÁN TÌM HAI SỐ KHI BIẾT HAI HIỆU SỐ
A. Lí thuyết.
Các bước giải
- Xác định hiệu thứ nhất
- Xác định hiệu thứ hai
- Tìm thương hai hiệu để xác định một số cần tìm.
- Thưc hiện các phép tính tiếp theo để tìm số thứ hai.
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Có một số kẹo đem chia cho một số trẻ em mẫu giáo. Nếu mỗi em được 3 cái thì còn thừa 2 cái;
nếu mỗi em được 4 cái thì còn thiếu 3 cái mới đủ chia. Hỏi có bao nhiêu trẻ em, có bao nhiêu cái kẹo?
Giải
Ta có sơ đồ bài toán.

Số kẹo đủ chia cho 1 em 3 cái 2 cái
3 cái


Số kẹo đủ chia cho 1 em 4 cái
Nhìn vào sơ đồ ta thấy,số kẹo đủ chia mỗi em 4 cái nhiều hơn số kẹo đủ chia mỗi em 3 cái là: 3 + 2 = 5
(kẹo)
Mỗi em được chia 4 cái nhiều hơn mỗi em được chia 3 cái số kẹo là:
4 - 3 = 1 (kẹo)

Số trẻ em mẫu giáo được chia kẹo là: 5 : 1 = 5 (em)
Số kẹo đem chia là : 5 x 3 + 2 = 17 (kẹo)
Đáp số: 5 em ; 17 kẹo.
Bài 2: Một tổ xe có một số xe tải. Người tổ trưởng tính rằng: nếu mỗi xe chở 20 bao gạo thì còn thiếu một
xe; nếu mỗi xe chở 30 bao gạo thì lại thừa một xe. Hỏi:
a, Tổ xe có mấy xe tải và định chở mấy bao gạo?
b, Nếu muốn sử dụng tất cả số xe đó chởt hết gạo thì phải bố trí mấy xe chở 20 bao gạo và mấy xe chở 30
bao gạo?
Giải
a, Mỗi xe chở 20 bao gạo thì còn thiếu 1 xe tức còn thừa 20 bao gạo. Mỗi xe chở 30 bao gạo thì còn thừa
1 xe tức phải thêm 30 bao gạo mới dùng hết xe để chở.
Mỗi xe chở 20 bao ít hơn mỗi xe ít hơn 30 bao số bao là: 30 - 20 = 10 (bao)
Số bao đủ chở mỗi xe 20 bao ít hơn số bao đủ chở mỗi xe 30 bao là:
20 + 30 = 50 (bao)
Tổ đó có số xe tải là: 50 : 10 = 5 (xe)
Tổ dự định chở số bao là: 5 x 20 + 20 = 120 (bao)
b, Nếu xếp mỗi xe 20 bao thì còn thừa số bao gạo là:
20
120 - 20 x 5 = 20 (bao)
Mỗi bao chở 30 bao hơn mỗi bao chở 20 bao số bao là:
30 - 20 = 10 (bao)
Số xe chở 30 bao gạo là: 20 : 10 = 2 (xe)
Số xe chở 20 bao gạo là: 5 - 2 = 3 (xe)
Đáp số: a, 5 xe ; 120 bao
b, 2 xe ; 3 xe.
C. Bài tập tự làm.
Bài 1: Có một số l dầu và một số can. Nếu mỗi can chứa 5 l dầu thì còn thừa 5 l; nếu mỗi can chứa 6 l dầu
thì có một can để không. Hỏi có bao nhiêu can, bao nhiêu l dầu?
Bài 2: Nhà trưòng giao cho một số lớp trồng cả hai loại cây là cây thông và cây bạch đàn. Số lượng cây
cả hai loại đều bằng nhau. Thầy Hiệu phó tính rằng: nếu mỗi lớp trồng 35 cây thông thì còn thừa 20 cây

thông; nếu mỗi lớp trồng 40 cây bạch đàn thì còn thiếu 20 cây bạch đàn. Hỏi nhà trường đã giao tất cả
bao nhiêu cây thông và cây bạch đàn cho mấy lớp đem trồng, biết toàn bộ số cây đó đã được trồng hết.
Bài 3: Có 17 xe vừa xe tắc xi vừa xe lam. Xe tắc xi có 4 bánh, xe lam có 3 bánh. Hỏi có mấy xe tắc xi,
mấy xe lam?
Bài 4: Vừa gà vừa chó
Bó lại cho tròn
Ba mươi sáu con
Một trăm chân chẵn.
Hỏi có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con chó?
Bài 5: Hai người thợ làm chung nhau một công việc. Nếu người thứ nhất làm một mình thì phải 16 giờ
mới xong công việc đó. Nếu người thứ hai làm một mình thì phải 24 giờ mới xong. Đầu tiên, người thứ
nhất làm một thời gian rồi giao người thứ hai làm nốt chỗ còn lại. Tổng số thời gian hai người làm là 19
giờ.
a, Hỏi mỗi người đã làm mấy giờ?
b, Tổng số tiền công được nhận là 3200 đồng. Hỏi mỗi người được nhận bao nhiêu tiền công?
Bài 6: Có 16,3 kg gạo đóng vào hai loại túi. Một loại chữa 2,5 kg, một loại chứa 4,8 kg mỗi túi. Tổng số
túi là 13. Hỏi mỗi loại có bao nhiêu túi?
Bài 7: Một nhà hàng mua 200 con vừa cua vừa ếch. Biết rằng số chân ếch nhiều hơn số chân cua là 240 .
Hỏi số ếch và số cua? (coi càng cua cũng là chân)
_____________________________________________________
DẠNG TOÁN THỰC HIỆN CÔNG VIỆC CHUNG
A. Lí thuyết.
- Biểu thị công việc như là một đơn vị, từ đó có thể biểu thị một công việc thành nhiều phần bằng nhau
(phù hợp với điều kiện của các bài toán) để thuận tiện cho việc tính toán.
- Sử dụng phân số được coi là thương của phép chia hai số tự nhiên.
- Cần phải biết chuyển đổi và sử dụng các đơn vị đo thời gian thích hợp cho việc tính toán.
B. Bài tập vận dụng.
Bài 1: An và Bình nhận làm chung một công việc. Nếu một mình An làm thì sau 3 giờ sẽ xong công việc,
còn nếu Bình làm một mình thì sau 6 giờ sẽ xong việc đó. Hỏi cả hai người cùng làm thì sau mấy giờ sẽ
xong công việc đó?

Giải
Trong một giờ, An làm được số công việc là : 1 : 3 = (công việc)
Trong một giờ, Bình làm được số công việc là : 1 : 6 = (công việc)
Trong một giờ, cả hai người làm được số công việc là : + = (công việc)
Cả hai người cùng làm thì sẽ xong công việc trong thời gian:
1 : = 2 (giờ)
Đáp số: 2 giờ
Bài 2: Hai vòi nước cùng chảy vào bể nước thì sau 1 giờ 12 phút sẽ đầy bể. Nếu một mình người thứ nhất
chảy thì sau 2 giờ sẽ đầy bể. Hỏi một mình người thứ hai chảy thì sau mấy giờ sẽ đầy bể ?
21
Giải
1 giờ 12 phút = 1 giờ = giờ
Trong 1 giờ, cả hai vòi chảy được số phần bể là : 1 : = (bể)
Trong 1 giờ, vòi thứ nhất chảy được số phần bể là : 1 : 2 = (bể)
Trong 1 giờ, vòi thứ hai chảy được số phần bể là : - = (bể)
Riêng vòi thứ hai chảy thì sẽ đầy bể trong thời gian : 1 : = 3 (giờ)
Đáp số : 3 giờ
Bài 3: Kiên và Hiền cùng làm một công việc có thể hoàn thành trong 10 ngày. Sau 7 ngày cùng làm thì
Kiên nghỉ việc, còn Hiền phải làm nốt phần việc còn lại trong 9 ngày nữa. Hãy tính xem, nếu riêng mỗi
người làm thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc đó?
Giải
Trong 1 ngày, cả hai bạn làm được số công việc là: 1 : 10 = (công việc)
Trong 7 ngày, cả hai bạn làm được số công việc là: x 7 = (công việc)
Phần công việc còn lại mà Hiền làm trong 9 ngày là: 1 - = (công việc)
Trong 1 ngày, Hiền làm được số công việc là: : 9 = (công việc)
Riêng Hiền làm thì sẽ xong công việc trong thời gian: 1 : = 30 (ngày)
Trong 1 ngày, Kiên làm được số công việc là: - = (công việc)
Riêng Kiên làm thì sẽ xong công việc trong thời gian: 1 : = 15 (ngày)
Đáp số: 30 ngày ; 15 ngày
C. Bài tập tự làm.

Bài 1: Ba người thợ cùng làm một công việc. Nếu một mình người thứ nhất làm thì sau 8 giờ sẽ xong
công việc; nếu người thứ hai làm một mình thì sau 3 giờ sẽ xong việc ; nếu người thứ ba làm một mình
thì sau 6 giờ sẽ xong việc đó. Hỏi cả ba người cùng làm thì sau bao lâu sẽ xong công việc này?
Bài 2: Ba vòi nước cùng chảy vào bể thì sau 1 giờ 20 phutsex đầy bể. Nếu riêng vòi thứ nhất chảy thỉ sau
6 giờ sẽ đầy bể, riêng vòi thứ hai chảy thì sau 4 giờ sẽ đầy bể. Hỏi riêng vòi thứ ba chảy thì sau mấy giờ
sẽ đầy bể?
Bài 3: Một bể nước có hai vòi: vòi chảy nước vào bể và vòi tháo nước từ bể ra. Để chảy đầy bể thì vòi
thứ nhất phảI làm việc trong 5 giờ ; để tháo nước ra thì vòi thứ hai phảI làm việc trong 12 giờ. Lúc bể đầy
nước, người ta khoá vòi thứ nhất lại rồi mở vòi thứ hai trong 2 giờ để lấy nước ra, sau đó khoá vòi thứ
hai lại. Hỏi từ lúc đó, nếu mở vòi thứ nhất để chảy đầy bể thì cần bao nhiêu phút?
Bài 4: Một người thợ làm xong một công việc trong 9 giờ. Người thứ hai làm xong công việc đó trong 15
giờ. Lúc đầu, người thứ nhất làm việc trong một thời gian rồi nghỉ việc, sau đó người thứ hai làm nốt
phần việc còn lại. Thời gian cả hai người làm hết 11 giờ. Hỏi mỗi người đã làm mấy giờ?
BÀI TOÁN VỀ TỈ SỐ PHẦN TRĂM
A. Lí thuyết
1. Tìm tỉ số phần trăm của hai số
Bước 1 : Tìm thương của hai số
Bước 2: Lấy thương tìm được nhân nhẩm với 100 rồi ghi kí hiệu % vào bên phảI kết quả vừa tìm được.
Ví dụ : Tìm tỉ số phần trăm của 3 và 4.
Cách làm : 3 : 4 = 0,75 = 75 %
Tỉ số phần trăm của hai số có thể là số tự nhiên, có thể là số thập phân và cũng có thể là hỗn số)
Ví dụ : 7:8 = 0,875 = 87,5% ; 3 : 5 = 0,6 = 60% ; 12 : 180 = 6 % (0,06 = 6 % )
2. Tìm giá trị phần trăm của một số.
Muốn tìm giá trị phần trăm của một số ta lấy số đó chia cho 100 rồi nhân với số phần cần tìm.
Ví dụ : Một trường Tiểu học có 600 học sinh, trong đó số học sinh nữ chiếm 52%. Hỏi trường đó có bao
nhiêu học sinh nữ?
(Bài toán này yêu cầu chúng ta tìm số học sinh nữ, tức tìm 52% của 600)
Giải
Trường đó có số học sinh nữ là: 600 : 100 x 52 = 312 (em)
(Có thể lấy 600 x 52 : 100 hoặc 52 : 100 x 600 hay 600 x )

Đáp số: 312 em.
22
3. Tìm một số khi biết giá trị phần trăm của số đó.
Muốn tìm một số khi biết giá trị phần trăm của số đó ta lấy số đó chia cho số phần tương ứng rồi nhân
với 100.
Ví dụ : Một trường có 240 học sinh nam, chiếm 48% số học sinh toàn trường. Hỏi trường đó có bao nhiêu
học sinh?
(Bài toán này yêu cầu chúng ta tìm số học sinh toàn truờng khi biết 48% số học sinh toàn trường là 240
em)
Giải
Số học sinh toàn trường là: 240 : 48 x 100 = 500 (em)
(có thể lấy 240 x 100 : 48 hoặc 100 : 48 x 240 hay 240 : )
Đáp số : 500 em
B. Bài tập vận dụng.
Bài 1: Mẹ mua gà và cá hết 88 000 đồng. Số tiền mua cá bằng 120% số tiền mua gà. Hỏi mẹ mua cá hết
bao nhiêu tiền ?
Giải
Cách 1: Coi số tiền mua gà là 100 phần bằng nhau thì số tiền mua cá sẽ là 120 phần như thế. Vậy tiền
mua gà và cá ứng với số phần :
100 + 120 = 220 (phần)
Mẹ mua cá hết số tiền là: 88 000 : 220 x 120 = 48 000 (đồng)
Đáp số : 48 000 đồng
Cách 2: Giải
Tỉ số phần trăm tổng số tiền mua gà và cá so với số tiền mua gà là :
120% + 100% = 220%
Số tiền mẹ dùng để mua gà là : 88 000 : 220 x 100 = 40 000 (đồng)
Sốtiền mẹ dùng để mua cá là: 88 000 - 40 000 = 48 000 (đồng)
Đáp số : 48 000 đồng
Cách 3: Giải
Đổi : 120% = =

Theo bài ra ta có sơ đồ : ? đồng
Số tiền mua cá :
88 000 đồng
Số tiền mua gà :
Theo sơ đồ, tổng số phần bằng nhau là : 6 + 5 = 11 (phần)
Số tiền mẹ dùng để mua gà là : 88 000 : 11 x 6 = 48 000 (đồng)
Đáp số: 48000đồng.
Bài 2: Lượng nước trong hạt tươi là 16%. Người ta lấy200kg hạt tươi đem phơi khô thì lượng nước đó
giảm đi 20 kg. Tính tỉ số phần trăm lượng nước trong hạt phơi khô.
Hướng dẫn : Lượng nước trong hạt tươi là 16% có nghĩa là cứ 100g hạt tươi thì có 16g nước. Do đó
lượng nước trong 200g hạt tươi là 200 : 100 x 16 = 32 (g)
Khi phơi khô lượng nước giảm 20kg nên nước còn lại trong hạt là 32 - 20 = 12 (g)
Từ đó tính được tỉ số phần trăm lượng nước trong hạt phơi khô.
Giải
Lượng nước trong 200g hạt tươi là: 200 : 100 x 16 = 32 (g)
Lượng nước còn lại trong hạt khô sau khi phơi là : 32 - 20 = 12 (g)
Khối lượng hạt phơi khô sau khi phơi là: 200 - 20 = 180 (g)
23
Tỉ số phần trăm lượng nước trong hạt phơi khô là : 12 : 180 = 6 % = 6,7%
Đáp số: 6,7%
Bài 3 : Một người bán cam được lãi 35% theo giá mua. Hỏi người ấyđượclãibao
nhiêuphần trăm theo giá bán?
Hướng dẫn Lãi35% theo giá mua có nghĩa là nếu mua 100 đồng thì lãi 30đồng,tiềnbán sẽ là 100 + 30 =
130 (đồng)
Từ đó tính được tỉ số phần trăm tiền lãi theo giá bán.
Giải
Coi tiền mua là 100phần bằng nhau thì tiền lãi là 35 phần như thế . Vậy tiền bán ứngvới số phần:
100 + 30 = 130 (phần)
Người đó lãi số phần trăm theo giá bán là : 35:130 = 0,2592 = 25,92%
Đáp số: 25,92%

Bài 4: Diện tích hình chữ nhật tăng hay giảm bao nhiêu phần trăm, nếu chiều dài giảm 20% số đo của nó
và chiều rộng tăng 20% số đo của nó?
Giải
Coi chiều dài cũ là 100 phần thì chiều dài mới ứng với số phần : 100 - 20 = 80 (phần)
Coi ch/rộng cũ là 100 phần thì chiều rộng mới ứng với số phần 100 + 20 = 120 (phần)
Diện tích hình chữ nhật mới bằng số phần trăm diện tích hình chữ nhật cũ là:
x = = 96% .
Vậy diện tích hình chữ nhật cũ giảm số phần trăm là: 100% - 96% = 4%
Đáp số: 4%
Bài 5: Một cửa hàng quần áo cũ đề giá một cái áo. Do không bán được, cửa hàng đó bèn hạ giá chiếc áo
đó 20% giá đã định. Vẫn không bán được, cửa hàng lại hạ giá 20% theo giá đã hạ và bán được áo. Tuy
vậy, cửa hàng vẫn còn lãi 8,8% cái áo đó.Hỏi giá định bán lúc đầu bằng bao nhiêu phần trăm giá vốn
mua?
Giải
Coi giá vốn của cái áo là 100 phần bằng nhau thì giá bán chiếc áo sau khi hạ giá lần 2 ứng với số phần
là : 100 + 8,8 = 108,8 (phần)
Coi giá bán chiếc áo sau khi hạ giá lần 1 là 100 phần bằng nhau thì giá chiếc áo bán sau khi hạ giá lần 2
ứng với số phần : 100 - 20 = 80 (phần)
Giá chiếc áo sau khi hạ giá lần 1 so với giá gốc thì ứng với số phần là :
108,8 : 80 x 100 = 136 (phần)
Coi giá bán chiếc áo đã định là 100 phần bằng nhau thì giá chiếc áo bán sau khi hạ lần 1 ứng với số
phần : 100 - 20 = 80 (phần)
Giá chiếc áo đã định so với giá gốc thì ứng với số phần là :
136 : 80 x 100 = 170 (phần)
Giá định bán lúc đầu bằng số phần trăm giá gốc hay giá vốn mua là :
170 : 100 = 1,7 = 170%
Đáp số : 170%
C. Bài tập tự làm.
Bài 1: Một cửa hàng có 500 kg gạo. Buổi sáng người ta bán được 45% số gạo đó, buổi chiều bán được
80% số gạo còn lại. Hỏi cả hai lần, cửa hàng bán được bao nhiêu kg gạo?

Bài 2: Với lãi suất tiết kiệm 0,5% một tháng, cần gửi bao nhiêu đồng để sau một tháng nhận được số tiền
lãi là :
a, 20 000 đồng b, 40 000 đồng c, 60 000 đồng
Bài 3: Một cửa hàng bán hoa quả thu được 1 800 000 đồng. Tính ra số tiền lãi bằng 20% số tiền mua. Hỏi
tiền vốn để mua hoa quả đó là bao nhiêu đồng?
Bài 4: Một thư viện có 6 000 quyển sách. Cứ sau mỗi năm số sách của thư viện lại được tăng 20%(so với
số sách năm trước). Hỏi sau hai năm thư viện đó có tất cả bao nhiêu quyển sách?
Bài 5: Một người mua một kì phiếu loại 3 tháng với lãi suất1,9% với giá trị kì phiếu là 6 000 000 đồng.
Hỏi sau 3 tháng người đó được lĩnh về bao nhiêutiền cả vốn lẫn lãi.Biết rằng, tiền tháng trước được nhập
vào vốn của tháng sau.
24
Bài 6: Một cửa hàng bán hàng được lãi 20% so với giá bán. Hỏi cửa hàng đó được lãi bao nhiêu phần
trăm so với giá mua?
Bài 7: Trong một ngày hội toán, đội Toán của một khối lớp chia thành ba nhóm. Nếu lấy 40% số học sinh
của nhóm thứ nhất chia đều thêm cho hai nhóm thì số học sinh của ba nhóm sẽ bằng nhau. Nhưng nếu
nhóm thứ nhất bớt đi 3 học sinh thì số học sinh của nhóm thứ nhất sẽ bằng tổng số học sinh của hai nhóm
kia. Hỏi mỗi nhóm có bao nhiêu học sinh?
Bài 8: Tổng số trang của 3 quyển sách là 680. Số trang của quyển sách thứ nhất bằng 60% số trang
quyển sách thứ ba, số trang quyển sách thứ hai bằng số trang quyển sách thứ ba. Tính số trang của mỗi
quyển sách?
Bài 9: Một cửa hàng định giá bán một chiếc cặp là 65 000 đồng. Nhân dịp khai giảng năm học mới, cửa
hàng quyết định hạ giá 12%. Tuy vậy, của hàng đó vẫn lãi 1% so với giá vốn. Hỏi giá vốn chiếc cặp là
bao nhiêu?
_____________________________________________________
BÀI TOÁN GIẢI THEO PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGƯỢC TỪ CUỐI
A. Lí thuyết
Các bước giải
Bước 1: Đọc kĩ đề
Bước 2: Vẽ sơ đồ, lưu đồ hay phân tích dựa theo dữ kiện đã cho của bài toán
Bước 3: Tính ngược từ cuối để tìm các giá trị của bài toán

B. Bài tập vận dụng.
Bài 1: Tìm một số biết rằng nếu đem số đó chia cho 3 được bao nhiêu trừ cho 2 thì còn 7.
Cách 1: Giải :3 - 2 7
Ta có lưu đồ:
A là số cần tìm B là kết quả của A :3 C = 7 là kết quả của B - 2.
Đi ngược lưu đồ ta có số A cần tìm là: (7 + 2 ) x 3 = 27
Đáp số: 27
Cách 2 : Giải
Gọi số cần tìm là A. Theo bài ra ta có:
A : 3 - 2 = 7
A : 3 = 7 + 2 = 9
A = 9 x 3 = 27
Vậy số cần tìm là 27
Đáp số : 27
Bài 2: Một người bán trứng, lần thứ nhất bán số trứng cộng với quả; lần thứ hai bán số
trứng còn lại cộng quả, lần thứ ba bán số trứng còn lại cộng quả. Cuối cùng trong rổ còn lại 4 quả.
Hỏi lúc đầu trong rổ có bao nhiêu quả trứng?
Giải
Theo bài ra ta có sơ đồ:
Tổng số trứng
Bán lần 1 1/2 quả
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bán lần 2 1/2 quả
_________________ . . . . . . . . . . . . . .
Bán lần 3 1/2 quả
_________. . . . . . .

_______
Còn lại 4 quả
25

A CB