Đề thi học sinh giói cấp tỉnh lớp 11 môn Toán bảng A

1
Họ và tên thí sinh:…………………… ………… Chữ ký giám thị 1:
Số báo danh:…………………………… ……… …………….………………
SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 VÒNG TỈNH
NĂM HỌC 2011 - 2012

* Môn thi: TOÁN


* Bảng: A
* Lớp: 11
* Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

ĐỀ

Câu 1: (4 điểm)
Cho dãy số
012
, , , aaa xác định bởi
1
23.
n
nn
aanN
+
=
−∈
Tìm tất cả các giá trị
0
aR
∈

sao cho
{
}
n
a
là dãy số tăng.

Câu 2: (4 điểm)
Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác có diện tích S.
Chứng minh rằng:
34
222
cba
S
++
≤

Câu 3: (4 điểm)
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
()( )()
2
871 yxxxx =+++

Câu 4: (4 điểm)
Giải phương trình:

11
44
sin 2 sin 2 1
22

xx++−=


Câu 5: (4 điểm)
Cho tứ diện OABC có OA = a; OB = b; OC = c;
n
BOC
α
=
;
n
COA
β
= ;
n
AOB
γ
=
.
Gọi S là diện tích tam giác ABC. Chứng minh rằng:
22 2
sin sin sin
222
cot cot
ab bc ca
ABCotC
S
γ
αβ
++

++ ≥


HẾT


(Gồm 01 trang)
ĐỀ CHÍNH THỨC
1
SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 VÒNG TỈNH
NĂM HỌC 2011 - 2012

* Môn thi: TOÁN


* Bảng: A
* Lớp: 11
* Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu 1: (4 điểm)
Ta có
(
)
112
12
23 2323
nnn
nn n

aa a
−−−
−−
=− =− −


(
)
122 1223
23
23.23. 23.2 323
nn nn n
nn
aa
−− −− −
−−
=− + =− + −


12233
3
23.23.23.
nn n
n
a
−− −
−
=− + −

(

)
(
)
1
1223 1
0
2 3.2 3 .2 1 .3 1 .3 .
nn
nn n n n
a
−
−− − −
= − + − +− +− (1.0đ)
mà
(
)
(
)
1
1223 1
2 , 3 .2 ,3 .2 , , 1 .3
n
nnn n
−
−−− −
−−
là n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân
nên
()
1

0
3
21
2
1.3.
3
1
2
n
n
n
n
n
aa
−
⎛⎞
⎛⎞
−−
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
=+−
+
(
)
()
1
0

21.3
1.3.
5
n
nn
n
n
a
+
+−
=+−
(1.0đ)

() ()
1
11 1
10
1
21.3 1.3.
5
nn
nn n
n
aa
−
−− −
−
⎡⎤
=+− +−
⎣⎦

Đặt
()
()
1
1
1
10
23
14.1 . 5 1
52
n
n
n
nnn
daa a
−
−
−
−
⎡⎤
⎛⎞
=− = −− −
⎢⎥
⎜⎟
⎝⎠
⎢⎥
⎣⎦
(0.5đ)
• Nếu

00
1
510
5
aa−> ⇔ >
thì 0
n
d
<
với n lẻ đủ lớn
• Nếu
00
1
510
5
aa−< ⇔ <
thì
0
n
d >
với n chẵn đủ lớn (0.5đ)
Vậy
0
1
5
a ≠
thì
{
}
n

a không tăng (0.5đ)
• Nếu
0
1
5
a =
thì
1
2
0
5
n
n
dnN
−
=>∀∈ (0.5đ)
Vậy
0
1
5
a =
thì
{
}
n
a là dãy số tăng.
Câu 2: (4 điểm)
Theo công thức Hêrông ta có:
(
)

(
)
(
)
cpbpappS −−−=
2
(1) (0.5đ)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm p-a, p-b, p-c ta có:
(Gồm 03 trang)
ĐỀ CHÍNH THỨC
2
()()()
()
(
)
(
)
273
3
3
pcpbpap
cpbpap =
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+−+−
≤−−−

(2) (1.0đ)
Từ (1) và (2) suy ra
(
)
31233
2
2
cbap
S
++
=≤
(0.5đ)
Mặt khác ta có:

()
()()()( )
222222222222
222
2
3
222
cbaaccbbacba
cabcabcbacba
++=++++++++≤
+++++=++
(1.0đ)
Do đó:
34
222
cba

S
++
≤
(đpcm) (0.5đ)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c (0.5đ)

Câu 3: (4 điểm)
Ta thấy phương trình:
()( )()
2
871 yxxxx =+++
⇔ (x
2
+ 8x)(x
2
+ 8x + 7) = y
2
(0.5đ)
Đặt: (x
2
+ 8x) = a > 0
Ta có a (a + 7) = y
2

⇔ a
2
+ 7a = y
2

⇔ 4a

2
+ 28a = 4y
2

⇔ (2a + 7)
2
- (2y)
2
= 49
⇔ (2a + 7 + 2y)(2a + 7 - 2y) = 49 (1) (1.0đ)
Vì a, y > 0 nên:
* 2a + 7 + 2y > 2a + 7 - 2y
* 2a + 7 + 2y > 0 (0.5đ)
Do đó từ (1) ta có hệ sau:

⎩
⎨
⎧
=
=
⇒
⎩
⎨
⎧
=−+
=++
12
9
1272
49272

y
a
ya
ya
(1.0đ)
Với a = 9 ta có: x
2
+ 8x - 9 = 0
⇒ x = 1 hoặc x = -9 (loại) (0.5đ)
Thử lại và kết luận phương trình có một nghiệm là (1, 12) (0.5đ)

Câu 4: (4 điểm)
Điều kiện:
1
20
11
2
2
221
20
2
Si n x
Si n x
Si n x
⎧
−≥
⎪
⎪
⇔− ≤ ≤
⎨

⎪
+≥
⎪
⎩
(*) (0.25đ)
Với điều kiện trên, Đặt u=
4
1
si n 2
2
x
+ , v=
4
1
si n 2
2
x
−
Ta có hệ phương trình:

44
1
1
uv
uv
+=
⎧
⎨
+=
⎩

(0.5đ)
3

1
.(. 2) 0
uv
uvuv
+=
⎧
⇔
⎨
−=
⎩


11
() ( )
.0 .2
uv uv
III
uv uv
+= +=
⎧⎧
⇔∨
⎨⎨
==
⎩⎩
(1.0đ)
Hệ (II) vô nghiệm (0.25đ)
Hệ (I)

01
10
uu
vv
==
⎧⎧
⇔∨
⎨⎨
==
⎩⎩
(0.5đ)

11
si n 2 1 si n 2 0
22
11
si n 2 0 si n 2 1
22
xx
xx
⎧⎧
+= +=
⎪⎪
⎪⎪
⇔∨
⎨⎨
⎪⎪
−= −=
⎪⎪
⎩⎩

(0.5đ)
⇒
sin2x=
11
si n 2
22
x∨=−
; thỏa (*) (0.5đ)
12 12
(, )
57
12 12
xkx m
km
xkxm
ππ
ππ
ππ
ππ
⎡⎡
=+ =−+
⎢⎢
⇒∨ ∈
⎢⎢
⎢⎢
=+ =+
⎢⎢
⎣⎣
] (0.5đ)

Câu 5: (4 điểm)
Trong tam giác ABC, ta chứng minh được:
cotA + cotB + cotC =
222
4
A
BACBC
S
++
(*) (1.0đ)
Mà AB
2
= a
2
+ b
2
– 2abcos
γ
; (0.5đ)
AC
2
= a
2
+ c
2
– 2accos
β
; (0.5đ)
BC
2

= b
2
+ c
2
– 2bccos
α
; (0.5đ)
Thay vào (*) ta được
222
cos cos cos
cot cot
2
abcbc ca ab
ABCotC
S
α
βγ
++− − −
++ =
(0.5đ)
⇒
cos cos cos
cot cot
2
ab bc ca bc ca ab
ABCotC
S
α
βγ
+

+− − −
++ ≥
(Cosi) (0.5đ)
⇔
22 2
sin sin sin
222
cot cot
ab bc ca
ABCotC
S
γ
αβ
++
++ ≥

Vậy
22 2
sin sin sin
222
cot cot
ab bc ca
ABCotC
S
γ
αβ
++
++ ≥
(0.5đ)
Chú ý: HDC chỉ là một trong các phương án, học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.

HẾT
c
b
a
γ
β
α
C
B
O
A