Đề thi học sinh giói cấp tỉnh lớp 10 môn Toán bảng B

1
Họ và tên thí sinh:…………………… ………… Chữ ký giám thị 1:
Số báo danh:…………………………… ……… …………….………………
SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 VÒNG TỈNH
NĂM HỌC 2011 - 2012

* Môn thi: TOÁN


* Bảng: B
* Lớp: 10
* Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

ĐỀ

Câu 1: (4 điểm)
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 222.xy xy
+
=++

Câu 2: (4 điểm)
Tìm tất cả các hàm số f:
→
thỏa mãn điều kiện
2012 ( 1) 2011 (1 )
f
xfxx
−
+−=
, .x
∀

∈

Câu 3: (4 điểm)
Giải hệ phương trình:
()
()
2
2
42 215
42 215
xy
yx
⎧
+
=+
⎪
⎨
+
=+
⎪
⎩
.

Câu 4: (4 điểm)
Chứng minh rằng với mọi a > 0 thì:
a
2013
– 2013a + 2012 ≥ 0.

Câu 5: (4 điểm)

Cho đường tròn
22
(): 4 2 3 0Cx y x y
+
+++=
và đường thẳng
:230dx my m+−+=
. Gọi I là tâm của (C). Tìm m để đường thẳng d cắt đường tròn
(C) tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB có diện tích lớn nhất.

HẾT





(Gồm 01 trang)
ĐỀ CHÍNH THỨC
1
SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 VÒNG TỈNH
NĂM HỌC 2011 - 2012

* Môn thi: TOÁN


* Bảng: B

* Lớp: 10

* Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu 1: (4 điểm)
- Phương trình: 222 ++=+ yxyx (1)

(
)
1222 ++=⇔ yxxy
(2)

22424 −−−=+⇔ yxxyyx (3) (1.0đ)
Từ (2) , (3) suy ra
xy2 là số chẵn và yx +2 là số nguyên.
Đặt
xy2 = 2t, t
+
∈ .
Kết hợp với (1) và (2), ta có hệ:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=+
=
12
22
tyx
txy

. (0.5đ)
Suy ra
x2 và y là nghiệm của PT: X
2
– (t + 1)X + 2t = 0 (4). (0.5đ)
PT (4) có
Δ = t
2
- 6t + 1 = (t - 3)
2
- 8.
PT (4) có nghiệm nguyên khi
Δ ≥ 0 và Δ là số chính phương.
Ta có
Δ ≥ 0 ⇔ 0322t<≤ − hoặc 322t ≥+ ⇒ t ≥ 6 (0.5đ)
Nên ta có (t - 5)
2


≤ Δ < (t - 3)
2
(0.5đ)
+
Δ = (t - 5)
2
⇔ t
2
- 6t + 1 = (t - 5)
2
=> t = 6 (thỏa mãn)

Giải ra có x = 8; y = 9 (0.5đ)
+
Δ = (t - 4)
2
⇔ t
2
- 6t + 1 = (t - 4)
2
=> 2t = 15 (loại)
Vậy nghiệm của (1) là:
()
;(8;9)xy = (0.5đ)

Câu 2: (4 điểm)
2012. ( 1) 2011. (1 )
f
xfxx−+ −=
Đặt a = 2012, b = 2011
Thay x bởi x+1, ta có

() ( ) 1 (1)af x bf x x+−=+ (1.0đ)
() () 1 (2)af x bf x x⇒−+ =−+ (0.5đ)
Cộng (1) và (2) theo vế ta có:

2
()(()())2 ()()a b fx f x fx f x
ab
++−=⇒+−=
+
(1.0đ)

() ( ) 1
1
()
2
() ( )
af x bf x x
x
fx
ab ab
fx f x
ab
+−=+
⎧
⎪
⇒⇒=+
⎨
−
+
+−=
⎪
+
⎩
(1.0đ)
(Gồm 03 trang)
ĐỀ CHÍNH THỨC
2
Vậy
1
()
4023

fx x=+
. (0.5đ)

Câu 3: (4 điểm)

() ()
() ()
2
2
42 2151
42 2152
xy
yx
⎧
+=+
⎪
⎨
+=+
⎪
⎩

Lấy (1) trừ (2) ta được:
(
)
(
)
4444422
x
yxy yx−++=− (1.0đ)

(
)
(
)
228890xyxy⇔− ++=

8890
xy
xy
=
⎡
⇔
⎢
+
+=
⎣
(1.0đ)
• Với
x
y= , ta có:
(
)
2
42 215xx
+
=+

2
16 14 11 0xx⇔+−=

1
2
x⇔=
hoặc
11
8
x
=
− (1.0đ)
• Với
8890
x
y++=
, ta có:
()
2
89
42 15
4
x
x
+
+=−


2
64 72 35 0xx
⇔
+−=

9 221
16
9221
16
x
x
⎡
−+
=
⎢
⎢
⇔
⎢
−−
=
⎢
⎣
(0.5đ)
9 221 9 221
16 16
xy
−± −
=⇒=
∓

Vậy hệ có các nghiệm là:
1 1 11 11 9 221 9 221 9 221 9 221
;;;;;;;

2 2 8 8 16 16 16 16
−− −+ −+ −−
−−
⎛⎞⎛⎞
⎛⎞⎛ ⎞
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
⎝⎠⎝⎠
(0.5đ)

Câu 4: (4 điểm)
BĐT đã cho tương đương với: a
2013
+ 2012 2013a. (0.5đ)
+ Biến đổi và dùng BĐT Cô-si, ta có:
a
2013
+ 2012 = a
2013
+
2012 sô
1 1 1
+
++

 
(1.5đ)

2013 2013

2013. 2013aa≥= (1.0đ)
+ Vậy BĐT đã được c/m và dấu “=” xảy ra khi a = 1 (1.0đ)

Câu 5: (4 điểm)
- Xác định được I(-2; -1) và bán kính của (C) là R =
2
(0.5đ)
3
- Viết được công thức tính diện tích của tam giác IAB:

2
1
.sin
2
IAB
SRAIB
Δ
=
(0.5đ)
- Lập luận được
IAB
S
Δ
đạt giá trị lớn nhất

sin 1AIB
⇔
=
(0.5đ)

d(I;d) 1
⇔
=
(1.0đ)

2
13
1
1
m
m
−
⇔
=
+
(0.5đ)

0
3
4
m
m
=
⎡
⎢
⇔
⎢
=
⎣
(0.5đ)

- Kết luận (0.5đ)


HẾT