Đề thi học kì II môn toán lớp 11 năm học 2014 - 2015(có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH ĐỒNG THÁP

ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề gồm có 01 trang)
KIỂM TRA HỌC KÌ II
Năm học: 2014-2015
Môn thi: TOÁN - Lớp 11
Ngày thi: 14 /05 /2015
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (8,0 điểm)

Câu I. (3,0 điểm)
1. Tìm các giới hạn sau:
a) lim ( 3n
2
- 5n + 2 ) b)
1
lim
x

2
1
1
x
x



2. Xét tính liên tục hàm số sau: f(x) =

2
2 1 1
khi x
2 1 2
3 1
- khi x
2 2
x x
x

 
 





 


tại x
0
= -
1
2


Câu II. (2,0 điểm)
1. Tính đạo hàm hàm số f(x) = (x
2

+ x )
2

2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y =
1
2 1
x
x


tại giao điểm của đồ thị
với trục tung.

Câu III. (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật. Độ dài các cạnh AB =
3
3
a
, AD = a và SB = a
3
.
1. Chứng minh BC vuông góc với SB.
2. Xác định và tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( SAB).
3. Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC) theo a.
II. PHẦN RIÊNG - Tự chọn (2,0 điểm)
Thí sinh chỉ chọn một trong hai câu (câu IV.a hoặc câu IV.b)

Câu IV.a. Theo chương trình Chuẩn (2,0 điểm)
1. Chứng minh rằng phương trình sau:
3

3
x x m
 
có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị của


2;2
m 
.
2. Cho hàm số f(x) =
2 1
x

với x >
1
2
. Chứng minh rằng: (2x - 1)f ”(x) + f’(x) = 0
Câu IV.b. Theo chương trình Nâng cao (2,0 điểm)
1. Chứng minh rằng phương trình sau:
3
3
x x m
 
có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị của


2;2
m 
.
2. Cho hàm số f(x) =

2015 1
x

,với x >
1
2015
. Chứng minh rằng:
2(2015x - 1)f ”(x) + 2015f ’(x) = 0.HẾT.

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH ĐỒNG THÁP

HƯỚNG DẪN
CHẤM CHÍNH THỨC
(gồm có 04 trang)
KIỂM TRA HỌC KÌ II
Năm học: 2014-2015
Môn thi: TOÁN - Lớp 11
Ngày thi: 14/5/2015

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (8,0 điểm)

Câu Nội dung yêu cầu Điểm

Câu I
(3,0 đ)
1. Tìm các giới hạn sau a) A = lim ( 3n
2

- 5n + 2 )
-Biến đổi: A = lim n
2
( 3-
5
n
+
2
2
n
).
-Giới hạn lim n
2
= +


- Giới hạn lim ( 3-
5
n
+
2
2
n
) = 3
- Kết quả A = lim ( 3n
2
- 5n + 2 ) = +


(1,0 đ)


0,25

0,25
0,25

0,25
Câu I
(3,0 đ)
1. Tìm các giới hạn sau b) B =
1
lim
x

2
1
1
x
x



- Biến đổi B =
1
lim
x

2

(1 )(1 )
( 1)(1 )
x x
x x
 
 

- Hằng đẳng thức B =
1
lim
x

(1 )
( 1)( 1)(1 )
x
x x x

  

- Đơn giản B =
1
lim
x

1
( 1)(1 )
x x

 

- Kết quả B =
1
lim
x

2
1
1
x
x


= -
1
4

(1,0 đ)



0,25

0,25


0,25

0,25
Câu I
(3,0 đ)

2. Xét tính liên tục hàm số f(x) =
2
2 1 1
khi x
2 1 2
3 1
- khi x
2 2
x x
x

 
 





 


tại x
0
= -
1
2

-Giá trị f(x
0
) = f(-

1
2
) = -
3
2
(1)
- Nhân tử
1
2
lim
x

f(x) =
1
2
lim
x

2
2 1
2 1
x x
x
 

=
1
2
lim
x


(2 1)( 1)
2 1
x x
x
 


- Đơn giản và giới hạn
1
2
lim
x

f(x) =
1
2
lim
x

(x – 1 ) = -
3
2
(2)
- Kết luận
1
2
lim
x


f(x) = f(-
1
2
)

hàm số f(x) liên tục tại x
0
= -
1
2


(1,0 đ)




0,25

0,25


0,25

0,25



2

Câu Nội dung yêu cầu Điểm

Câu II
(2,0 đ)
1. Tính đạo hàm hàm số f(x) = (x
2
+ x )
2

- Đạo hàm : f’(x) = 2 (x
2
+ x ) (x
2
+ x )’.
- Kết quả : f’(x) = 2(2x + 1 )(x
2
+ x ) = 2(2 x
3
+3x
2
+x)

(1,0 đ)

0,5
0,5
Câu II
(2,0 đ)

2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y =
1
2 1
x
x
 

tại
giao điểm của đồ thị với trục tung.
- Phương trình tiếp tuyến y = f’(x)(x - x
0
) + y
0

- Yếu tố : x
0
= 0

y
0
= 1
- Đạo hàm f ’(x) =
2
3
(2 1)
x





f ’(x
0
) = f ’(0) = -3
- Kết quả phương trình tiếp tuyến y = -3x + 1
(1,0 đ)



0,25
0,25

0,25

0,25

Câu Nội dung yêu cầu Điểm

Câu III
(3,0 đ)
Cho hình chóp S.ABCD, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD), đáy ABCD là hình chử nhật. Độ dài các cạnh AB =
3
3
a
,
AD = a và SB = a
3
. Hình vẽ
a
C

A
B
D
S
H

1. Chứng minh BC vuông góc với SB.
-Ta có BC

AB
- Ta lại có SA

(ABCD)

SA

BC
- Suy ra BC

(SAB)

SB
- Kết luận BC

SB ( ĐPCM)

(1,0 đ)


0,25
0,25
0,25
0,25
Câu III
(3,0 đ)
2. Xác định và tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( SAB).
- Ta có BC

(SAB)

SB là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (SAB)
(1,0 đ)

0,25

3

- Suy ra góc (SC, (SAB)) = (SC, SB) =
BSC


-

SBC vuông tại B: tan
BSC

=
BC
SB
=
3
a
a
=
3
3

- Kết quả góc (SC, (SAB)) = 30
0

0,25

0,25

0,25
Câu III
(3,0 đ)
3. Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC) theo a.
- Ta có AD // mp(SBC)

khoảng cách d(D,(SBC)) = d(A,(SBC))
- Kẻ AH

SB tại H, BC

(SAB)

BC

AH

AH

(SBC)

d(A,(SBC)) = AH.
-

SAB

tại A: SA
2

= SB
2
- AB
2
=
2
8
3
a

- Hệ thức lượng
2
1
AH
=
2
1
AB
+
2
1
AS


d(A,(SBC)) =
2 6
9
a

Chú ý: học sinh không hình vẽ hoặc hình vẽ không đúng không chấm

(1,0 đ)

0,25

0,25

0,25

0,25

II. PHẦN RIÊNG - Tự chọn (2,0 điểm)
Thí sinh chỉ chọn một trong hai câu (câu IV.a hoặc câu IV.b)
Câu IV.a. Theo chương trình Chuẩn (2,0 điểm)

Câu Nội dung yêu cầu Điểm

Câu
IVa
(2,0 đ)
1. Chứng minh rằng phương trình sau:
3
3
x x m
 
có ít nhất hai
nghiệm với mọi giá trị của


2;2
m 

.
Xét hàm số


3
3 2
f x x x m
  









1 2 0; 1 2 0; 2 2 0
f m f m f m
          

Tính:









1 . 1 0; 1 . 2 0
f f f f
  

Do


f x
là hàm đa thức liên tục trên R nên liên tục trên các đoạn




1;1 ; 1;2


Do đó,


0
f x

hay
3
3
x x m
 
có ít nhất hai nghiệm, một nghiêm thuộc
khoảng



1;1

và một nghiệm thuộc khoảng


1;2
.(ĐPCM)
(1,0 đ)




0,25
0,25
0,25

0,25
Câu
IVa
(2,0 đ)
2. Cho hàm số f(x) =
2 1
x

với x >
1
2
.
Chứng minh rằng (2x - 1)f ”(x) + f’(x) = 0

- Đạo hàm f ’(x) = (
2 1
x

)’ =
(2 1)'
2 2 1
x
x


=
2
2 2 1
x

=
1
2 1
x


- Đạo hàm f ’’(x) = (
1
2 1
x

)’ = -
2
( 2 1)'

( 2 1)
x
x


= -
1
(2 1) 2 1
x x
 

- Thế VT = (2x - 1)f ”(x) + f’(x) = (2x - 1)(-
1
(2 1) 2 1
x x
 
) +
1
2 1
x


(1,0 đ)




0,25

0,25


0,25


4

- Kết quả VT = -
1
2 1
x

+
1
2 1
x

= 0 = VP (ĐPCM)
0,25


Câu IV.b. Theo chương trình Nâng cao (2,0 điểm)

Câu Nội dung yêu cầu Điểm

Câu
IVb
(2,0 đ)
1. Chứng minh rằng phương trình sau:

3
3
x x m
 
có ít nhất hai
nghiệm với mọi giá trị của


2;2
m 
.
Xét hàm số


3
3
f x x x m
  









1 2 0; 1 2 0; 2 2 0
f m f m f m
          

Tính:








1 . 1 0; 1 . 2 0
f f f f
  

Do


f x
là hàm đa thức liên tục trên R nên liên tục trên các đoạn




1;1 ; 1;2


Do đó,


0

f x

hay
3
3
x x m
 
có ít nhất hai nghiệm, một nghiêm thuộc
khoảng


1;1
 và một nghiệm thuộc khoảng


1;2
.(ĐPCM)

(1,0 đ)




0,25
0,25
0,25

0,25
Câu
IVb

(2,0 đ)
2. Cho hàm số f(x) =
2015 1
x

,với x >
1
2015
.
Chứng minh rằng 2(2015x - 1)f ”(x) + 2015 f’(x) = 0
- Đạo hàm f ’(x) = (
2015 1
x

)’ =
(2015 1)'
2 2015 1
x
x


=
2015
2 2015 1
x


- Đạo hàm f ’’(x) = (
2015
2 2015 1

x

)’ = -
2
2015( 2015 1)'
2( 2015 1)
x
x



f ’’(x) == -
2
2
2015
2 (2015 1) 2015 1
x x
 

- Thế VT = 2(2015x - 1)f ”(x) + 2015f’(x) =
VT = 2(2015x - 1)(-
2
2
2015
2 (2015 1) 2015 1
x x
 
) + 2015
2015
2 2015 1

x


- Kết quả VT = -
2
2015
2 2015 1
x

+
2
2015
2 2015 1
x

= 0 = VP (ĐPCM)
(1,0 đ)




0,25




0,25


0,25

0,25
Hết.
Chú ý: học sinh làm theo cách khác đúng được điểm tối đa.