Đề thi học kì môn Toán lớp 11 (4)

Đề số 4
ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2013-2014
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
1)
x x
x
3 2
lim ( 5 2 3)− + −
→−∞
2)
x
x
x
1
3 2
lim
1
+
→−
+
+
3)
x
x
x
2
2
lim
7 3

→
−
+ −
4)
x
x
x
3
0
( 3) 27
lim
→
+ −
5)
n n
n n
3 4 1
lim
2.4 2
 
− +
 ÷
 ÷
+
 
Bài 2. Cho hàm số:
x
khi x
f x
x

ax khi x
1
1
( )
1
3 1

−

>
=

−

≤

. Xác định a để hàm số liên tục tại điểm x = 1.
Bài 3. Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm âm:
x x
3
1000 0,1 0+ + =
Bài 4. Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1)
x x
y
x
2
2 6 5
2 4
− +

=
+
2)
x x
y
x
2
2 3
2 1
− +
=
+
3)
x x
y
x x
sin cos
sin cos
+
=
−
4)
y xsin(cos )=
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a.
1) Chứng minh
SAC SBD( ) ( )⊥
;
SCD SAD( ) ( )⊥
2) Tính góc giữa SD và (ABCD); SB và (SAD) ; SB và (SAC).
3) Tính d(A, (SCD)); d(B,(SAC))

Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y x x
3 2
3 2= − +
:
1) Tại điểm M ( –1; –2)
2) Vuông góc với đường thẳng d:
y x
1
2
9
= − +
.
Bài 7. Cho hàm số:
x x
y
2
2 2
2
+ +
=
. Chứng minh rằng:
y y y
2
2 . 1
′′ ′
− =
.
––––––––––––––––––––Hết–––––––––––––––––––
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .

1
Đề số 4
ĐÁP ÁN ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2011-2012
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Bài 1:
1)
x x
x x x
x x
3 3
2 3
2 3
lim ( 5 2 3) lim 1
→−∞ →−∞
 
− + − = − + − = +∞
 ÷
 
2)
x
x
x
1
3 2
lim
1
+
→−
+

+
. Ta có:
x
x
x
x
x x
1
1
lim ( 1) 0
lim (3 1) 2 0
1 1 0
+
+
→−
→−

+ =


+ = − <


> − ⇒ + >


⇒
x
x
x

1
3 2
lim
1
+
→−
+
= −∞
+
3)
( )
( )
x x x
x x x
x
x
x
2 2 2
2 (2 ) 7 3
lim lim lim 7 3 6
2
7 3
→ → →
− − + +
= = − + + = −
−
+ −
4)
x x x
x x x x

x x
x x
3 3 2
2
0 0 0
( 3) 27 9 27
4) lim lim lim( 9 27) 27
→ → →
+ − + +
= = + + =
5)
n n
n n
n n n
3 1
1
4 4
3 4 1 1
lim lim
2
2.4 2
1
2
2
   
− +
 ÷  ÷
− +
   
= = −

+
 
+
 ÷
 
Bài 2:
x
khi x
f x
x
ax khi x
1
1
( )
1
3 1

−

>
=

−

≤

Ta có: •
f a(1) 3=
•
x x

f x ax a
1 1
lim ( ) lim 3 3
− −
→ →
= =
•
x x x
x
f x
x
x
1 1 1
1 1 1
lim ( ) lim lim
1 2
1
+ + +
→ → →
−
= = =
−
+
Hàm số liên tục tại x = 1 ⇔
x x
f f x f x
1 1
(1) lim ( ) lim ( )
− +
→ →

= =
⇔
a a
1 1
3
2 6
= ⇔ =
Bài 3: Xét hàm số
f x x x
3
( ) 1000 0,1= + +
⇒ f liên tục trên R.
f
f f
f
(0) 0,1 0
( 1). (0) 0
( 1) 1001 0,1 0

= >
⇒ − <

− = − + <

⇒ PT
f x( ) 0=
có ít nhất một nghiệm
c ( 1;0)∈ −
Bài 4:
1)

x x x x x x
y y
x
x x
2 2 2
2 2
2 6 5 4 16 34 2 8 17
'
2 4
(2 4) 2( 2)
− + + − + −
= ⇒ = =
+
+ +
2)
x x x
y y
x
x x x
2
2 2
2 3 3 7
'
2 1
(2 1) 2 3
− + −
= ⇒ =
+
+ − +
3)

x x
y y x y x
x x
x
2
2
sin cos 1
tan ' 1 tan
sin cos 4 4
cos
4
π π
π
 
   
+
= ⇒ = − + ⇒ = − = − + +
 ÷
 ÷  ÷
−
 
   
 
+
 ÷
 
4)
y x y x xsin(cos ) ' sin .cos(cos )= ⇒ = −
2
Bài 5:

1) • BD ⊥ AC, BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ (SBD) ⊥ (SAC)
• CD ⊥ AD, CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ (DCS) ⊥ (SAD)
2) • Tìm góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD)
SA ⊥ (ABCD) ⇒
·
( )
·
SD ABCD SDA,( ) =
·
SA a
SDA
AD a
2
tan 2= = =
• Tìm góc giữa SB và mặt phẳng (SAD)
AB ⊥ (ABCD) ⇒
·
( )
·
SB SAD BSA,( ) =
·
AB a
BSA
SA a
1
tan
2 2
= = =
• Tìm góc giữa SB và mặt phẳng (SAC).
BO ⊥(SAC) ⇒

·
( )
·
SB SAC BSO,( ) =
.
a
OB
2
2
=
,
a
SO
3 2
2
=
⇒
·
OB
BSO
OS
1
tan
3
= =
3) • Tính khoảng cách từ A đến (SCD)
Trong ∆SAD, vẽ đường cao AH. Ta có: AH ⊥ SD, AH ⊥ CD ⇒ AH ⊥ (SCD) ⇒ d(A,(SCD)) = AH.
a
AH
AH SA AD a a

2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 2 5
5
4
= + = + ⇒ =
⇒
a
d A SCD
2 5
( ,( ))
5
=
• Tính khoảng cách từ B đến (SAC)
BO ⊥ (SAC) ⇒ d(B,(SAC)) = BO =
a 2
2
Bài 6:
C y x x
3 2
( ): 3 2= − +
⇒
y x x
2
3 6
′
= −
1) Tại điểm M(–1; –2) ta có:
y ( 1) 9
′
− =

⇒ PTTT:
y x9 7= +
2) Tiếp tuyến vuông góc với d:
y x
1
2
9
= − +
⇒ Tiếp tuyến có hệ số góc
k 9=
.
Gọi
x y
0 0
( ; )
là toạ độ của tiếp điểm.
Ta có:
y x
0
( ) 9
′
=
⇔
x
x x x x
x
2 2
0
0 0 0 0
0

1
3 6 9 2 3 0
3

= −
− = ⇔ − − = ⇔

=

• Với
x y
0 0
1 2= − ⇒ = −
⇒ PTTT:
y x9 7= +
• Với
x y
0 0
3 2= ⇒ =
⇒ PTTT:
y x9 25= −
Bài 7:
x x
y y x y
2
2 2
1 1
2
+ +
′ ′′

= ⇒ = + ⇒ =
⇒
( )
x
y y x x x x y
2
2
2 2
2 . 1 2 1 .1 1 2 1 ( 1)
2
 
′′ ′
− = + + − = + + = + =
 ÷
 
=============================
3
S
A
B
CD
O
H