Đề thi học kì môn Toán lớp 11 (6)

1



Đề số 6
ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2013-2014
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

A. PHẦN CHUNG
Câu 1: Tìm các giới hạn sau:
a)
x x
x
x
2
3 4 1
lim
1
1
− +
→
−
b)
x
x
x
2
9
lim

3
3
−
→−
+
c)
x
x
x
2
lim
2
7 3
−
→
+ −
d)
x x
x
x
2
2 3
lim
2 1
+ −
→−∞
+


Câu 2: Cho hàm số

x x
khi x
f x
x
m khi x
2
2
2
( )
2
2

− −

≠
=

−

=

.
a) Xét tính liên tục của hàm số khi m = 3
b) Với giá trị nào của m thì f(x) liên tục tại x = 2 ?

Câu 3: Chứng minh rằng phương trình
x x x
5 4
3 5 2 0
− + − =

có ít nhất ba nghiệm phân biệt trong khoảng
(–2; 5)

Câu 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
b)
y x x
2 3
( 1)( 2)
= − +
c)
y
x
2 2
1
( 1)
=
+
d)
y x x
2
2
= +
e)
x
y
x
4
2
2
2 1

3
 
+
=
 
 
−
 

B.PHẦN TỰ CHỌN:
1. Theo chương trình chuẩn
Câu 5a: Cho tam giác ABC vuông cân tại B, AB = BC=
a
2
, I là trung điểm cạnh AC, AM là đường
cao của ∆SAB. Trên đường thẳng Ix vuông góc với mp(ABC) tại I, lấy điểm S sao cho IS = a.
a) Chứng minh AC ⊥ SB, SB ⊥ (AMC).
b) Xác định góc giữa đường thẳng SB và mp(ABC).
c) Xác định góc giữa đường thẳng SC và mp(AMC).

2. Theo chương trình nâng cao
Câu 5b: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Gọi O là tâm của đáy
ABCD.
a) Chứng minh rằng (SAC) ⊥ (SBD), (SBD) ⊥ (ABCD).
b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mp(ABCD) và từ điểm O đến mp(SBC).
c) Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và SC.

Hết
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .

2



Đề số 6
ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2011-2012
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Câu 1:
a)
x x x x
x
x x x
x x
2
3 4 1 ( 1)(3 1)
lim lim lim (3 1) 2

1 1 1
1 1
− + − −
= = − =
→ → →
− −

b)
x
x
x x
x
2
9
lim lim ( 3) 6
3 3
3
−
= − = −
→− →−
+

c)
( )
x
x
x x
x
2
lim lim 7 3 6

2 2
7 3
−
= + + =
→ →
+ −

d)
x x x
x x
x x
x x x
x x x
2 2
1 3 1 3
2
2 2
2 3
lim lim lim
2 1 2 1 2 1
   
+ − − + +
   
   
+ −
   
= =
→−∞ →−∞ →−∞
+ + +

x
x
x
2
1 3
2
lim 2
1
2
 
 
− + +
 
 
= = −
→−∞
+

Câu 2:
x x
khi x
f x
x
m khi x
2
2
2
( )
2

2

− −

≠
=

−

=


• Ta có tập xác định của hàm số là D = R
a) Khi m = 3 ta có

x x
x khi x
khi x
f x
x
khi x
khi x
( 1)( 2)
1, 2
, 2
( )
2
3 , 2
3 , 2


+ −


+ ≠
≠
= =
 
−
=


=

⇒ f(x) liên tục tại mọi x ≠ 2.
Tại x = 2 ta có: f(2) = 3; f x x
x x
lim ( ) lim ( 1) 3
2 2
= + =
→ →
⇒ f(x) liên tục tại x = 2.
Vậy với m = 3 hàm số liên tục trên tập xác định của nó.
b)
x x
khi x
x khi x
f x
x
m khi x
m khi x

2
2
2
1 2
( )
2
2
2

− −


≠
+ ≠
= =
 
−
=


=


Tại x = 2 ta có: f(2) = m ,
f x
x
lim ( ) 3
2
=
→

Hàm số f(x) liên tục tại x = 2
⇔
f f x m
x
(2) lim ( ) 3
2
= ⇔ =
→

Câu 3: Xét hàm số
f x x x x
5 4
( ) 3 5 2
= − + −
⇒ f liên tục trên R.
Ta có:
f f f f
(0) 2, (1) 1, (2) 8, (4) 16
= − = = − =

⇒
f f
(0). (1) 0
<
⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm
c
1
(0;1)
∈

f f
(1). (2) 0
<
⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm
c
2
(1;2)
∈


f f
(2). (4) 0
<
⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm
c
3
(2;4)
∈

⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm trong khoảng (–2; 5).
Câu 4:
a)
y x x x
4 2
' 5 3 4
= − +
b)
( )

x
y
x
3
2
4
'
1
−
=
+
c)
x
y
x x
2
1
'
2
+
=
+
d)
( )
x x
y
x
x
3
2

2 2
2
56 2 3
'
3
3
 
+
= −
 
 
−
 
−


3

Câu 5a:
a) • AC ⊥ BI, AC ⊥ SI ⇒ AC ⊥ SB.
• SB ⊥ AM, SB ⊥ AC ⇒ SB ⊥ (AMC)
b) SI ⊥ (ABC) ⇒

(
)

SB ABC SBI
,( ) =

AC = 2a ⇒ BI = a = SI ⇒

∆
SBI vuông cân ⇒

SBI
0
45
=

c) SB
⊥
(AMC) ⇒

(
)

SC AMC SCM
,( ) =

Tính được SB = SC =
a
2
= BC ⇒
∆
SBC đều ⇒ M là trung điểm của
SB ⇒

SCM
0
30
=

Câu 5b:
a)
•
Vì S.ABCD là chóp tứ giác đều nên
SO ABCD
AC BD
( )

⊥

⊥



⇒

SO BD
BD SAC
AC BD
( )

⊥
⇒ ⊥

⊥


⇒
(SAC)
⊥
(SBD)

•

SO (ABCD
SO SBD
)
( )

⊥

⊂


⇒
(SBD)
⊥
(ABCD)
b)
•
Tính
d S ABCD
( ,( ))

SO
⊥
(ABCD)

⇒

d S ABCD SO
( ,( ))
=

Xét tam giác SOB có
a a a
OB SB a SO SA OB SO
2
2 2 2
2 7 14
, 2
2 2 2
= =
⇒
= − =
⇒
=


•
Tính
d O SBC
( ,( ))

Lấy M là trung điểm BC
⇒
OM
⊥

BC, SM
⊥
BC
⇒
BC
⊥
(SOM)
⇒
(SBC)
⊥
(SOM).
Trong
∆
SOM, vẽ OH
⊥
SM
⇒
OH
⊥
(SBC)
⇒

d O SBC OH
( ,( ))
=

Tính OH:

∆
SOM có

a
SO
OM .OS a a
OH OH
a
OH OM OS OM OS
OM
2 2 2
2
2 2 2 2 2
14
1 1 1 7 210
2
30 30
2

=


⇒ = + ⇒ = = ⇒ =

+

=



c) Tính
d BD SC
( , )

Trong
∆
SOC, vẽ OK
⊥
SC. Ta có BD
⊥
(SAC)
⇒
BD
⊥
OK
⇒
OK là đường vuông góc chung của
BD và SC
⇒

d BD SC OK
( , )
=
.
Tính OK:

∆
SOC có
a
SO
OC .OS a a
OK OK
a

OK OC OS OC OS
OC
2 2 2
2
2 2 2 2 2
14
1 1 1 7 7
2
16 4
2
2

=


⇒ = + ⇒ = = ⇒ =

+

=




========================
S
A B
C
M
D

O
H
K
S
A
B
C
I
M