Đề thi học kì môn Toán lớp 11 (26)

Đề số 12
ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 2011 – 2012
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a)
x
x
x x
3
2
1
2
8 1
lim
6 5 1
→
−
− +
b)
x
x
x x
3
2
0
1 1
lim
→
+ −

+
Câu 2: (1,0 điểm) Tìm m để hàm số sau liên tục tại điểm x = 1:
x x
khi x
f x
x
m khi x
2
2
1
( )
1
1

+ −

≠
=

−

=


Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
x x
y
x
2

2
2 2
1
− +
=
−
b)
y x1 2tan= +
.
Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD).
a) Chứng minh: (SAB) ⊥ (SBC).
b) Chứng minh: BD ⊥ (SAC).
c) Cho SA =
a 6
3
. Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD).
II. Phần riêng: (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần sau:
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Tính giới hạn:
n
n n n
2 2 2
1 2 1
lim
1 1 1
 
−
+ + +
 ÷
+ + +

 
.
Câu 6a: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số
f x x( ) sin3=
. Tính
f
2
π
 
′′
−
 ÷
 
.
b) Cho hàm số
y x x
4 2
3= − +
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 3 .
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Tìm số hạng đầu và công bội của một cấp số nhân, biết:
u u u
u u
1 3 5
1 7
65
325

− + =


+ =

.
Câu 6b: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số
f x x x( ) sin2 cos2= −
. Tính
f
4
π
 
′′
−
 ÷
 
.
b) Cho hàm số
y x x
4 2
3= − +
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc
với đường thẳng d:
x y2 3 0+ − =
.
Hết
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
1
Đề số 12
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 2011 – 2012

Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM
1 a)
x x
x x x x
x x
x x
3 2
2
1 1
2 2
8 1 (2 1)(4 2 1)
lim lim
(2 1)(3 1)
6 5 1
→ →
− − + +
=
− −
− +
0,50
x
x x
x
2
1
2
4 2 1
lim 6

3 1
→
+ +
= =
−
0,50
b)
( )
x x
x x
x x
x x x
3 3
2
0 0
3
1 1
lim lim
( 1) 1 1
→ →
+ −
=
+
+ + +
0,50
( )
x
x
x x
2

0
3
lim 0
( 1) 1 1
→
= =
+ + +
0,50
2
x x
khi x
f x
x
m khi x
2
2
1
( )
1
1

+ −

≠
=

−

=


f m(1) =
0,25
x x x
x x
f x x
x
2
1 1 1
2
lim ( ) lim lim( 2) 3
1
→ → →
+ −
= = + =
−
0,50
f x( )
liên tục tại x = 1 ⇔
x
f f x m
1
(1) lim ( ) 3
→
= ⇔ =
0,25
3 a)
( )
x x x x x x x
y y
x

x
2 2 2
2 2
2
2 2 (2 2)( 1) 2 ( 2 2)
1
1
− + − − − − +
′
= ⇒ =
−
−
0,50
⇒
x x
y
x
2
2 2
2 6 2
( 1)
− +
′
=
−
0,50
b)
x
y x y
x

2
1 tan
1 2tan
1 2tan
+
′
= + ⇒ =
+
1,00
4
0,25
a)
Chứng minh: (SAB) ⊥ (SBC).
BC AB BC SA,⊥ ⊥

BC SAB( )⇒ ⊥
0,50
2
BC SBC SBC SAB( ) ( ) ( )⊂ ⇒ ⊥
0,25
b)
Chứng minh: BD ⊥ (SAC)
BD AC BD SA,⊥ ⊥
0,50
BD SAC( )⇒ ⊥
0,50
c)
Cho SA =
a 6
3

. Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD)
Vì
SA ABCD( )⊥ ⇒
AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)
0,25
( )
·
( )
·
·
SC ABCD SC AC SCA,( ) ,= =
0,25
·
( )
·
·
SA a
SCA SC ABCD SCA
AC
a
0
6 1
tan ,( ) 30
3 2 3
= = = ⇒ = =
0,50
5a
Tính giới hạn:
2 2 2
1 2 1

lim
1 1 1
n
I
n n n
 
−
= + + +
 ÷
+ + +
 
.
Tính được:
n n
n n n n
2 2 2 2
1 2 1 1 2 ( 1)

1 1 1 1
 
− + + + −
+ + + =
 ÷
+ + + +
 
n n n n
n n
2 2
(1 1)( 1) ( 1)
2( 1) 2( 1)

+ − − −
= =
+ +
0,50
2
2
2
1
1
1
lim lim
2
2
2 2
2
n n
n
I
n
n
−
−
⇒ = = =
+
+
0,50
6a a)
Cho hàm số
f x x( ) sin3=
. Tính

f
2
π
 
′′
−
 ÷
 
.
Tìm được
f x x f x x'( ) 3cos3 ( ) 9sin3
′′
= ⇒ = −
0,50
Tính được
f
3
9sin 9
2 2
π π
 
−
′′
− = − = −
 ÷
 
0,50
b)
Gọi
x y

0 0
( ; )
là toạ độ của tiếp điểm.
Giải phương trình
x
x x x x
x
04 2 2 2
0 0 0 0
0
0
3 3 ( 1) 0
1

=
− + = ⇔ − = ⇔

= ±


0,25
y x x
3
' 4 2= −
Với
x k PTTT y
0
0 0 : 3= ⇒ = ⇒ =
0,25
Với

x k PTTT y x
0
1 2 : 2 5= − ⇒ = − ⇒ = − +
0,25
Với
0
1 2 : 2 1x k pttt y x= ⇒ = ⇒ = +
0,25
5b
u u u
u u
1 3 5
1 7
65
325

− + =

+ =

.
Gọi số hạng đầu là
1
u
và công bội là q ta có hệ phương trình:
2 4
1 1 1
6
1 1
65

325
u u q u q
u u q

− + =


+ =


. Dễ thấy cả
u q
1
0, 0≠ ≠
0,25
q
q q q
q q
6
6 4 2
2 4
1
5 5 5 4 0
1
+
⇒ = ⇔ − + − =
− +
0,25
Đặt
t q

2
=
t t t q q q
3 2 2 4 2
5 5 4 0 ( 4)( 1) 0⇒ − + − = ⇔ − − + =
0,25
3
2
2
q
q

=
⇔

= −

Với
1
6
325 325
2 5
65
1
q u
q
= ± ⇒ = = =
+
0,25
6b a)

Cho hàm số
f x x x( ) sin2 cos2= −
. Tính
f
4
π
 
′′
−
 ÷
 
.
Viết được
( ) 2sin 2
4
f x x
π
 
= −
 ÷
 
0,25
f x x f x x( ) 2 2 cos 2 ( ) 4 2 sin 2
4 4
π π
   
′ ′′
= − ⇒ = − −
 ÷  ÷
   

0,50
1
" 4 2 4
4
2
f
π
 
 
−
= − − =
 ÷
 ÷
 
 
0,25
b)
Cho hàm số
y x x
4 2
3= − +
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp
tuyến vuông góc với đường thẳng d:
x y2 3 0+ − =
.
Vì tiếp tuyến vuông góc với d:
1 3
2 2
y x= − + ⇒
nên tiếp tuyến có hê số góc k = 2

0,25
Gọi
x y
0 0
( ; )
là toạ độ của tiếp điểm
y x k x x x x x
3 3
0 0 0 0 0 0
( ) 4 2 2 2 1 0 1
′
= ⇔ − = ⇔ − − = ⇔ =
0,50
y PTTT y x
0
3 : 2 1⇒ = ⇒ = +
0,25
4