Đề thi học kì môn Toán lớp 11 (28)

Đề số 14
ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 2011– 2012
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a)
n n
n n
3 4 1
lim
2.4 2
 
− +
 ÷
 ÷
+
 
b)
( )
x
x x x
2
lim
→+∞
− −
Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x = 3:
x
khi x
x
f x

khi x
x
2
3
3
9
( )
1
3
12

−
<


−
=


≥



Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
x x
y
x
2
2 6 5

2 4
− +
=
+
b)
x x
y
x x
sin cos
sin cos
+
=
−
Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có AB = BC = a, AC =
a 2
.
a) Chứng minh rằng: BC ⊥ AB′.
b) Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh (BC′M) ⊥ (ACC′A′).
c) Tính khoảng cách giữa BB′ và AC′.
II. Phần riêng: (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần sau:
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Tính giới hạn:
n
n n
2
1 2
lim
3
+ + +
+

.
Câu 6a: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số
y x x2010.cos 2011.sin= +
. Chứng minh:
y y 0
′′
+ =
.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y x x
3 2
3 2= − +
tại điểm M ( –1; –2).
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Tìm x để ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng, với:
a x10 3
= −
,
b x
2
2 3= +
,
c x7 4= −
.
Câu 6b: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số:
x x
y
2

2 2
2
+ +
=
. Chứng minh rằng:
y y y
2
2 . 1
′′ ′
− =
.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y x x
3 2
3 2= − +
, biết tiếp tuyến vuông góc với
đường thẳng d:
y x
1
2
9
= − +
.
Hết
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
1
Đề số 14
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 2011 – 2012
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Câu Ý Nội dung Điểm
1 a)
3 1
1
4
3 4 1 1
4
lim lim
2
2.4 2
1
2
2
n
n n
n
n n n
 
− +
 ÷
 
− +
 
= = −
 ÷
 ÷
+
 
 
+

 ÷
 
1,00
b)
( )
2
2
1 1
lim lim lim
2
1
1 1
x x x
x
x x x
x x x
x
→+∞ →+∞ →+∞
− −
− − = = =
− +
− +
1,00
2
x
khi x
x
f x
khi x
x

2
3
3
9
( )
1
3
12

−
<


−
=


≥


x x x
x
f x
x
x
2
3 3 3
3 1 1
lim ( ) lim lim
3 6

9
− − −
→ → →
−
= = =
+
−
0,25
x x
f x f
x
3 3
1 1
lim ( ) lim (3)
6
12
+ +
→ →
= = =
0,50
⇒
f x( )
liên tục tại x = 3
0,25
3 a)
x x x x
y y
x
x
2 2

2
2 6 5 4 16 34
'
2 4
(2 4)
− + + −
= ⇒ =
+
+
1,00
b)
x x x x x x x
y y y
x x
x x x x
2
2 2
sin cos (cos sin ) cos2 sin2 cos2 1
' '
sin cos
(sin cos ) (sin cos )
+ − − − − −
= ⇒ = ⇒ =
−
− −
1,00
4
0,25
a)
Tam giác ABC có

2 2 2 2 2
2 ( 2)AB BC a a AC+ = = = ⇒
∆ABC vuông tại B 0,25
, '( ) (AA' ' ) 'BC AB BC BB gt BC B B BC AB⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥
0,50
b)
Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh (BC′M) ⊥ (ACC′A′).
*) Tam giác ABC cân tại B, MA = MC
, '( ' ( )) (AA' ' )BM AC BM CC CC ABC BM C C⇒ ⊥ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥
0,50
( ' ) ( ' ) ( ' ')BM BC M BC M ACC A⊂ ⇒ ⊥
0,50
c)
Tính khoảng cách giữa BB′ và AC′.
0,50
2
BB′ // (AA′C′C) ⇒
d BB AC d BB AA C C d B AA C C( , ) ( ,( )) ( ,( ))
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
= =
AC a
BM AA C C d B AA C C BM
2
( ) ( ,( ))
2 2
′ ′ ′ ′
⊥ ⇒ = = =
0,50
5a
Tính giới hạn:

2
1 2
lim
3
n
I
n n
+ + +
=
+
.
Viết lại
n n n n
n n n
n n
2
1 2 3 ( 1) 1
2 ( 3) 2( 3)
3
+ + + + + +
= =
+ +
+
0,50
n
n
I
n
n
1

1
1 1
lim lim
6
2 6 2
2
+
+
= = =
+
+
0,50
6a a)
Cho hàm số
y x x2010.cos 2011.sin= +
. Chứng minh:
y y 0
′′
+ =
.
y x x2010sin 2011cos
′
= − +
,
" 2010cos 2011siny x x= − −
0,50
" 2010cos 2011sin 2010cos 2011sin 0y y x x x x+ = − − + + =
0,50
b)
Viết PTTT của đồ thị hàm số

y x x
3 2
3 2= − +
tại điểm M ( –1; –2).
y x x k y
2
3 6 ( 1) 9
′ ′
= − ⇒ = − =
0,50
Phương trình tiếp tuyến là
y x9 7= +
0,50
5b
Tìm x để ba số a, b, c lập thành CSC, với:
a x10 3= −
,
b x
2
2 3= +
,
c x7 4= −
.
Có
a c b x x
2
2 17 7 4 6+ = ⇔ − = +
0,50
x
x x

x
2
1
4 7 11 0
11
4

=

⇔ + − = ⇔
−

=


0,50
6b a)
Cho hàm số:
x x
y
2
2 2
2
+ +
=
. Chứng minh rằng:
y y y
2
2 . 1
′′ ′

− =
.
y x y' 1 " 1= + ⇒ =
0,50
y y x x x x x y
2 2 2 2
2 . " 1 ( 2 2).1 1 2 1 ( 1)
′
− = + + − = + + = + =
0,50
b)
Viết PTTT của đồ thị hàm số
y x x
3 2
3 2= − +
, biết TT vuông góc với đường thẳng
d:
y x
1
2
9
= − +
.
*) Vì TT vuông góc với d:
y x
1
2
9
= − +
nên hệ số góc của TT là k = 9

0,25
Gọi
x y
0 0
( ; )
là toạ độ của tiếp điểm.
y x k x x x x
2
0 0 0 0 0
( ) 3 6 9 0 1, 3
′
= ⇔ − − = ⇔ = − =
0,25
Với
x y PTTT y x
0 0
1 2 : 9 7= − ⇒ = − ⇒ = +
0,25
x y PTTT y x
0 0
3 2 : 9 25= ⇒ = ⇒ = −
0,25
3