Chuyên đề hệ phương trình ôn thi đại học môn toán
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.08 MB, 134 trang )
1
PHẦN 1.HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐƠN GIẢN 4
A.HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 4
I.HỆ PHƢƠNG TRÌNH CỔ ĐIỂN 4
B.HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN 13
C.HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN 16
I.HỆ GỒM 1 PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ 1 PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI 16
II. HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 1 17
III. HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2 29
IV. HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP 35
D. HỆ PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ 42
E.HÊ PHƢƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 75
F.HỆ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC 92
PHẦN 2. HỆ PHƢƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC 103
PHẦN 3. TRẮC NGHIỆM 122
PHẦN 4. CÓ THỂ EM CHƢA BIẾT ? 133
PHẦN 5. PHỤ LỤC 137
Trang
2
A.HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
I. Hệ phương trình cổ điển:
1/ Phƣơng pháp:
Hệ pt bậc nhất 2 ẩn có dạng:
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
* TH 1: a
1
= b
1
= a
2
= b
2
=0, ta có;
1
2
0
0
c
c
* TH2:
2 1 2 2
1 1 2 2
0a b a b
.
Tính:
11
22
ab
D
ab
;
11
22
x
cb
D
cb
;
11
22
y
ac
D
ac
+ Nếu
0D
: hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất:
x
y
D
x
D
D
y
D
+ Nếu D = 0
0
x
D
hay
0
y
D
: hệ phương trình vô nghiệm.
D
x
= D
y
= 0 : hệ phương trình có vô số nghiệm:
xR
, được tính theo x
2/ Ví dụ:
VD1: Giải hệ phương trình:
6 3 2
5
11
4 2 4
2
11
xy
yx
xy
yx
Đặt
21
,
11
xy
uv
yx
. Hệ đã cho trở thành
2
3 2 5
1
2 4 2
2
u
uv
uv
v
Ta được hệ phương trình:
21
2
0
2 2 1
1
1
21
1
2
12
x
x
xy
y
xy
y
y
x
Vậy
1
0;
2
S
Đúng: hpt có vô số nghiệm
,x R y R
Sai: hpt vô nghiệm
3
VD2:Định m để hệ vô nghiệm
2
2 3 1 3
2
m x m y
I
m x y y
2
2 3 1 3
22
m x m y
I
mx m y
Ta có
2 3 2
2 2 3 1 2 7 3
3 2 6 1 3
x
D m m m m m m m
D m m m
Hệ đã cho vô nghiệm
2
32
2
0
0
2 7 3 0
2 7 3 0
30
0
1
2 7 3 0 3
2
x
D
I
D
m m m
m m m
m
m
m m m m
Vậy hệ vô nghiệm khi:
1
3
2
mm
VD3: định m để hệ có vô số nghiệm:
41
6 2 3
x my m
m x y m
Ta có:
2
2
2
8 6 6 8
2 1 3 2
4 3 1 6 11 18
x
y
D m m m m
D m m m m m
D m m m m m
Hệ có vô số nghiệm
0
0
0
x
y
D
D
D
2
2
2
68
24
2 2 1 2
29
11 18
mm
mm
m m m m m
mm
mm
Vậy hệ có vô số nghiệm khi m= -2.
VD 4: Tìm các giá trị của b sao cho với mọi thì hệ phương trình sau có nghiệm
2
2
1
x ay b
ax a y b
Ta có:
2
2
12
1
0 2 1 0 1
2
D a a
D a a a a
4
Thì hệ luôn có nghiệm
Khi a = -1, hệ trở thành:
2
2
2
x y b
x y b
Hệ có nghiệm
22
0 0 1b b b b b b
Khi
1
2
a
, hệ trở thành
2
2
xyb
x y b
Hệ có nghiệm
2
1
2 2 1 0 0
2
b b b b b b
Vậy hệ có nghiệm với mọi
a
khi:
01
0
1
0
2
bb
b
bb
VD5: Giải và biện luận hệ phương trình sau:
11
11
a x by
b x ay
Hệ tương đương:
11
11
ax a by ax by a
bx b ay bx ay b
Ta có:
22
1
x
y
D a b a b a b
D a b a b
D a b
Biện luận:
1/
22
00D a b a b
Hệ có nghiệm duy nhất:
1
1
x
y
a b a b
D
x
D a b a b
D
y
D a b
2/
0; 0; 0
xy
a b D D D
*
0b
: Hệ có vô số nghiệm.
3/
; 0; 2
y
a b D D b
0; 0; 0
y
b D D
hệ vô nghiệm
4/
0. 0. 1
0:
0. 0. 1
xy
ab
xy
hệ vô nghiệm
VD6: Tìm m để hệ phương trình
( 1) 8 4
( 3) 3 1
m x y m
mx m y m
có nghiệm duy nhất
Hướng dẫn giải:
Ta có:
1m
D
m
8
3m
2
( 1)( 3) 8 4 3m m m m m
Hệ đã cho có nghiệm duy nhất
2
0 4 3 0D m m
5
1m
và
3m
.
VD7:Giải và biện luận hệ phương trình:
2 (1)
4 6(2)
mx y m
x my m
Hướng dẫn giải:
Từ (1) suy ra
2y mx m
, thay vào (2) ta được:
22
4 ( 2 ) 6 (4 ) 2 6x m mx m m m x m m
2
( 4) ( 2)(2 3)m x m m
(3)
i)
2
4 0 2mm
: Hệ có nghiệm duy nhất:
2
2 3 2 3
; 2 2
2 2 2
m m m m
x y mx m m
m m m
ii) m=2: Hệ trở thành
24
24
4 2 8
xy
xy
xy
.
Hệ có vô số nghiệm
( ;2 4);x x x R
iii) m=-2:(3) trở thành
04x
:Hệ vô nghiệm.
Bài tập củng cố:
Bài 1:Giải hệ phƣơng trình:
( 3) 5)
)
( 2)( 5)
1 1 3
4
)
1 1 2
6 5 15
x y xy
a
x y xy
xy
b
xy
c/
5 4 3
7 9 8
xy
xy
d/
3 2 7
5 3 1
xy
xy
e/
3 2 1
2 2 3 0
xy
xy
f
3( )
7
55
3
xy
xy
xy
yx
6
g/
65
3
9 10
1
xy
xy
h/
62
3
22
34
1
22
x y x y
x y x y
k/
11
11
m
x y x y
n
x y x y
j/
41
3
1
22
4
1
xy
xy
l/
2 4 1
2 4 2 5
xy
xy
Bài 2: Giải và biện luận hệ phƣơng trình:
a)
2
42
x my
mx y m
b)
2
7 4 2
5 3 1
36
xy
xy
mx y m
c/
0
1
x my
mx y m
d/
2 3 5
( 1) 0
ax y
a x y
e/
4
2 ( 1)
mx y m
x m y m
7
f/
31
2 ( 1) 3
mx y m
x m y
g/
10
20
mx y
x my
Bài 3:Tìm các giá trị của m để nghiệm của hệ phƣơng trình sau là số dƣơng:
2
3
xy
mx y
Bài 4: Cho hệ phƣơng trình:
2
1
mx y m
x my m
a/ tìm m đễ hệ có nghiệm duy nhất. Tìm hệ thức liên hệ x, y độc lập với m.
b/ Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.
Bài 5: Cho hệ phƣơng trình:
30
2 1 0
x my m
mx y m
a/ Định m để hệ có nghiệm duy nhất
b/ gọi (x,y) là nhgiệm của hệ,tìm hệ thức liên hệ giữa x,y độc lập với m.
Bài 6: Định m nguyên để hệ có nghiệm nguyên
1/
2
( 1) ( 1) 1
mx y m
m x m y
; 2/
22
22
( 1) 1
mx y m
m x y m
Bài 7: Định m để hệ sau có vô số nghiệm:
1/
2( 2) (5 3) 2( 2)
( 2) 3 2
m x m y m
m x my m
2/
41
( 6) 2 3
x my m
m x y m
3/
2 ( 1) 2
32
x m y
mx y m
Bài 8: Cho 4 số a,b,p,q thỏa mãn abpq (p-q) khác 0. Hãy giải hệ phƣơng trình.
2 2 3 3
2 2 3 3 4 4
0
0
ap bq x ap bq y ap pq
ap bq x ap bq y ap bq
Bài 9: Bằng định thức, giải các hệ phương trình sau:
1/
5 4 3
7 9 8
xy
xy
2/
3 2 7
5 3 1
xy
xy
3/
3 2 1
2 2 3 0
xy
xy
8
4/
2 4 1
2 4 2 5
xy
xy
5/
41
3
1
22
4
1
xy
xy
6/
3( )
7
55
3
xy
xy
xy
yx
7/
65
3
9 10
1
xy
xy
8/
62
3
22
34
1
22
x y x y
x y x y
9/
1
25
xa
yx
10/
11
11
m
x y x y
n
x y x y
11/
2
21
xy
xy
Bài 10: Một ca nô chạy trên dòng sông trong 8 giờ, xuôi dòng 135 km và ngược dòng 63
km. Một lần khác, ca nô cũng chạy trên sông trong 8 giờ, xuôi dòng 108 km và ngược dòng
84 km. Tính vận tốc dòng nước chảy và vận tốc của ca nô( biết rằng vận tốc thật của ca nô
và vận tốc dòng nước chảy trong cả hai lần là bằng nhau và không đổi)
Bài 11 : Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 2p ( mét). Nếu mở rộng miếng đất đó bằng
cách tăng một cạnh thêm 3 mét và cạnh kia thêm 2 m thì diện tích tăng thêm 246 m
2
. Tính
các kích thước của miếng đất đó ( biện luận theo p).
Bài 12 : Giải và biện luận các hệ phương trình:
1/
0
1
x my
mx y m
2/
2 3 5
( 1) 0
ax y
a x y
3/
21
( 1)
ax y
x a y a
4/
( 2) ( 4) 2
( 1) (3 2) 1
a x a y
a x a y
5/
1 (2 3)
( 1) 3 6
a x a y a
a x y
6/
1
3 2 3
x my
mx my m
7/
4
2 ( 1)
mx y m
x m y m
8/
3( )
2
1
xy
a
xy
x y a
yx
9/
6 . (2 ) 3
( 1) 2
a x a y
a x ay
10/
1
21
x my
mx y m
11/
. . 1
. . 1
a x b y a
b x a y b
12/
10
20
mx y
x my
13/
22
.
2
a x by a b
bx ay ab
14/
2
2
.a x y a
bx y b
15/
2
2
4
a x b y a b
bx b y b
16/
31
2 ( 1) 3
mx y m
x m y
17/
5 ( 2)
( 3) ( 3) 2
x a y a
a x a y a
Bài 13 : Với giá trị nào của a thì mỗi hệ phương trình sau có nghiệm:
1/
( 1) 1
( 1) 2
a x y a
x a y
2/
( 2) 3 3 9
( 4) 2
a x y a
x a y
3/
2
( 1) ( 1) 1
ax y a
a x a y
4/
31
34
x ay
ax y a
5/
3
2 3 4
( 1) ( 1) 2
( 1) ( 1) 1
a a x a a y a
a x a y a
9
Bài 14: Tìm tất cả các cặp số nguyên (a;b) sao cho hệ phương trình sau có nghiệm:
2
64
ax by
x by
Bài 15 : Định m để các hệ phương trình sau vô nghiệm:
1/
2
1
( ) 2
mx my m
m m x my
2/
2
2 3( 1) 3
( ) 2 2
m x m y
m x y y
3/
2
5
(2 ) 4
(2 1) 2
m x m m
mx m y m
Bài 16 : Định ( a; b ) để hệ phương trình sau vô nghiệm :
ax by a b
bx ay a b
Bài 17: Định m để hệ phương trình sau có vô số nghiệâm:
1/
2( 2) (5 3) 2( 2)
( 2) 3 2
m x m y m
m x my m
2/
41
( 6) 2 3
x my m
m x y m
3/
( 1)
3 (5 ) 2 1
mx m y m
x m y m
4/
2 ( 1) 2
32
x m y
mx y m
5/
(1 ) ( )
(5 ) 2( ) 1
a x a b y b a
a x a b y b
6/
22
2
24
a x by a b
bx by b
7/
2 2 2 2 2
( ) ( )
( ) ( ) 1
a b x a b y a
a b x a b y a
Bài 18: Định m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
1/
8 4 4 0
( 1) ( 2) 4 3 0
mx y m
m x m y m
2/
21
( 1) 1
22
( 3) 2( 2)
m m m
xy
mm
xy
3/
( 5) (2 3) 3 2
(3 10) (5 6) 2 4
m x m m
m x m y m
4/
( 1)( 2) 1
( 3) 2( 2) 2 4
m x m y m
m x y m
5/
2
2
2
( 3) 1
mx y m
x m y m
6/
2
1
x y m
mx my m
7/
1
2
x my
mx y m
Bài 19: Cho hệ phương trình :
2
1
mx y m
x my m
1/ Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất .Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập
với m.
2/ Định m nguyên để hệ nghiệm nguyên có nghiệm duy nhất của hệ là nghiệm nguyên.
Bài 20: Định m nguyên để hệ có nghiệm nguyên:
1/
2
( 1) ( 1) 1
mx y m
m x m y
2/
22
22
( 1) 1
mx y m
m x y m
Bài 21: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất nguyên:
1/
22
( 1) 2 1
2
m x y m
m x y m m
2/
60
2 1 0
mx y
x my m
10
3/
3
21
mx y m
x my m
Bài 22: Cho hệ phƣơng trình:
( 1) 3 1
25
m x my m
x y m
Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) mà x
2
+ y
2
nhỏ nhất
Bài 23: Cho hệ phƣơng trình
2
( 1) 2 1
2
m x my m
mx y m
Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà x.y lớn nhất.
Bài 24: Cho hệ phƣơng trình :
. 2 2
1
a x y
x ay
1/ Chứng minh rằng hệ phương trình có nghiệm với mọi a.
2/ Tìm a để hệ có nghiệm ( x; y) thỏa mãn: x + y > 0
Bài 25: Tìm b để hệ phương trình sau có nghiệm với mọi giá trị của a:
2
3ax y b
x ay b b
Bài 26: Xác định a, b, c để hệ phƣơng trình
2
( 1) 10 3
ax by a b
c x cy a b
có vô số nghiệm,
đồng thời x = 1, y = 3 là một nghiệm trong các nghiệm đó.
Bài 27: Cho hệ phương trình:
( 1) ( 1)
(3 ) 3 2
m x m y m
m x y
1/ Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm. Khi đó, hãy tính theo m các
nghiệm của hệ .
2/ Tìm nghiệm gần đúng của hệ, chính xáx đến hàng phần nghìn khi m
Bài 28: Cho hệ phƣơng trình:
30
2 1 0
x my m
mx y m
1/ Định m để hệ có nghiệm duy nhất
2/ Gọi (x;y) là nghiệm của hệ. Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập với m.
B. HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 3 ẨN:
1. Phƣơng pháp:
Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng :
11
1 1 1 1
2 2 2
2 2 2 2
3 3 3 3
, 0, 1,2,3
i i i
a x b y c z d
a x b y c z d a b c i
a x b y c z d
Các phương pháp giải hệ phương trình này là: pp Gau – xơ, pp Cramer, pp thế.
2. Ví dụ:
VD1: Giải hệ:
3 2(1)
4 2 3 15(2)
2 4 7(3)
x y z
x y z
x y z
Hướng dẫn giải:
Ta khử ẩn z ở phương trình (2) và (3) bằng cách nhân (1) với 3 rồi cộng vào (2), nhân (1)
với -4 rồi cộng vào (3). Khi đó ta được:
32
7 7 21(2')
2 11 15(3')
x y z
xy
xy
Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (2’) và (3’) ta được x=-2,y=1. Thay các giá rị này vào
(1) ta được z=3. Vậy hệ đã cho có nghiệm (-2;1;3).
VD 2:Biết rằng hệ phương trình
ax by c
bx cy a
cx ay b
có nghiệm
Hãy chứng minh:
3 3 3
3a b c abc
Hướng dẫn giải:
Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ đã cho. Khi đó:
ax by c
bx cy a
cx ay b
, suy ra
23
23
23
()
()
()
c ax by c
a bx cy a
b cx ay b
Cộng từng vế ta được:
3 3 3 2 2 2 2 2 2
a b c a bx a cy b cx b ay c ax c by
( ) ( ) ( )
3
ab ax by bc bx cy ca cx ay
abc bca cab abc
Bài tập củng cố:
1/Giải hệ phƣơng trình:
12
21
) 6 3 2 5
4 2 3 16
3 2 5
)0
4 5 3
25
) 2 2 5
7 10
x y z
a x y z
x y z
x y z
b x y z
x y z
x y z
c x y z
x y z
d)
4 4 0
5 2 3
8 2 1
x y z
xyz
z y z
e)
11
25
3 2 14
x y z
x y z
x y z
f)
2
2
2
2
3
4
x xy xz
y yz xy
z xz yz
g)
3 2 9
2 3 2 3
4 3 11
x y z
x y z
x y z
h)
3 2 2
2 5 5
3 7 4 8
x y z
x y z
x y z
j)
52
2 9 2 8
3 4 5
x y z
x y z
x y z
2/ Giải và biện luận hệ phƣơng trình theo tham số m,a
12
) 5 4 46
5 3 38
x y z
a ax y z
x ay z
2
)3
2
ax y z a
b x ay z a
x y az
13
c)
2
24
4 ( 1)
xy
xy
x y m z m
e)
1
2 3 3
32
x y z
x y mx
x my z
3/ Giải và biện luận hệ phƣơng trình (với a,b,c là tham số, a+b+c
0)
0
)0
0
)
ax by cz
a bx cy az
cx ay bz
ax by cz a b c
b bx cy az a b c
cx ay bz a b c
c)
( )( )
( )( )
( )( )
a b x y cz a b
b c y z ax b c
a c x z by c a
d)
23
32
58
x y z a
x y z b
x y z c
4/ Giải hệ phƣơng trình:1/
6
5
4
3
12
7
xy
xy
yz
yz
zx
zx
;
5
2) 11
7
( ) 4
3) ( ) 9
( ) 1
xy x y
yz y z
zx z x
x y z
y z x
z x y
Bài 5: Giả sử hệ :
ax by c
bx cy a
cx ay b
có nghiệm
Chứng minh rằng:
3 3 3
3a b c abc
Bài 6: Cho tam giác ABC có các cạnh a = 7, b = 5, c = 3.Hãy tìm bán kính đƣờng tròn
tâm A, tâm B, tâm C đôi một tiếp xác nhau.
14
C.HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN:
I. Hệ phƣơng trình gốm 1 phƣơng trình bậc nhất và 1 phƣơng trình
bậc hai:
1. Phƣơng pháp:
Có dạng :
22
ax by c
dx exy fy gx hy k
Từ phương trình bậc nhất, ta tính y theo x ( hay x theo y) và thế vào phương trình bậc hai
để được phương trình bậc hai theo 1 ẩn x ( hay ẩn y)
2. Ví dụ:
Bài tập củng cố:
Bài 1:Giải các hệ phƣơng trình sau:
1/
2
2 3 1
24
xy
x xy
2/
3 4 1 0
3( ) 9
xy
xy x y
3/
2 3 2
60
xy
xy x y
4/
2
4
2 5 0
y x x
xy
5/
22
2 3 5
3 2 4
xy
x y y
6/
22
25
7
xy
x xy y
7/
22
3 2 5 4 0
24
x xy y x y
xy
8/
22
2
164
xy
xy
9/
22
57
21
x xy y
xy
10/
22
2 7 0
2 2 4 0
xy
y x x y
11/
2
4 9 6
3 6 3 0
xy
x xy x y
12/
22
2 3 7 12 1
10
x xy y x y
xy
13/
(2 3 2)( 5 3) 0
31
x y x y
xy
Bài 2: Giải các hệ phƣơng trình sau:
1/
22
1 1 1
3 2 3
1 1 1
9 4 4
xy
xy
2/
22
1 1 1
13
1 1 1
( 1) 4
xy
xy
3/
3
2
12
4
x y x y
xy
xy
Bài 3: Giải các hệ phƣơng trình :
1/
42
( ) 4( ) 117 0
25
x y x y
xy
2/
22
(18 18 18 17)(12 12 1) 0
3 4 0
x x y x xy
xy
3/
33
1
7
xy
xy
4/
22
( )( ) 45
5
x y x y
xy
Bài4: Giải các hệ phƣơng trình:
15
1/
22
( ) 2( ) ( )( ) 2
2
x a y a x a y a
xy
2/
22
( ) ( ) 11
27
x m y y x m
x y m
3/
22
2( ) ( 2 ) 2
3 2 5
x m y m m
x y m
Bài 5: Giải và biện luận theo tham số a của hệ phƣơng trình:
4 4 4
x y a
x y a
II. Hệ phƣơng trình đối xứng loại 1:
1. Phƣơng pháp:
Hệ đối xứng loại 1 có đặc trưng là nếu thay x bởi y, y bởi x thì mỗi phương trình trong hệ
không đổi.
Cho hệ đối xứng loại 1: (I)
( ; ) 0
( ; ) 0
f x y
g x y
- Đặt S = x + y và P = x.y, biến đổi hệ (I) thành hệ theo S và P :
(II)
( ; ) 0
( ; ) 0
F S P
G S P
Giải hệ (II) để tính S và P.
Điều kiện để tồn tại x, y là
2
00
40SP
Với mỗi cặp nghiệm ( S
0
; P
0
) của (II) thì x, y là nghiệm của phương trình X
2
– S
0
P + P
0
= 0.
Ngoài ra, ta cũng có thể đặt ẩn phụ thì hệ phương trình mới có dạng đối xứng, nhưng khi đó
ta cần lưu ý đến điều kiện.
* Chú ý: Tính chất của nghiệm đối xứng :
- Nếu ( x
o
; y
0
) là một nghiệm thì ( x
0
; y
0
) cũng là một nghiệm của hệ. Do đó, nếu hệ có
nghiệm duy nhất ( x
0
; y
0
) thì nghiệm đó cũng là ( y
0
; x
0
), suy ra x
0
= y
0
.
2. Ví dụ:
VD1: Giải hpt sau:
22
3
2
x y xy
I
x y y x
Đây là hpt đối xứng loại 1
3
2
x y xy
I
xy x y
Đặt:
S x y
P xy
với
2
40SP
Hpt đã cho trở thành:
16
3
2
1
2
2
1
SP
SP
S
P
l
S
P
Với
2
1
S
P
thì
2
1
xy
xy
1
1
x
y
Vậy hệ có nghiệm x = 1 và y = 1
VD2:
Giải hệ phương trình:
22
22
8
7
x y x y
x y xy
Hướng dẫn giải:
Ta có
22
22
8
7
x y x y
x y xy
2
2
( ) 8
( ) 7
x y xy x y
x y xy
Có dạng
2
2
28
7
S P S
SP
với
S x y
P xy
22
2
2( 7) 8
7
S S S
PS
thoả S
2
– 4P
0
Với
2 3 1
3 1 3
S x y x x
hay
P xy y y
Với
3 1 2
2 2 1
S x y x x
hay
P xy y y
VD3:
Giải hệ phương trình:
22
2 3 2
6
x xy y
xy
Hướng dẫn giải:
Đặt
S x y
;
P xy
, ta có hệ:
2 2 2
2
2 10 6 2 ( 1) (3 2)
2 3 2
26
2 3 2 2 3 2
S S S
SP
SP
S P P S
17
22
22
42
6 4 2
S
P
S
P
Với
22S
;
22P
; x,y là nghiệm phương trình:
2
2
(2 2) 2 2 0
2
X
XX
X
Với
42S
;
6 4 2P
;x,y là nghiệm phương trình:
2
(4 2) 6 4 2 0XX
: vô nghiệm.
Vậy hệ có nghiệm:
(2; 2)
và
( 2;2)
.
VD4:
Giải hệ phương trình:
33
2
( ) 2
xy
xy x y
Hướng dẫn giải:
3 3 3
2 ( ) 3 ( ) 2
( ) 2 ( ) 2
x y x y xy x y
xy x y xy x y
Đặt:
;u x y v xy
Ta có
33
3 2 6 2
22
u uv u
uv uv
22
21
uu
uv v
Vậy
2
1
xy
xy
x,y là nghiệm của phương trình
2
2 1 0XX
1X
Vậy nghiệm
( ; )xy
của hệ đã cho là
(1;1)
.
VD5: Cho hệ phương trình:
22
x y xy m
x y m
1/ Giải hệ với m=5
2/ Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm?
Giải:
1/Với m=5, ta có:
18
22
5
5
x y xy
xy
2
5
( ) 2 5
x y xy
x y xy
22
52
2 5 2 15 0
S P P S
S P S S
3
2
5
10
S
P
S
P
Ta chỉ nhận
3
2
S
P
thoả S
2
- 4P
0
Ta chỉ nhận
3
2
S
P
thoả S
2
– 4P
0 nên x,y là nghiệm của phương trình X
2
– 3X +2 =0
1
2
X
X
Vậy
12
21
xx
hay
yy
2/ Giá trị của m để hệ có nghiệm
Ta có:
2 2 2
(1)
2 (2)
x y xy m S P m
x y m S P m
với
S x y
P xy
2
2
3 3 0
2( )
P m S
S S m
S m S m
1
11
2
22
1 1 3
1 1 3
Sm
P m S
Sm
P m S
( với điều kiện 1+3m
0
m
-
1
3
)
Với m
-
1
3
hệ phương trình sẽ có nghiệm nếu S
2
4P hay:
2
11
2
22
4
4
SP
SP
2
2
( 1 1 3 ) 4( 1 1 3 )
( 1 1 3 ) 4( 1 1 3 )
m m m
m m m
1 1 3 2 1 3 4 4 4 1 3
1 1 3 2 1 3 4 4 1 3
m m m m
m m m m
2 1 3 ( 2)
2 1 3 2 0
mm
mm
(loại vì m
-
1
3
)
( với m
-
1
3
)
4(1+3m)
m
2
+4m+4
m
2
-8m
0
m
0;8
Vậy m
0;8
Giả sử (x,y) là nghiệm của hệ phương trình:
19
VD6:Cho hệ phƣơng trình
2 2 2
21
23
x y a
x y a a
Xác định a để tích xy nhỏ nhất
Giải
Ta có:
2
22
21
21
3
2 2 3
32
2
Ss
Sa
a
S P a a
Pa
Để phương trình có nghiệm thì :S2 - 2P
0
(2a – 1)2-4(
2
3
2
a
- 3a + 2)
0
-2a + 8a -7
0
a
22
2 ;2
22
P = xy =
2
3
32
2
a
a
là biểu thức hàm bậc hai có hoành độ đỉnh cực tiểu nhỏ nhất tại a= 1
2-
2
2
Vậy xy đạt giá trị nhỏ nhất tại a=2-
2
2
VD7: Cho hệ phương trình
22
38
x y xy a
x y xy a
a/ Giải hệ với a =
7
2
b/ Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm
Giải
a/ Ta có :
22
22
38
7
2
5
2
x y xy a
x y xy a
x y xy
x y xy
7
2
5
.
2
SP
SP
1
5
2
5
2
1
S
P
S
P
Ta chỉ nhận
5
2
1
S
P
thoả điểu kiện S
2
– 4P
0 và x, y là nghiệm của phương trình
20
X
2
-
5
2
X + 1= 0
2
1
2
X
X
Vậy
21
hay
2
1
2
2
x
x
y
y
b/ Trường hợp tổng quát
. 3 8
S P a
S P a
thì S,P là nghiệm của phương trình X
2
– aX +3a – 8
=0 (1)
Phương trình có nghiệm khi
2
4(3 8) 0aa
2
4
12 32 0
8
a
aa
a
Với điều kiện đó phương trình (1) có nghiệm
2
1
2
2
12 32
2
12 32
2
a a a
X
a a a
X
Nếu chọn S=
2
12 32
2
a a a
và P=
2
12 32
2
a a a
thì hệ có nghiệm khi
S2 – 4P
0
(
2
12 32a a a
)
2
8(
2
12 32a a a
)
a2 – 10a +16
(a+4)
2
12 32aa
(a - 2)(a – 8)
(a+4)
( 4)( 8)aa
(2)
Nếu chọn S=
2
12 32
2
a a a
và P=
2
12 32
2
a a a
thì hệ có nghiệm khi:
S2 – 4P
0
(a – 2)(a – 8)
-(a+4)
( 4)( 8)aa
(3)
Từ (2) va (3) suy ra:
(a – 2)(a – 8)
-
4a
( 4)( 8)aa
(4)
Vì (a – 2)(a – 8)
0
2
8
a
a
thì thỏa (4)
Do đó với a
2;4
thì (a – 2)(a – 8) < 0 nên
21
(4)
2 2 2
2
( 2) ( 8) ( 4) ( 4)( 8)
4 13 8 0
13 3 33 13 3 33
;
88
a a a a a
aa
a
Kết hợp với các điều kiện trên ta thấy hệ phương trình đã cho có nghiệm khi a
13 3 33
8
hay a
8
Bài tập củng cố:
Bài 1/ Giải hệ phương trình:
22
4
2
x xy y
x xy y
HD: Đặt S= x + y & P= xy với điều kiện S2 - P
0 ta được kết quả
20
hay
02
xx
yy
Bài 2/ Giải hệ phương trình
30
35
x y y x
x x y y
HD: Đặt S=
xy
& P=
xy
ta được kết quả
94
49
xx
hay
yy
Bài 3/ Giải hệ phương trình
22
2 3 2
6
x xy y
xy
HD: Đặt S= x + y & P= xy với điều kiện S2 - P
0 ta được kết quả
2
2
22
x
x
hay
yy
Bài 4/ Giải hệ phương trình
a)
22
22
1
( ) 1 5
1
19
xy
xy
xy
xy
HD:
1
35
hay
2
35
1
2
x
x
y
y
Bài 5/Giải hệ phương trình:
22
22
5
)
7
xy
a
x xy y
c)
22
22
11
5
11
49
xy
xy
xy
xy
22
15
)
42
xy
b
x y x y
3 3 3 3
17
)
5
x x y y
d
x xy y
Bài 6/ Giải hpt sau:
55
9 9 4 4
1xy
x y x y
( ĐS:
0;1 , 1;0
)
Giải hệ phương trình:
22
4
2
x xy y
x xy y
HD: Đặt S= x + y & P= xy với điều kiện S2 - P
0 ta được kết quả
20
hay
02
xx
yy
Bài 7:
Cho hệ phương trình
22
2
4 (1)
3 4 (2)
x xy y k
y xy
1/ Giải hệ với k = 1
2/ Chứng tỏ rẳng hệ có nghiệm với mọi k
HD: 1/
11
hay
44
xx
yy
2/ ket hợp 2 phương trình để tìm x theo y va thay vào phương trình còn lại để còn một
phương trình theo ẩn y duy nhất
Bài 8: Cho hệ phương trình
22
2
2(1 )
( ) 4
x y a
xy
1/ Giải hệ với a=1
2/ Tìm các giá trị của a để hệ có đúng 1 nghiệm
HD: 1/ Đặt S= x + y & P= xy với điều kiện S2 - P
0 ta được kết quả
02
hay
20
xx
yy
2/
22
2
2(1 )
( ) 4
x y a
xy
2
( ) 2 2(1 )
2
x y xy a
xy
1
2
xy a
xy
Điều kiện có nghiệm là (x+y)
2
– 4xy
0
4 – 4(1 – a)
0
a
0
Vậy x,y là nghiệm của phương trình có cùng biệt số
' a
và có 4 nghiệm khác nhau X= 1
a
,
X’= -1
a
khi a>0 ,nên để chỉ còn 2 nghiệm a thì a=0 , lúc đó X=x = y=1, X’=x=y= -1
Vậy hệ phương trình có đúng 2 nghiệm là (1:1) , (-1:-1) khi a=0
Bài 9: Cho hệ phương trình
22
22
x y m
x y x
giải va biện luận theo m
HD: 1/ Nếu m=-1 Hệ vô nghiệm
23
2/ Nếu m
-1, hệ có nghiệm
2
2
2
2( 1)
2
2( 1)
m
x
m
mm
y
m
Bài10: Cho hệ phương trình
22
1x xy y m
x y xy m
1/ Giải hệ với m=2
2/ Tìm m để hệ có ít nhất một nghiệm thỏa điều kiện x>0 : y>0
HD:
1/ Đặt S= x + y & P= xy với điều kiện S2 - P
0 ta được kết quả x=y=1
2/x,y là nghiệm của phương trình bậc hai X
2
– SX + P =0 từ đó ta suy ra giá trị của m đệ hệ
có ít nhất một nghiệm thỏa x>0, y>0
ĐS: m
1
0; hay m 2
4
Bài 11: Giải hệ phương trình
30
35
x y y x
x x y y
HD: Đặt S=
xy
& P=
xy
ta được kết quả
94
49
xx
hay
yy
Bài 12: Giải hệ phương trình
22
2 3 2
6
x xy y
xy
HD: Đặt S= x + y & P= xy với điều kiện S2 - P
0 ta được kết quả
2
2
22
x
x
hay
yy
Bài 13: Giải hệ phương trình
22
22
11
5
11
9
xy
xy
xy
xy
HD:
1
35
hay
2
35
1
2
x
x
y
y
Bài 7/ Giải và biện luận hệ sau:
a)
2
2
3
3
x my x
y mx y
b)
5 4 4
1
x y xy
x y xy m
( ĐS:
1
1
4
mm
)
c)
2 2 2
1
23
x y m
x y y x m m
( ĐS:
m
)
d)
22
2
1
xy x y m
x y y x m
( ĐS:
3
1
4
mm
)
e)
22
22
2
2
x y mx y
y x my x
(ĐS;
1m
)
24
Bài 14: Giải các hệ phương trình sau đây:
1/
22
10
4
xy
xy
2/
22
25
12
xy
xy
3/
22
65
1 1 18
xy
xy
4/
22
5
7
x y xy
x y xy
5/
22
2( 2)
6
x y xy
xy
6/
22
5
8
x y xy
x y x y
7/
22
1
2
x y xy
x y x y
8/
22
6
5
x y xy
xy x y
9/
22
3( )
160
x y xy
xy
10/
13
6
5
xy
yx
xy
11/
22
33
13
4
35
8
xy
xy
12/
33
1
61
xy
xy
13/
2
2
144
25
xy
xy
14/
9
90
xy
xy
15/
22
164
2
xy
xy
16/
22
22
( ) 180
11
x y xy
x y xy
17/
3 3 3 3
17
5
x x y y
x y xy
18/
22
40
8
xy
xy z
xy
19/
2 2 2
2 2 2
36
6050
x y z
x y z
x y z
20/
22
35
6
xy
xy
x y z
21/
5( ) 2 19
15 5( ) 175
x y xy
xy x y
22/
22
1 1 1
3
160
xy
xy
23/
22
11
5
11
13
xy
xy
24/
1
3
2
4
2
x
xy
x
xy
25/
33
2
( ) 2
xy
xy x y
26/
22
18
12
xy
yx
xy
25
27/
4 2 2 4
22
481
37
x x y y
x xy y
28/
2 2 2
22
( ) ( ) 100
( )( ) ( ) 34
x xy x y
x xy x y x xy x y
29/
2 2 2 2
22
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )( 2 ) 13
( 2 )( 2 )( 2 2 ) 12
x y y xy x y y xy
x y y xy x y y xy
30/
22
2 ( 3) 2 ( 3) 9 0
2( ) 6 0
x y x y y x
x y xy
31/
22
22
7
3
x y xy
x y xy
32/
2
22
2( ) 1
0
x y xy
x y xy
32/
2
2
1
( 2 ) 10
(2 )
2
3
2
xy
xy
xy
xy
Bài 15 : Tính hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền thì 185m, biết
rằng nếu giảm mỗi cạnh góc vuông đi 4 m thì diện tích giảm 506 m
2
.
Bài 16: Tính các cạnh của một tam giác vuông biết rằng tổng hai cạnh góc vuông là 70m và
tổng cạnh huyền với đường cao tương ứng với nó là 74 m.
Bài 17: Xác định m để các hệ phương trình sau có nghiệm:
1/
2
21
x xy m
xy
2/
22
1
2
x y mx
xy
3/
22
1
x y m
xy
4/
22
2
x y m
xy
Bài 18: Xác định m để các hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
1/
2 2( 1)( 1)x y x y
x y xy m
2/
22
3x y xy
x y m
Bài 19: cho hệ phương trình :
22
1x y xy a
x y xy a
Định a để hệ có ít nhất 1 nghiệm(x;y) thỏa điều kiện x > 0 và y > 0
Bài 20 : Cho hệ phương trình:
22
6xy
x y a
Định a để:
a/ Hệ phương trình vô nghiệm.
b/ Hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất.
c/ Hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 21: Giả sử x; y là nghiệm của hệ phương trình
2 2 2
21
23
x y a
x y a a
Xác định a để tích x.y là nhỏ nhất.
