đề toán thi thử THPT QG năm 2015 đề số 192

SỞ GD & ĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG 2

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 3 NĂM 2015
MÔN THI: TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
3
32y x x   
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
 
C
của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
 
C
tại giao điểm của (C) với đường thẳng
2yx  
biết
tọa độ tiếp điểm có hoành độ dương .
Câu 2 (1,0 điểm). a) Giải phương trình
3sin2 2cos cos2 1xxx  
.
b) Cho số phức
z
thỏa mãn
(1 ) 1 3 0i z i   
.Tìm modun của số phức
w1iz z  

.
Câu 3 (0,5 điểm). Giải phương trình
3
3
2log ( 1) log (2 1) 2xx   
.
Câu 4 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
3 3 2 2
22
4 11 7 9 17 15 0
( 1) ( 2) ( 1)( 2) 1
x y x y xy x y
x y x y

       


      


, với x, y là số thực
Câu 5 ( 1,0 điểm). Tính tích phân
 
1
2x
0
xI x x e d

.
Câu 6 ( 1,0 điểm). Cho hình chóp

.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh
3a
, hình chiếu của
S
lên mặt
phẳng
()ABC
là điểm
H
thuộc cạnh
AB
sao cho
3AB AH
, góc tạo bởi
SC
và mặt phẳng
()ABC
bằng
0
60
. Tính theo
a
thể tích khối chóp
.S ABC
và khoảng cách giữa hai đường thẳng
SA
và

BC
.
Câu 7 ( 1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành
ABCD
biết phương trình
AC
là
10xy  
, điểm
(1;4)G
là trọng tâm tam giác
ABC
, điểm
(0; 3)K 
thuộc đường cao kẻ từ
D
của tam
giác
ACD
. Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình hành biết diện tích tứ giác
AGCD
bằng 32 và điểm
A
có
tung độ dương .
Câu 8 ( 1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm
(1;3; 1)A 
,
( 1;1;3)B 
và đường thẳng

12
:
2 1 1
x y z
d



. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
AB
và tìm tọa độ điểm
C
trên
d
sao cho tam giác
ABC
cân tại
C
.
Câu 9 ( 0,5 điểm). Gọi S là tập hợp các bảng kí tự gồm 8 ô trống mà bạn Hùng đã lập ra , trong đó xếp ngẫu
nhiên các chữ cái Đ, O, Đ, A, I, H, O, C vào 8 ô trống . Tính xác suất để bạn Hùng xếp được dòng chữ ĐO
ĐAI HOC .
Câu 10 ( 1,0 điểm). Cho các số thực không âm
,,abc
thỏa mãn
2 2 2
3abc  
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
2 2 2 2 2 2

1 16
1
ab bc ca
P
abc
a b b c c a
  


  
.
Hết
Họ và tên thí sinh : Số báo danh


ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ TN QUỐC GIA LẦN 3 NĂM 2015.

Câu
ý
Nội dung
Điểm
1
a
* Txđ : R
* Sự biến thiên :
Giới hạn :
limy , lim
x
x
y



   
.
Bảng biến thiên :
2
' 3 3, ' 0 1y x y x      


x -

-1 1 +


y’ - 0 + 0 -
+

0
y
-4 -


Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
( ; 1) 
và
(1; )
, đồng biến trên (-1; 1).
Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và giá trị cực tiểu y(-1) = -4 . Hàm số đạt cực đại tại x = 1
và giá trị cực đại y(1) = 0 .

* Đồ thị : HS tự vẽ đồ thị hàm số
0,25

0,25










0,25


0,25
b
Hoành độ giao điểm của (C) và đt y = -x -2 là nghiệm phương trình :
3
3 2 2 0, 2x x x x x         

2x
(thỏa mãn ).
Với x = 2 thì y(2) = -4 , y’(2) = -9 . Phương trình tiếp tuyến là : y = -9x+14.
0,50

0,50
2

a
pt
2cos ( 3sinx cos 1) 0 cos 0x x x     
hoặc
3sinx - cosx +1 =0
.
Với
cos 0 2
2
x x k


   
.
Với
3sinx - cosx +1 =0
14
sin( ) 2 , 2 .
6 2 3
x x k x k


       

Vậy phương trình có ba họ nghiệm :
4
2 , 2 , 2 .
23
x k x k x k


  
    

0,25





0,25
b
Ta có
13
2
1
i
zi
i

  

suy ra . Modun của w là
w5
.

0,50
3

Đk: x > 1 , bpt
3 3 3

log ( 1) log (2 1) 1 log ( 1)(2 1) 1x x x x        

1
( 1)(2 1) 3 2
2
x x x       
.Kết hợp đk suy ra
12x
.
0,25

0,25
4

Lấy vế cộng vế hai phương trình ta được
3 2 3 2 3 3
4 12 9 6 12 9 0 4( 1) ( 2) 3( 1)x x x y y y x y x            
.
Đặt u = x +1 , v = y – 2 hệ pt trở thành
33
22
43
1
u v u
u v uv




  




3 3 2 2 3
2 2 2 2
4 3 ( ) ( ) 0 1
1
11
u v u u v uv u v u v
uv
u v uv u v uv

       


  


  
     



.
Với u = v = 1 thì x = 0 và y = 3. Với u = v = -1 thì x= -2 và y = 1 .
Vậy : hệ phương trình có nghiệm (x ; y) là (0 ; 3) , (-2 ; 1) .


0,25

0,25


0,25


0,25
5

I =
11
2
00
x
x xdx xe dx

. Tính
1
5
1
2
10
0
22
55
I x xdx x  


Tính
11

22
2 2 1 2 2 1
2 0 0
00
1 1 1
2 2 2 4 4 4
x x x x
x e e
I xe dx e e dx e      

.
Vậy
2
12
13
4 20
e
I I I   


0,50




0,50
6

*
2

0
1 9 3
.3 .3 .sin60
24
ABC
a
S a a


.Áp dụng ĐL cosin trong tam giác ACH
2 2 2 2
2 . .cos 7 7HC AC AH AC AH CAH a HC a     
.
Vì SH
()ABC
nên góc giữa SC và (ABC) là
0
60SCH 
. Trong tam giác vuông SHC ta
có
.tan 21SH HC SCH a
. Vậy
2
.
1 9 7

34
S ABC ABC
a
V S SH



.


0,25



0,25



0,25






0,25
* Kẻ AD // BC thì d(SA, BC) = d(BC,(SAD)) =
d(B,(SAD)) mà AB= 3AH nên d( B, (SAD)) =
3d(H,SAD). Kẻ HI

AD do AD

SH nên
AD


(SHI) suy ra (SHI)

(SAD) theo giao
tuyến SI , kẻ HK

SI thì HK = d(H, (SAD))
Trong tam giác vuông AHI : HI = AH.sin
HAI

=
3
2
a
.
Trong tam giác vuông SHI :
2 2 2 2
1 1 1 29
21HK HI HS a
  
suy ra HK =
21
29
a

.
Vậy : d(SA,BC) = 3
21
29
a

A
B
D
S
C
H
I
K


7

Phương trình DK : x + y +3 =0 , gọi D(t; - t -3)
ta có d(D, AC ) = d(B, AC) = 3d(G, AC) =
3
2


t = 1 hoặc t = - 5

D(1; -4) hoặc D(-5; 2)
(loại D(-5;2) vì D, G khác phía với AC) .
Ta có
2GD GB


B(1; 8)


phương trình BD : x = 1 .


A
B
D
C
G
K


0,25
0,25






0,25

0,25

Gọi A(a; a+1) ,
4 4 1
24 ( , ). 24
3 3 2
AGCD
AGC ACD ABC ABD ABD

S S S S S S d A BD BD       

112 48a   
a = 5 hoặc a = -3 suy ra A(5; 6) hoặc A( -3; -2) (loại).
AD BC
C(-3; -2) . Vậy : A(5; 6) , B(1; 8) , C(-3; -2) , D(1; -4).
8

* Ta có
( 2; 2;4)AB   
, trung điểm của đoạn AB là I(0 ; 2 ; 1).
PT mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB là : x + y - 2z = 0.
* Vì C thuộc d và tam giác ABC cân tại C nên C là giao điểm của d và (P) do đó tọa độ C
là nghiệm của hệ
20
12
2 1 1
x y z
x y z
  








6
4

1
x
y
z








. Vậy : C(-6; 4; -1).


0,50


0,50
9

Xếp 8 chữ cái Đ, O, Đ, A, I, H, O, C vào 8 ô trống .
Chọn 2 ô trống trong 8 ô trống để xếp hai chữ Đ có
2
8
C
cách , chọn 2 ô trống trong 6 ô
trống xếp hai chữ O có
2
6

C
cách , xếp 4 chữ A, I, H, C vào 4 ô trống còn lại có 4! cách suy
ra có
22
86
4!CC
=
8!
2!2!
cách xếp .
Trong tất cả các cách xếp 8 chữ cái vào 8 ô trống thì chỉ có 1 cách xếp được dòng chữ
ĐO ĐAI HOC .
Vậy : xác suất là p


2!2!
8!


1
10080
.




0,25

0,25

10

Từ gt suy ra
2
( ) 3
2
abc
ab bc ca
  
  
,
4 4 4
2 2 2 2 2 2
9 ( )
2
abc
a b b c c a
  
  

Áp dụng BĐT Côsi
4 2 4 2
3 3 2a a a a a a a     

4 4 4
9 2( )a b c a b c      
nên
2

4 4 4
( ) 1 32
2( )
2(9 ( )) 4
abc
P
abc
abc
  


   

2
( ) 1 16
2( )
1
abc
abc
abc
  


  

Đặt t = a + b + c thì t
3;3




và
2
1 16
2
1
t
P
t
t




Xét hàm số f(t) =
2
1 16
2
1
t
t
t



trên
3;3



ta có f’(t) =

2
33
1 1 8 1 1 8
0
2 2 6 2
( 1) 4
t
t
     

nên f(t) nghịch biến trên
3;3



do đó f(t)

f(3) =
28
3
. Vậy minP =
28
3
khi a = b = c.





0,25

0,25







0,50