Điều khiển hệ pendubot dùng kỹ thuật điều khiển trượt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ TP. HCM

NGUYỄN HỒNG PHÚC
ĐIỀU KHIỂN HỆ PENDUBOT DÙNG KỸ THUẬT
ĐIỀU KHIỂN TRƯỢT
LUẬN VĂN THẠC SĨ
Chuyên ngành : KỸ THUẬT CƠ ĐIỆN TỬ
Mã số ngành: 60520114
TP. HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ TP. HCM

NGUYỄN HỒNG PHÚC
ĐIỀU KHIỂN HỆ PENDUBOT DÙNG KỸ THUẬT
ĐIỀU KHIỂN TRƯỢT
LUẬN VĂN THẠC SĨ
Chuyên ngành: KỸ THUẬT CƠ ĐIỆN TỬ
Mã số ngành: 60520114
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THANH PHƯƠNG
TP. HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2013
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả nêu
trong Luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào
khác.
Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này
đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Học viên thực hiện Luận văn

Nguyễn Hồng Phúc

LỜI CÁM ƠN
Để hoàn thành chương trình cao học và thực hiện được đề tài này, tác giả đã nhận
được sự hướng dẫn, giúp đỡ nhiệt tình từ Quý thầy cô, bạn bè, đồng nghiệp và gia đình.
Trước hết, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Thanh Phương, người
đã dành nhiều thời gian và tâm huyết để hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình học tập và
thực hiện luận văn này.
Tác giả chân thành cảm ơn Quý thầy cô khoa Cơ điện tử Trường Đại học Công
nghệ Thành phố Hồ Chí Minh đã cung cấp kiến thức và tạo điều kiện tốt nhất để tác giả
thực hiện đề tài.
Xin cảm ơn Quý thầy cô phòng Quản lý khoa học – Đào tạo sau đại học Trường
Đại học Công nghệ Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện học tập tốt nhất cho tôi trong
suốt quá trình học tập tại Trường.
Chân thành gửi lời cảm ơn đến Ban lãnh đạo Trường Trung Cấp Kinh Tế - Kỹ
Thuật Nguyễn Hữu Cảnh và các thầy cô đồng nghiệp nơi công tác, đã giúp đỡ và tạo mọi
điều kiện để tác giả hoàn thành tốt khóa học này.
Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè đã động viên về vật
chất cũng như tinh thần cho tác giả trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Xin trân trọng biết ơn!
Người thực hiện
NGUYỄN HỒNG PHÚC
TÓM TẮT
Con lắc quay Pendubot là đối tượng có độ phi tuyến cao là đại diện tiêu biểu cho hệ
thống có một ngõ vào nhiều ngõ ra SIMO (Single–Input–Multi–Output). Pendubot bao
gồm hai thanh quay trên hai khớp nối. Hai thanh lần lượt là vai và khủy, khớp vai là khớp
nhận kích thích và khớp khủy là khớp bị động. So với các hệ thống thông thường có một
ngõ vào một ngõ ra SISO (Single–Input– Single –Output), bộ điều khiển cho hệ SIMO có
cấu tạo phức tạp hơn hẳn.
Mục tiêu của luận văn là điều khiển pendubot di chuyển từ vị trí ổn định hướng xuống, lên
vị trí không ổn định đảo ngược và cân bằng nó theo phương thẳng đứng. Bộ điều khiển
trượt đa bậc sẽ được xây dựng để điều khiển hệ thống con lắc quay SIMO.

Mô hình toán của đối tượng và bộ điều khiển trượt đa bậc sẽ được xây dựng và mô phỏng
bằng phần mềm Matlab/Simulink. Từ kết quả mô phỏng, ta sẽ chứng minh được bộ điều
khiển trượt đa bậc có thể điều khiển tốt đối tượng SIMO Pendubot. Đây là cơ sở để ta áp
dụng bộ điều khiển vào mô hình thật.
ABSTRACT
Pendulum Robot (Pendubot) is a nonlinear object and it is representative of a Single–
Input–Multi–Output system (SIMO). Pendubot includes two rotary bars on two joints.
Two bars are shoulder and elbow respectively, shoulder joint is received the stimulus and
elbow joint is a passive joint. Compared with the normal system – a Single–Input–Single–
Output system (SISO), SIMO system controller is designed with much more complex.
The objective of the thesis is control pendubot to move from stable downward position to
unstable inverted position and balance it vertically. The multi-level sliding controller will
be built to control the pendulum Robot SIMO system.
Mathematical model of the object and multi-level sliding controller will be built by
simulator software Matlab / Simulink. From the simulation results, we will demonstrate
that the multi-level sliding mode controller can control SIMO Pendubot subject. This is
our basis for applying the model in real control.
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
LỜI CÁM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
TÓM TẮT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
ABSTRACT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i v
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .v
LỜI MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1 TỔNG QUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.1. Tổng quan chung về lĩnh vực nghiên cứu, kết quả nghiên cứu trong và ngoài
nước đã công bố. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
1.2. Mục tiêu, khách thể và đối tượng nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
1.3. Nhiệm vụ của đề tài và phạm vi nghiên cứu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

Chương 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1. Điều khiển trượt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Điều khiển trượt đa bậc cho hệ thống SIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Chương 3 MÔ HÌNH TOÁN HỌC PENDUBOT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Chương 4 THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN CHO PENDUBOT . . . . . . . . . . . . . . 53
4.1. Thiết kế bộ điều khiển trượt cho hệ thống . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2. Phân tích ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60
Chương 5 MÔ PHỎNG
5.1 Mô phỏng luật điều khiển hệ thống . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60
5.2 Hiện tượng chattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.3 Nhiễu trắng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.4 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Chương 6 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.1 Kết luận chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.2 Hướng phát triển luận văn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87
DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 5.1: Các thông số của Pendubot Trang 61
Bảng 5.2: Giá trị của các thông số
1
q
,
2
q
,
3
q
,
4
q

,
5
q
Trang 61
Bảng 5.3: Biên độ hiện tượng chattering của các tín hiệu hệ thống Trang 69
Bảng 5.4: Biên độ hiện tượng chattering của các tín hiệu hệ thống
khi giảm hệ số
2
η
Trang 72
Bảng 5.5: Biên độ hiện tượng chattering khi thay hàm signum
bằng hàm saturation Trang 76
Bảng 5.6: Biên độ hiện tượng chattering của các tín hiệu hệ thống
khi giảm hệ số
2
η
và thay hàm signum bằng hàm saturation Trang 79
Bảng 5.7: So sánh biên độ của hiện tượng chattering của các
tín hiệu hệ thống Trang 80
Bảng 5.8: Biên độ dao động của các tín hiệu trong hệ thống
khi bị ảnh hưởng của nhiễu với cường độ thấp Trang 83
Bảng 5.9: Biên độ dao động của các tín hiệu trong hệ thống
khi bị ảnh hưởng của nhiễu với cường độ cao Trang 85
Bảng 5.10: Biên độ dao động của các tín hiệu hệ thống khi
có nhiễu tác dụng trong hai trường hợp Trang 86
DANH MỤC CÁC HÌNH ẢNH
Hình 2.1: Quĩ đạo trạng thái ở chế độ trượt Trang 35
Hình 2.2: Hàm Signum Trang 35
Hình 2.3: Hiện tượng chattering Trang 37
Hình 2.4: Hàm Saturation Trang 37

Hình 2.5: Cấu trúc đa bậc của các mặt trượt Trang 39
Hình 3.1: Cấu trúc của Pendubot Trang 46
Hình 3.2 : Bốn điểm cân bằng của hệ thống Trang 52
Hình 4.1: Mô tả mục tiêu điều khiển của bộ điều khiển trượt Trang 54
Hình 4.2: Cấu trúc các mặt trượt đa bậc Trang 55
Hình 5.1: Mô hình simulink Trang 62
Hình 5.2: Góc
1
θ
và
2
θ
được vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ Trang 63
Hình 5.3: Góc
1
θ
và
2
θ
được vẽ riêng lẻ Trang 64
Hình 5.4: Vận tốc của hai thanh được vẽ trên một hệ trục tọa độ Trang 64
Hình 5.5: Vận tốc của hai thanh được vẽ riêng lẻ Trang 65
Hình 5.6: Các mặt trượt
1
S
,
2
s
và
2

S
được vẽ trên
cùng một hệ trục tọa độ Trang 65
Hình 5.7: Các mặt trượt
1
S
,
2
s
và
2
S
được vẽ riêng lẻ Trang 66
Hình 5.8: Tín hiệu ngõ vào
u=
τ
Trang 66
Hình 5.9: Tín hiệu điều khiển
)(tu
với hiện tượng chattering Trang 67
Hình 5.10: Góc
1
θ
và
2
θ
với hiện tượng chattering Trang 68
Hình 5.11: Các mặt trượt
1
S

,
2
s
và
2
S
với hiện tượng chattering Trang 68
Hình 5.12: Tín hiệu điều khiển
)(tu
khi giảm hệ số
1,0
2
=
η
Trang 69
Hình 5.13: Khảo sát biên độ tín hiệu điều khiển
)(tu
khi giảm
hệ số
1,0
2
=
η
Trang 70
Hình 5.14: Góc
1
θ
và
2
θ

khi giảm hệ số
1,0
2
=
η
Trang 70
Hình 5.15: Khảo sát biên độ tín hiệu của góc
1
θ
và
2
θ
khi giảm
hệ số
1,0
2
=
η
Trang 71
Hình 5.16: Các mặt trượt
1
S
,
2
s
và
2
S
khi giảm hệ số
1,0

2
=
η
Trang 71
Hình 5.17: Khảo sát biên độ tín hiệu của các mặt trượt
1
S
,
2
s
và
2
S
khi giảm hệ số
1,0
2
=
η
Trang 72
Hình 5.18: Tín hiệu điều khiển
)(tu
khi thay hàm signum
bằng hàm saturation Trang 73
Hình 5.19: Khảo sát biên độ của tín hiệu điều khiển
)(tu

khi thay hàm signum bằng hàm saturation Trang 73
Hình 5.20: Góc
1
θ

và
2
θ
khi thay hàm signum bằng hàm saturation Trang 74
Hình 5.21: Khảo sát biên độ tín hiệu của góc
1
θ
và
2
θ
khi thay
hàm signum bằng hàm saturation Trang 74
Hình 5.22: Các mặt trượt
1
S
,
2
s
và
2
S
khi thay hàm signum
bằng hàm saturation Trang 75
Hình 5.23: Khảo sát biên độ tín hiệu của các mặt trượt
1
S
,

2
s

và
2
S
khi thay hàm signum bằng hàm saturation Trang 75
Hình 5.24: Tín hiệu điều khiển
)(tu
khi giảm hệ số
1,0
2
=
η

và thay đổi hàm signum bằng hàm saturation Trang 76
Hình 5.25: Khảo sát biên độ của tín hiệu điều khiển
)(tu
khi
giảm hệ số
1,0
2
=
η
và thay đổi hàm signum bằng hàm saturation Trang 77
Hình 5.26: Góc
1
θ
và
2
θ
khi giảm hệ số
1,0

2
=
η
và thay đổi hàm
signum bằng hàm saturation Trang 77
Hình 5.27: Khảo sát biên độ tín hiệu của góc
1
θ
và
2
θ
khi giảm
hệ số
1,0
2
=
η
và thay đổi hàm signum bằng hàm saturation Trang 78
Hình 5.28: Các mặt trượt
1
S
,
2
s
và
2
S
khi giảm hệ số
1,0
2

=
η

và thay đổi hàm signum bằng hàm saturation Trang 78
Hình 5.29: Khảo sát biên độ tín hiệu của các mặt trượt
1
S
,
2
s
và
2
S
khi giảm
hệ số
1,0
2
=
η
và thay đổi hàm signum bằng hàm saturation Trang 79
Hình 5.30: Hệ thống pendubot khi thêm tín hiệu nhiễu trắng Trang 80
Hình 5.31: Tín hiệu ngõ vào bị ảnh hưởng nhiễu cường độ thấp Trang 81
Hình 5.32: Góc
1
θ
và
2
θ
bị ảnh hưởng của nhiễu cường độ thấp Trang 81
Hình 5.33: Vận tốc góc

1
θ

và
2
θ

bị ảnh hưởng nhiễu cường độ thấp Trang 82
Hình 5.34: Các mặt trượt
1
S
,
2
s
và
2
S
bị ảnh hưởng của nhiễu
cường độ thấp Trang 82
Hình 5.35: Tín hiệu ngõ vào bị ảnh hưởng nhiễu cường độ cao Trang 83
Hình 5.36: Góc
1
θ
và
2
θ
bị ảnh hưởng của nhiễu cường độ cao Trang 84
Hình 5.37: Vận tốc góc
1
θ


và
2
θ

bị ảnh hưởng nhiễu cường độ cao Trang 84
Hình 5.38: Các mặt trượt
1
S
,
2
s
và
2
S
bị ảnh hưởng của nhiễu
cường độ cao Trang 85
Chương 1
TỔNG QUAN
1.1 Tổng quan chung về lĩnh vực nghiên cứu, kết quả nghiên cứu trong và ngoài nước đã
công bố.
1.1.1 Tổng quan chung về lĩnh vực nghiên cứu
Con lắc quay (Pendulum Robot) được gọi tắt là Pendubot là một loại hệ thống cơ khí kích
thích dưới (under-actuated), tức là số lượng ngõ vào điều khiển ít hơn so với số lượng ngõ ra. Hệ
thống cơ khí này bao gồm hai thanh (links) quay trên hai khớp nối. Hai thanh lần lượt là vai
(thanh 1) và khủy (thanh 2). Khớp vai là một khớp được kích thích và khớp khủy là khớp bị động.
Pendubot thường được sử dụng để nghiên cứu điều khiển hệ phi tuyến và trong một số lĩnh vực
nghiên cứu khác, bởi vì nó đơn giản để phân tích động học và thử nghiệm mặc dù có phi tuyến
mạnh mẽ và động lực kép giữa hai tay.
Mục tiêu điều khiển pendubot là di chuyển nó từ vị trí ổn định hướng xuống lên vị trí

không ổn định đảo ngược và cân bằng nó theo phương thẳng đứng. Đây là vấn đề cần nghiên cứu
của luận văn. Trong những năm gần đây, có nhiều bài báo đã được xuất bản về vấn đề này [1] -
[6], [10].
1.1.2 Các kết quả nghiên cứu trong và ngoài nước đã công bố.
Các phương pháp đã sử dụng để điều khiển Pendubot được phân loại như sau: điều khiển
tuyến tính hóa hoặc điều khiển tuyến tính hóa từng phần [1], điều khiển thông minh [2], điều
khiển lai [3] và điều khiển phi tuyến [4] - [6].
Spong và Block [1] đã sử dụng phương pháp tuyến tính hóa hồi tiếp từng phần được đưa
ra bằng một bộ điều chỉnh tuyến tính bậc hai, và họ đã thành công cho việc điều khiển Pendubot
từ điểm cân bằng ổn định lên điểm cân bằng bất ổn định. Ma và Su [2] đã thiết kế một bộ điều
khiển mờ để điều khiển Pendubot và các thử nghiệm phần cứng của họ đã chỉ ra tính khả thi của
bộ điều khiển mờ. Trong [3], Zhang và Tarn đã trình bày một phương pháp điều khiển lai, họ đã
điều khiển Pendubot thành công về việc ổn định hóa. Trong [4] và [5], Fantoni, Lozano và Spong
tách ứng dụng điều khiển dựa vào năng lượng và điều khiển dựa trên tính thụ động để thực hiện
điều khiển Pendubot. Wang, Yi, và Zhao [6] suy luận một luật điều khiển trượt thích nghi và ứng
dụng nó để điều khiển Pendubot.
1.2 Mục tiêu, khách thể và đối tượng nghiên cứu.
Đối với hầu hết các phương pháp điều khiển Pendubot di chuyển từ vị trí ổn định hướng
xuống lên vị trí không ổn định đảo ngược và cân bằng nó theo phương thẳng đứng, Pendubot
được xem như một hệ thống hoàn toàn là cơ khí trong suốt quá trình thiết kế. Điều này đã làm các
phương pháp điều khiển thêm phức tạp. Thật ra nét đặc trưng về mặt cấu trúc của Pendubot là hệ
thống cơ khí này có thể được xem như hai hệ thống con: lần lượt là thanh 1 và thanh 2. Quan
điểm này cung cấp một ý tưởng khác để thiết kế một bộ điều khiển cho Pendubot và có thể làm
đơn giản quá trình thiết kế. Một vấn đề khác là mô men xoắn điều khiển bị giới hạn (có định mức)
bởi thiết bị truyền động của nó. Vì vậy xét mô men xoắn điều khiển là lý tưởng so với thực tế.
Mục tiêu nghiên cứu:
• Tìm hiểu về hệ thống Pendubot và phương pháp cân bằng nó
• Tìm hiểu về điều khiển trượt
Đối tượng nghiên cứu:
• Hệ thống Pendubot

• Bộ điều khiển trượt đa bậc
1.3 Nhiệm vụ của đề tài và phạm vi nghiên cứu.
• Xây dựng mô hình toán học cho hệ thống Pendubot
• Thiết kế bộ điều khiển trượt đa bậc điều khiển cân bằng cho Pendubot
• Mô phỏng hệ thống Pendubot trên phần mềm Matlab - Simulink
1.4 Phương pháp nghiên cứu.
Sử dụng các kiến thức về hình học, lượng giác kết hợp với định lý ổn định Lyapunov để
tìm ra phương trình toán học thể hiện mối quan hệ giữa các yếu tố sai số (sai số về khoảng cách
và sai số về góc lệch) với mô men xoắn tác dụng vào Pendubot nhằm điều khiển góc di chuyển
sao cho các sai số trên luôn hội tụ về 0.
Sử dụng kết quả mô phỏng trên phần mềm Matlab – Simulink cho Pendubot để kiểm
chứng độ tin cậy của bộ điều khiển được thiết kế.
CHƯƠNG 2
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Trong những năm gần đây, điều khiển trượt đã được áp dụng phổ biến trong công
nghiệp, bao gồm cả lĩnh vực điều khiển phi tuyến. Sự quan tâm đối với kỹ thuật điều
khiển này là do bản chất phi tuyến, tính ổn định và bền vững vốn có của nó đối với các tác
động nhiễu từ bên ngoài cũng như những biến đổi trong thông số của hệ thống. Ngày nay,
với sự phổ biến của bộ chuyển mạch tần số cao cùng với vi xử lý mạnh, kỹ thuật điều
khiển trượt ngày càng được áp dụng rộng rãi hơn.
Điều khiển trượt được xem như một trong những phương pháp đơn giản nhất cho
việc điều khiển các hệ thống phi tuyến kể cả những hệ thống có mô hình không
chắc chắn dễ bị tác động bởi nhiễu từ bên ngoài hoặc do sự biến đổi tham số.
Quá trình thiết kế một bộ điều khiển trượt được tiến hành theo hai bước:
+ Bước thứ nhất: thiết kế một mặt trượt (Sliding surface), còn được gọi là mặt cân
bằng, để đưa quĩ đạo trạng thái của đối tượng điều khiển về mặt trượt theo các đặc tính
mong muốn.
+ Bước thứ hai: thiết kế luật điều khiển để đưa hệ thống về và di chuyển trên mặt
trượt trong một khoảng thời gian hữu hạn.
2.1 Điều khiển trượt

2.1.1 Điều khiển bám (Tracking)
Điều khiển bám là điều khiển tín hiệu ra bám theo tín hiệu đặt cho trước.
2.1.1.1 Luật điều khiển trượt
Đối tượng điều khiển: Xét hệ phi tuyến được biểu diễn bởi phương trình vi phân:
( ) ( )
( )
( )
( )
uyyyygyyyyfy
nnn 11
, ,,, ,,
−−
+=


(2.1)
Đặt các biến trạng thái:
)()(), ()(),()(),()(
)1(
321
tytxtytxtytxtytx
n
n
−
====

(2.2)
Ta có thể biểu diễn trạng thái của hệ thống phi tuyến:










+=
=
=
=
−
)()()()(
)()(
)()(
)()(
1
32
21
tuxgxftx
txtx
txtx
txtx
n
nn






(2.3)
)()(
1
txty =
Mục tiêu điều khiển: xác định luật điều khiển
)(tu
sao cho tín hiệu ra
)(ty
bám theo tín
hiệu đặt
)(tr
.
Định nghĩa mặt trượt (Sliding surface):

eaeaeaeaetS
o
n
n
n
n
n
+++++=
−
−
−
−
−

1

)3(
3
)2(
2
)1(
)(
(2.4)
Với
)(te
là tín hiệu sai lệch:

)()()( trtyte −=

(2.5)
Các hệ số trong biểu thức (2.4) được chọn trước để cho đa thức đặc trưng của phương
trình vi phân (2.6) có tất cả các nghiệm với phần thực âm.
0
1
)3(
3
)2(
2
)1(
=+++++
−
−
−
−
−
eaeaeaeae

o
n
n
n
n
n


(2.6)
Khi đó, nếu
0)( =tS
thì sai lệch
0)( →te
khi
∞→t
Phương trình
0)( =tS
xác định một mặt cong trong không gian
n
chiều được gọi là mặt
trượt (xem Hình 2.1).
Thay (2.2) và (2.5) vào (2.4), ta được:
) (
01
)3(
3
)2(
2
)1(
1012

rararararxaxaxS
n
n
n
n
n
nnn
++++−++=
−
−
−
−
−
−−

(2.7)
Ta phải xác định luật điều khiển
)(tu
để đưa quĩ đạo trạng thái của hệ thống về mặt
trượt trong một khoảng thời gian hữu hạn (Reaching mode) và duy trì trên mặt trượt
(Sliding mode) một cách bền vững đối với các biến động của
)(xf
và
)(xg
.
Lấy đạo hàm (2.7) và sử dụng (2.2), ta có:
)()( )()()(
2031
)1(
2

rxarxarxauxgxfS
n
nn


−+−++−++=
−
−

(2.8)
Hình 2.1 Quĩ đạo trạng thái ở chế độ trượt (n = 2 )
Luật điều khiển: Có thể chọn luật điều khiển
)(tu
, sao cho:
)(SksignS −=


(2.9)
Trong đó,
k
là hằng số dương được chọn trước và hàm Signum được định nghĩa:






<
=
>−

=−=
0,
0,0
0,
)(
Skhik
Skhi
Skhik
SksignS


(2.10)
Hình 2.2 Hàm Signum
Luật điều khiển được xác định:
[ ]
)()()( )()(
)(
1
2031
)1(
2
Sksignrxarxarxaxf
xg
u
n
nn
+−+−++−+−=
−
−


(2.11)
2.1.1.2 Tính bền vững của luật điều khiển
Trong điều kiện có sai số mô hình, luật điều khiển (2.11) luôn đưa được quĩ đạo
pha của hệ thống về mặt trượt
0)( =tS
, nếu các điều kiện sau được thỏa mãn.
Nếu
0)( >tS
thì
0)( <tS

Nếu
0)( <tS
thì
0)( >tS


(2.12)
Nếu
0)( =tS
thì
0)( =tS


Muốn xây dựng luật điều khiển thì đòi hỏi phải có mô hình. Trong thực tế, mô hình
có sai số, ta phải chọn
k
để đảm bảo
)(tS
và

)(tS

luôn luôn trái dấu. Chọn
k
đủ lớn để
át sai số mô hình, tuy nhiên không nên chọn quá lớn.
2.1.1.3 Phương pháp chọn mặt trượt
Hàm
)(tS
ở (2.4) phải được chọn thỏa mãn hai điều kiện:
•
)(tS
không phụ thuộc tường minh vào
)(tu
nhưng
)(tS

phụ thuộc tường minh vào
)(tu
(bậc tương đối bằng 1).
• Phương trình vi phân (2.6) Hurwitz để nghiệm
0)( →te
khi
∞→t
.
2.1.1.4 Hiện tượng chattering (dao động tần số cao)
Trong thực tế, các khâu chấp hành trong hệ thống điều khiển luôn có thời gian trễ.
Hệ quả là tín hiệu điều khiển
)(tu
không thể thay đổi giá trị một cách tức thời khi quĩ đạo

pha vừa chạm mặt trượt để đảm bảo điều kiện (2.12), nếu
0)( =tS
thì
0)( =tS

. Kết quả là
quĩ đạo pha sẽ vượt qua mặt trượt một đoạn và sẽ quay về mặt trượt sau đó khi
)(tu
thay
đổi giá trị theo (2.11). Quá trình được lặp lại và kết quả là quĩ đạo pha dao động quanh
mặt trượt. Hiện tượng này được gọi là hiện tượng chattering (xem Hình 2.3) gây ra các
hiệu ứng không mong muốn như:
• Phát sinh sai số điều khiển
• Làm phát nóng mạch điện tử
• Mài mòn các bộ phận cơ khí
• Kích hoạt các mode tần số cao không mô hình hóa trước đó, làm giảm chất lượng
điều khiển hoặc mất ổn định.
Hình 2.3 Hiện tượng chattering
Để khắc phục hiện tượng chattering ta có thể thực hiện các cách sau:
• Giảm biên độ của tín hiệu điều khiển
)(tu
bằng cách giảm hệ số
k
trong (4.10).
Tuy nhiên, điều này làm giảm tính bền vững của hệ thống điều khiển đối với sai số của
mô hình.
• Thay đổi hàm signum bởi hàm saturation như dưới đây






−<−
<<−
>
=
1,1
11,
0,1
)(
γ
γγ
γ
γ
khi
khi
khi
sat
(2.13)
Việc thay hàm signum bởi hàm saturation nhằm mục đích giảm sự thay đổi tức
thời.
Hình 2.4 Hàm Saturation
2.1.2 Điều khiển ổn định hóa (regulation)
Điều khiển ổn định hóa là đưa véctơ trạng thái về véctơ hằng như mong muốn.
Đối tượng điều khiển: Xét hệ thống phi tuyến



+=
=

uxxgxxfx
xxfx
),(),(
),(
212122
2111



(2.14)
Mục tiêu điều khiển: đưa véctơ trạng thái
0→x
Định nghĩa mặt trượt:
)(
12
xxS
ϕ
+=
(2.15)
Trong đó
)(
1
x
ϕ
được chọn thỏa các điều kiện sau:
•
0)0( =
ϕ
• Hệ thống con
( )

)(,
1111
xxfx
ϕ
=

có điểm cân bằng ổn định tiệm cận tại gốc tọa độ.
Trên mặt trượt.
( )
0)(,)(0
1111112
→⇒=⇒=⇒= xxxfxxxS
ϕϕ

, khi
∞→t
S
có bậc tương đối bằng 1.
Luật điều khiển:
Ta có:
),(),(),(),(
211
1
21212211
1
2
xxf
x
uxxgxxfxxf
x

xS
∂
∂
−+=
∂
∂
−=
ϕϕ


(2.16)
Có thể chọn
)(tu
sao cho:
)sign(SkS −=


(2.17)
Trong đó,
k
là hằng số dương chọn trước.
Luật điều khiển được xác định bởi:
[ ]
)sign()()(
)(
1
12
Skxfxf
xg
u +−−=

(2.18)
2.2 Điều khiển trượt đa bậc cho hệ thống SIMO (Single-Input-Multi-Output)
Một phương pháp điều khiển trượt đa bậc cho hệ thống SIMO đã được Dianwei Qian,
Jianqiang Yi và Dongbin Zhao giới thiệu [11]. Hệ thống này được cấu tạo từ nhiều hệ thống con. Dựa trên cấu trúc vật lý đó của
hệ thống, các mặt trượt đa bậc được thiết kế như sau: đầu tiên, mặt trượt của mọi hệ thống con được định nghĩa, sau đó mặt trượt
của hệ thống con sẽ được định nghĩa như mặt trượt lớp thứ nhất. Mặt trượt lớp thứ nhất được dùng để xây dựng mặt trượt lớp thứ
hai với mặt trượt hệ thống con khác. Quá trình này tiếp tục cho đến khi mặt trượt toàn bộ các hệ
thống con được gọp thành một như hình 2.5.
Hình 2.5: Cấu trúc đa bậc của các mặt trượt
Theo cấu trúc đa bậc, luật điều khiển tổng quát được suy ra bằng định lý Lyapunov.
Theo định lý, sự ổn định tiệm cận của toàn bộ mặt trượt hệ thống được chứng minh và
thông số các đường biên của các mặt trượt hệ thống con được đưa ra. Kết quả mô phỏng
chỉ ra tính khả thi phương pháp điều khiển hệ thống SIMO.
2.2.1. Điều khiển trượt đa bậc:
Xét các không gian trạng thái của hệ thống SIMO với
n
các hệ thống con có dạng
như sau:











+=

=
+=
=
+=
=
−
ubfx
xx
ubfx
xx
ubfx
xx
nnn
nn
2
212
224
43
112
21







(2.19)
Với
[ ]

T
n
xxxX
221
, ,,=
là vector biến trạng thái; và
i
f
và
i
b

( )
ni , ,2,1=
là các
hàm phi tuyến của vector trạng thái; và
u
là ngõ vào điều khiển đơn.
Phương trình (2.19) có thể biểu diễn các hệ thống khác với
n
,
i
f
và
i
b
.
1
x
2

x
3
x
4
x
1
S
2
s
2
S
5
x
6
x
3
s
1
−
n
S
12 −n
x
n
x
n
s
n
S
Nếu

2
=
n
, (2.19) sẽ là Pendubot, hệ thống con lắc ngược quay…. Nếu
3
=
n
, nó có
thể biểu thị một hệ thống con lắc ngược kép song song hoặc nối tiếp. Nếu
4
=
n
, nó có thể
được coi như là hệ thống con lắc ngược gồm ba thanh;…
Dựa trên cấu trúc vật lý, lớp hệ thống kích thích dưới có thể được chia thành nhiều
hệ thống con. Ví dụ, hệ thống con lắc ngược gồm ba thanh có thể được chia thành bốn hệ
thống con: thanh một, thanh hai, thanh ba và xe, như một hệ thống trong (2.19) được cấu
tạo
n
các hệ thống con. Hệ thống con thứ
i
bao gồm các biến trạng thái
12 −i
x
và
i
x
2
. Biểu
diễn không gian trạng thái của nó được trình bày như sau:




+=
=
−
ubfx
xx
iii
ii
2
212



(2.20)
Định nghĩa mặt trượt của nó như sau:
iiii
xxcs
212
+=
−
(2.21)
Với
i
c
là hằng số dương.
Vi phân
i
s

theo thời gian
t
trong (2.21)
ubfxcxxcs
iiiiiiii
++=+=
− 2212

(2.22)
Cho
0=
i
s

ở (2.22), điều khiển tương đương của hệ thống con thứ
i
sẽ là:
( )
iiiieqi
bfxcu +−=
2
(2.23)
Cấu trúc đa bậc của các mặt trượt được thiết kế theo sự miêu tả như sau. Mặt trượt
của một hệ thống con được chọn như mặt trượt lớp thứ nhất
1
S
. Sau đó
1
S
được dùng để

xây dựng mặt trượt lớp thứ hai
2
S
với mặt trượt của hệ thống con khác. Quá trình này vẫn
tiếp tục cho đến khi tất cả các mặt trượt hệ thống con được nối lại.
1
s
được định nghĩa như
1
S
. Cấu trúc đa bậc của các mặt trượt được chỉ ra ở hình 2.5
Trong hình 2.5, mặt trượt lớp thứ
i
bao gồm toàn bộ thông tin của các mặt trượt các lớp
1−i
khác và mặt trượt hệ
thống con thứ
i
. Kết quả, mặt trượt lớp thứ
i
được định nghĩa như sau:
iiii
sSS +=
−− 11
λ

(2.24)
Với
1−i
λ

( )
ni , ,2,1=
là hằng số và
0
00
== S
λ
Do đó, luật điều khiển trượt lớp thứ
i
sẽ bao gồm thông tin của các luật điều khiển trượt các lớp thấp hơn
thứ
1
−
i
và luật điều khiển của hệ thống con thứ
i
. Vì vậy, luật điều khiển trượt lớp thứ
i
được định nghĩa như sau:
swieqiii
uuuu ++=
−1

(2.25)
Ở đây,
0
0
=u
và

swi
u

( )
ni , ,2,1=
là điều khiển chuyển mạch của mặt trượt lớp thứ
i
.
Luật điều khiển trên (2.25) có thể được lấy từ định lý ổn định Lyapunov. Hàm Lyapunov của mặt trượt lớp thứ
i
được
chọn như sau:
( )
2
2
ii
StV =

(2.26)
Lấy vi phân
i
V
theo thời gian
t
trong (2.26), chúng ta thu được từ (2.24):
( )
iiiiiii
sSSSSV




+==
−− 11
λ
(2.27)
Hơn nữa, (2.28) có thể được suy ra từ (2.24):
r
i
r
i
rj
ji
saS
∑
∏
=
=








=
1

(2.28)
Với

jj
a
λ
=

( )
1, ,2,1 −= ij
là hằng số; và
1=
i
a
Vì vậy, (2.29) được lấy từ (2.27) và (2.28)
















==
∑

∏
=
=
r
i
r
i
rj
jiiii
saSSSV



1
(2.29)
Từ (2.22), (2.23), (2.25), và (2.29), (2.30) thu được:
( )
swl
i
l
i
r
r
i
rj
jeql
i
l
i
lr

r
r
i
rj
ji
i
r
i
l
swl
rl
l
eqlr
i
rj
ji
i
r
irrrr
i
rj
jii
ubaubaS
uubaS
ubfxcaSV
⋅

















+⋅





























⋅=































+⋅⋅








=



















++⋅








=
∑ ∑
∏
∑ ∑
∏
∑ ∑∑
∏
∑
∏
= =
=

=
≠
=
=
= =
≠
=
=
=
=
1 11 1
1 11
1
2

(2.30)
Xem xét sự ổn định của mặt trượt lớp thứ
i
iiiii
SSkS sgn
η
−−=


(2.31)
Với
i
k
và
i

η
là các hằng số dương
Từ (2.30) và (2.31), luật điều khiển chuyển mạch của lớp thứ
i
có thể thu được như sau:
∑
∏
∑
∏
∑ ∑
∏
∑
=
=
=
=
=
≠
=
=
−
=









+
−


























−−=
i

r
r
i
rj
j
iiii
i
r
r
i
rj
j
eql
i
l
i
lr
r
r
i
rj
j
i
l
swlswi
ba
SSk
ba
uba
uu

11
1 1
1
1
sgn
η
(2.32)
Cho
ni
=
trong (2.25) và (2.32), sau đó tồn tại luật điều khiển trượt đa bậc như sau:
∑
∏
∑
∏
∑
∏
∑∑
=
=
=
=
=
=
=
−
=









+
−
















=
++=
n
r
r
n
rj

j
nnnn
r
n
r
n
rj
j
eqrr
n
r
n
rj
j
n
l
eql
n
l
swnswln
ba
SSk
ba
uba
uuuu
11
1
1
1
1

sgn
η
(2.33)
Trong (2.33), chỉ bộ điều khiển chuyển mạch của bộ điều khiển trượt lớp cuối cùng làm việc. Các điều khiển chuyển mạch
của các lớp thấp hơn
1−n
được gộp vào quá trình suy diễn. Trong quá trình làm việc, khi bất kỳ trạng thái
của một hệ thống con lệch từ mặt trượt hệ thống con của nó, điều khiển chuyển mạch của
lớp cuối cùng sẽ đưa nó trở lại. Do đó, ở chế độ trượt, hệ thống tiếp tục trượt trên mặt
trượt lớp cuối cùng. Hơn nữa, các trạng thái của mỗi hệ thống con tiếp tục trượt trên mặt
trượt hệ thống con của chính nó.
2.2.2. Phân tích ổn định
Ba định lý sẽ được chứng minh trong phần này. Định lý 1 là về ổn định tiệm cận của
mặt trượt mỗi lớp. Định lý 2 đưa ra phân tích ổn định cho các mặt trượt hệ thống con. Hơn
nữa, chúng ta chứng minh rằng thông số của mặt trượt hệ thống con thứ
i
sẽ hội tụ trong
định lý 3.
Định lý 1: xét lớp hệ thống kích thích dưới (2.19). Nếu luật điều khiển đưa ra là
(2.33) và mặt trượt lớp thứ
i
được định nghĩa như (2.24), sau đó
i
S
ổn định tiệm cận.
Chứng minh: lấy vi phân
( )
tV
i
theo thời gian

t
trong (2.26), sau đó, từ (2.31), chúng ta thu được
( )
iiii
iiiii
iii
SSk
SSkS
SSV
η
η
−−=
−−=
=
2
sgn



(2.34)
Đạo hàm hai vế (16) ta được
( )
∫∫
−−=
t
iiii
t
i
dSSkdV
0

2
0
τητ

(2.35)
Hơn nữa
( ) ( )
( )
( )
∫
∫
+≥
++=
t
iiii
t
iiiiii
dSSk
dSSktVV
0
2
0
2
0
τη
τη
Vì vậy
( )
( )
∞<≤+

∫
∞→
0lim
0
2
i
t
iiii
t
VdSSk
τη
(2.36)
Theo bổ đề Barbalat, tồn tại
( )
0lim
2
=+
∞→
iiii
t
SSk
η

(2.37)
(2.37) có nghĩa rằng
0lim =
∞→
i
t
S

, cụ thể là, mặt trượt
i
S
lớp thứ
i
là ổn định tiệm cận
Định lý 2: xét lớp hệ thống kích thích dưới (2.19). Nếu luật điều khiển đưa ra là
(2.33) và mặt trượt
i
s
hệ thống con thứ
i
được định nghĩa như (2.21), sau đó
i
s
là ổn định
tiệm cận.
Chứng minh: từ định lý 1, chúng ta có
0lim =
∞→
i
t
S
(2.38)
Để chứng minh rằng tất cả mặt trượt hệ thống con thứ
i
là ổn định tiệm cận bằng sự mâu thuẫn. Giả
sử rằng
i
s

là không ổn định tiệm cận, rõ ràng là
0lim ≠
∞→
i
t
s
(2.39)
Tính giới hạn cả hai mặt của (2.28) ta được
0lim
lim
limlim
1
1
1
≠

















=
















=








=
∑
∏

∑
∏
∑
∏
=
∞→
=
=
=
∞→
=
=
∞→∞→
i
r
r
t
i
rj
j
i
r
r
i
rj
j
t
r
i
r

i
rj
j
t
i
t
sa
sa
saS

(2.40)
(2.40) trái lại với (2.38) là chúng ta thu được từ định lý 1 để giả sử (2.39) là sai và
trường hợp trái lại (2.39) phải là đúng. Vì thế, các mặt trượt của toàn bộ thiết lặp của các
hệ thống con là ổn định tiệm cận.
Định lý 3: cho lớp các hệ thống kích thích dưới (2.19), đưa ra luật điều khiển (2.33),
định nghĩa mặt trượt hệ thống con thứ
i
và giả thiết rằng tất cả các biến trạng thái là vô
cùng nhỏ, chúng ta có đường biên các thông số
i
c
sẽ là
ii
X
i
xfc
2
0
lim0
→

<<
, với
X
là
vector trạng thái.
Chứng minh: khi các trạng thái của hệ thống con thứ
i
vẫn trượt trên mặt trượt hệ
thống con của nó, ta có:








+=
=
=+=
=+=
−
−
−
)(
)(
)(0
)(0
2
212

212
212
dubfx
cxx
bxxcs
axxcs
eqiiii
ii
iiii
iiii



(2.41)
1) Đường biên thấp hơn của
i
c
Từ (2.41a) và (2.41c), tồn tại
0
1212
=+=
−− iiii
xxcs


(2.42)
Giá trị riêng của (2.42) phải âm để đảm bảo sự ổn định của mặt trượt hệ thống con
thứ
i
. Vì vậy, đường biên thấp hơn của

i
c
là
0>
i
c
2) Đường biên cao hơn của
i
c
Từ (2.41b) và (2.41d), tồn tại