Giáo trình toán rời rạc

ĐẶNG NGỌC HOÀNG THÀNH


ĐẶNG NGỌC HOÀNG THÀNH


GIÁO TRÌNH
TOÁN RỜI RẠC

Huế, 2011
CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU

2

MỤC LỤC
CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU 4
 4
 10
 16
CHƯƠNG 2. BÀI TOÁN ĐẾM 29
 29
 31
  33
CHƯƠNG 3. BÀI TOÁN TỒN TẠI 41
 41
 44
3.2. Nguyên lý Dirichlet 46
CHƯƠNG 4. BÀI TOÁN LIỆT KÊ 48
 48
 49

CHƯƠNG 5. BÀI TOÁN TỐI ƯU 53
 53
 53
CHƯƠNG 6. LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ 72
6. 72
6.1.1.  73
6. 76
6.1.3.  81
6.1.4. Hành trình và chu trình 82
6.2.  90
6. 90
 93
 95
6.3.  96
6. 96
6. 97
6.4 98
CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU

3

TÀI LIỆU THAM KHẢO 101
CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU
CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU
1.1. Tập hợp
1.1.1. Khái niệm tập hợp

 

               



các 


t là tp. Ví d tp hp A hay tp A.
Cho mt tp hp A, và mt phn t a ca tp hp A. Ta nói rng, phn t a thuc tp
hp A. Kí hiu

 
tp hp A thì ta nói rng, phn t b không thuc tp hp
A và kí hiu

Các cách biểu diễn tập hợp

a) 
t c hoc mt phn các phn t trong tp hp





- Tp các s t nhiên chn
  
b) 
CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU

5



không lit kê tt c các phn t ca nó mà ch nêu các tính cha tp
hp.





Hay






1.1.2. Tập hợp con, Tập hợp rỗng và Tập hợp bao trùm
a. Tập hợp coni phn t ca tp
hp A thuc vào tp hp B. Kí hiu .

Nu tp hp A là con ca tp h gi tp hp B là cha ca tp hp A.
u  s c thay bng kí hiu .








Nu tp hp  và  thì ta nói rng tp .
Nu tp hp  hoc  thì ta nói A là tp con hoc bng B và kí hiu .

Trong nhing hi ta s gi   tp A là con ca tp B và
    .
b. Tập hợp rỗng



c. Tập hợp bao trùmbao trùm
(hay t). Tp hp bao c kí hiu là .
a tp hp rng và tp bao trùm, ta có mt s 
+ Tp hp rng là con ca mi tp hp bi tp hp rng không cha phn t nào.

là tp con ca tp bao trùm.

CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU

6

Lng ca tp hp. S ng các phn t ca mt tp hc gi là lng
ca tp hp. Kí hiu  - c là lng ca tp hp A.
Mt tp hp có n phn t, thì có 


 có 

 tp con ca A. Các tp hp này
bao gm:


































Tp các tp hp con ca tp hc kí hiu là .

1.1.3. Các phép toán trên tập hợp
  
 .

Hình 1.1  
a. Phép toán hợp
 p B. Kí hiu .
  
Trong hình minh ha  trên, hp ca hai tp hp A và B là tp hp cha ba phn 1, 2
và 3.
Ví d: Gi s ta có tp hp A và B. Yêu cu tìm hp ca hai tp hp A và B.


 
1 2
3
B
A
CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU

7

 l 
 
b. Phép toán giao  
chung p hp. Kí hiu 
  
Trong hình minh ha  trên, giao ca hai tp hp A và B là tp hp cha phn 3.
Ví d: Gi s ta có tp hp A và B. Yêu cu tìm hp ca hai tp hp A và B.








  
 

A.

c. Phép toán hiệu
 B\ . Trong 
 phân bit gia hai kí hiu này
1
.

Trong hình minh ha  trên, hiu ca hai tp hp A và B là tp hp cha phn 1.
Ví d: Gi s ta có tp hp A và B. Yêu cu tìm hiu ca hai tp hp A và B.




Nu tp hp A là con ca tp hp B, thì hiu ca hai tp hp A và B là tp hp rng.
Phần bù tập hợp. Gi s tp hp A là con ca tp hp B và nm lt hn trong tp
hp B.


1
Nếu A thì hiệu của A và B được kí hiệu là A\B.

Nếu  thì hiệu của A và B được kí hiệu là A-B.
CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU

8


Hình 1.2  Minh ha phn bù trên Tp hp
  n bù ca tp hp A i vi tp hp 
gin là phn bù ca B). Kí hiu 

. Nu tp hp B là tp bao trùm, ta có th kí hiu
phn bù ca tp hp A là .
d. Phép toán hiệu đối xứng
 ha các phn t thuc tp hp A mà không thuc tp hp B và các phn t
thuc tp hp B mà không thuc tp hp A. Kí hiu  .




 
1 
1 và 2.
  ta có tp hp A và B. Yêu cu tìm hiu i xng ca hai tp hp A và B.















.
1.1.4. Các tính chất của các phép toán trên tập hợp
1
2
A
B
CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU

9

      


Định lý. Gi s A, B, C là các tp hp. E là t có các tính cht

a) Luật giao hoán
   
   
b) Luật kết hợp

  

  


 



  

    
c) Luật phân phối
+ Phân phối trái

 

 

 



  



 

 

 

  

+ Phân phối phải
 

 



  



 


 

 



  

  
d) Luật đồng nhất
 
  
e) Luật nuốt
  
  
f) Luật làm đầy

  
 
g) Luật lũy đẳng
 
 
CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU

10

h) Luật hấp thụ
 

  


 

  


i) Luật bù







j) Luật De-Morgan
  










 


  









 


1.1.5. Khái niệm về tích Descartes
Định nghĩa. Gi s A và B là hai tp hp. Mt tp hp gm các cp (a, b) vi  và
, sao cho vi hai cp (a, b)=(c, d) khi và ch    c gi là tích
Descartes ca hai tp hp A và B. Kí hiu AxB hay A.B.
Ví da hai tp A và B gm các cp


  












Tng quát, tích Descartes ca n tp hp 





là tp hp gm các cp






 vi 












và














 khi
và ch khi 












. Kí hiu 

 

  

.
Gi s tp 





lt có 





phn ta
n tp hp trên 

 


  

s có 





, hay ta có th vit



 

  










  
.
1.2. Phép chứng minh quy nạp toán học
1.2.1. Phương pháp quy nạp toán học


CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU

11

Bước 1
2
Bước 2
n=k+1. 
sai.
Bước 3


Hình 1.3  
 thc





  


Bước 1. Vi n = 0. Ta có
V trái VT =






V phi VP = 0
Công thi n=0.
Đúng với n
0
Đúng với n=k
Đúng với n=k+1

CT đúng
CT sai
Đ
S
Đ
S
CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU

12

Bước 2. Gi s công thi n=k, tc là





 


Ta cn chng minh, công thi n = k+1, tc là






  


Ta có









 
bi vì




   














  
Kt hp vi gi thit quy np (*), ta có





 



 


 


Bước 3. Vy, công th

Bài tp. Chng minh các công thc sau bng quy np toán hc.








    












 











 

  





 







 








  
CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU

13






  
1.2.2. Phương pháp quy nạp hoàn toàn

ng thc ti ta s dng m
pháp khác có th áp d  n t mt cách d  
pháp quy np hoàn toàn.
Gi s ta cn ch      i các giá tr 








.
áp quy np hoàn toàn s thc hin kin ca bài toán
P(n) = Q(n) vi mi giá tr 



. 
sau:
bool QuyNapHoanToan(int n
0
, int n
1
)
{
for (int i=n

0
; i<=n
1
; i++)
if (P(i)!=Q(i))
return false;
return true;
}
Ví d, ta s s dng thut toán quy n kin ca câu
a) vi giá tr  
#include<iostream>
#include<math.h>

using namespace std;

double P(int n)
{
double S = 0;
for (int i=0; i<=n; i++)
S+=powl(i, 2);
return S;
}
double Q(int n)
{
return (double)(n)*(n+1)*(2*n+1)/6;
CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU

14

}

bool QuyNapHoanToan(int n0, int n1)
{
for (int i=n0; i<=n1; i++)
if (P(i)!=Q(i))
return false;
return true;
}
int main()
{
if(QuyNapHoanToan(0, 9999))
cout<<"Dang thuc dung voi moi 0<=n<=9999";
else
cout<<"Dang thuc sai";
return 0;
}

Hãy vit gii thut quy np hoàn toàn cho các bài tp còn li.

1.2.3. Phép đệ quy và Cơ sở toán học của nó.

xác  g qua phn t
Khái ni  thc truy hi trong toán hc. Mt ví d
mô hình tính giai tha.





 




nh c
 
- Với n=0. Ta có giai thừa của 0 là 1.
- Với n=1, ta có 1!=1.0!=1.1=1.
- Với n=2, ta có 2!=2.1!=2.1=1.
…
- Với n=k, ta có k!=k.(k-1)!
…


CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU

15

Thiết kế giải thuật đệ quy. 


Bước 1. Nếu rơi vào trường hợp suy biến, thì thực hiện trường hợp suy biến.
Bước 2. Nếu ngược lại, ta tiến hành thực hiện giải thuật gọi lại hàm đệ quy.
Ví dụ 1. Tính tng
  
Bước 1. Trường hợp suy biến n=1 thì S=1.
Bước 2. S(n)=n+S(n-1)

long S(int n)
{
if(n==1)
return 1;

else
return n+S(n-1);
}
Ví dụ 2
Bước 1. Trường hợp suy biến khi head->data == x.
Bước 2. Nếu ngược lại, ta chuyển sang tìm kiếm ở head->next.

struct Link
{
int data;
Link* next;
};
Link* head;

Link* search(int x, Link* head)
{
if(head->data==x)
return head;
else
return search(int x, head->next);
}


CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU

16


T



   .       

1.3. Sơ lược về tổ hợp
1.3.1. Các quy tắc tính toán
1.3.1.1. Quy tắc cộng

ng l thc hin công vic th 

cách. 
thc hin mt công vic trong n công vic  trên, ta s có 

 



cách.
Dấu hiệu nhận biếtxét



Bài 1. 

bao nhiêu node.
Giải. 





Bài 2. t 
 

.
CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU

17

Giải. 
  

 
. 
- 

- 

 
.

g viên ca t b môn công ngh phn mm, B là tp hp các ging viên ca
t b t lng vic chn ca chúng ta s chính là lc
ng ca tp   . Ta có

 

 .

Bài 3.  và


 
.
Giải. H

.

Bài 4. Cho 
Giải. 

- 
- 
- 
CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU

18

- 
 
 
- 
- 
- 
- 
Vy có 1+3+3+1 = 8 tp con ca tp A.

1.3.1.2. Quy tắc nhân
Quy tc nhân. Gi s cn thc hin mt công vic. Công vic này có th chia ra làm n
 thc hin công vic  c th 



n, ta s có 





cách.
Dấu hiệu nhận biếtnhân
 
     
  ) nhân.

Bài 1. 
 có bao

Giải. 

 nhau. 

 am
 

 C có 3 cách;
  có 3 cách;
CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU

19

 C có 2 cách;
 C có 2 cách.

ta có 

Bài 2. nh


. 
Giải. 
 

 
- - 
c

Bài 3. 


Giải.      
  

 c nhân, ta có 20.20.20.20.20=32.10
5



1.3.2. Các cấu hình tổ hợp
1.3.2.1. Hoán vị không lặp và Hoán vị vòng
a. Hoán vị. 
  
tính 
CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU

20



- 
- -
).

- 
u: hai cách sp xp là khác nhau khi
hai phn t cùng ch s là khác nhau. Vy theo quy tc nhân, ta có n.(n-
sp xp.
Bài toán hoán v ca n phn t có n! cách sp xp.
Công thức tính số hoán vị. Hoán v c kí hiu là 

,



b. Hoán vị vòng.  


tr

 
ho


 th quy v hoán v tuyn tính ca n-1 phn t

vòng ca n phn t s có (n-1)! cách sp xp.
Công thức tính số hoán vị vòng. Hoán v c kí hiu là 


.







 


Chú ý. C :
-  

CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU

21

  

- 

.
.
Bài 1. 


Giải. 

    

1.
x
đ
v
2.
x
v
đ
3.
đ
x
v
4.
đ
v
x
5.
v
x
đ
6.
v
đ
x

Bài 2. g tròn, thì 

Giải. -1)!=2 cách.

 khác 

v
đ x
v
x đ
CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU

22


Bài 3. Có 

Giải

Bài 4. 

Giải

1.3.2.2. Chỉnh hợp không lặp và Chỉnh hợp lặp
a. Chỉnh hợp không lặp. 
  
.
 .



 

t  có -1 cách chi phn t th k, ta
có n-k+1 cách chn. Vic tin hành chn  mc có quan h vi nhau. Theo quy
tc nhân, ta có


 



  




 


 

  





 



Vy bài toán chnh hp không lp chp k có






b phn t.
Công thc tính s chnh hp không lp chp k ca n phn t. Chnh hp không lp
chp k ca n phn t c kí hiu là 


.






 



CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU

23

b. Chỉnh hợp lặp. n
 và c


ên. Chúng



 
t  có 
 
có 
c nhân, ta có










Vy bài toán chnh hp lp chp k có 

b phn t.
Công thc tính s chnh hp lp chp k ca n phn t. Chnh hp lp chp k ca n
phn t c kí hiu là 



.








Chú ý. C.
- 
-  


.
Bài 1. 
 


Giải. :
CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU

24

-  

- 
- 
h hp.
- Mt vng viên không cho phép lp li (bi h không th phân thân thành 2).
T nhng nhn xét trên, ta s chn chnh hp không l áp dng cho bài toán này
vy, ta có 


 cách  
.

Bài 2. :
- 
- 
- 
- 




Bài 3.  khác nhau 
ân bit th t và không th lp li, nên ta áp
dng chnh hp không lp. Vy có 





 


Bài 4.  th 

 
ra. thí sinh ch.
Giải. 
  