SKKN Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (204.91 KB, 25 trang )
Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số G .V: Nguyễn Đăng Khoa
LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Khi giải xong một bài toán chúng ta thường đặt ra câu hỏi là còn có
phương pháp giải nào khác không? Từ đó ta tìm tòa hướng giải và rút ra
phương pháp giải cho phù hợp với đối tượng học sinh
Trong quá trình giảng dạy và tìm hiểu qua sách báo Tôi rút ra kinh
nghiệm ứng dụng lượng giác để giải những phương trình, bất phương trình, hệ
phương trình đại số và chứng minh đẳng thức, tìm GTLN_ GTNN của biểu
thức.
Những năm qua tôi thường dùng phương pháp này giảng dạy cho học
sinh khối 12 ôn luyện thi đại học và nhận thấy đa số các em tiếp thu kiến thức
rất nhẹ nhàng. Bài viết này tôi xin trình bày đề tài: “ Ứng dụng lượng giác để
giải phương trình,bất phương trình,hệ phương trình, chứng minh bất đẳng
thức và tìm giá trị lớn nhất_ giá trị nhỏ nhất của hàm số”.Trong các đề thi
tuyển sinh Đại Học, Cao Đẳng của những năm qua ta thấy có bài toán giải
được bằng phương pháp lượng giác.
Khi biên soạn đề tài bản thân đã có nhiều cố gắng, song không thể tránh
khỏi sự thiếu sót, mong nhận được sự góp ý chân tình của đồng nghiệp và
Hội đồng chuyên môn của nhà trường để các tài liệu sau của tôi được tốt hơn.
Xin chân thành cám ơn!
Ba Tơ, thang 5 năm 2011.
Người thực hiện đề tài
Nguyễn Đăng Khoa
Trang 1
Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số G .V: Nguyễn Đăng Khoa
NỘI DUNG
I.Cơ Sở Lí Thuyết:
Từ một bài toán: phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và chứng
minh đẳng thức, tìm GTLN_ GTNN của biểu thức đại số, ta chuyển sang giải
phương trình, chứng minh đẳng thức, tìm GTLN_ GTNN của biểu thức lưọng
giác thì đòi hỏi chúng ta phải nắm vững các công thức lượng giác, kĩ thuật
biến đổi lượng giác,tính tuần hoàn của các hàm số y= sinx , y= cosx, y= tanx,
y=cotx và các tính chất:
Rxxxxx ∈∀=+≤≤−≤≤− ,1cossin,1cos1,1sin1
22
DẠNG 1: Nếu bài toán chứa:[f(x)]
2
+[g(x)]
2
=1, thì có thể đặt:
=
=
txg
txf
sin)(
cos)(
hoặc
=
=
txf
txg
sin)(
cos)(
DẠNG 2: Nếu bài toán chứa:
22
xa −
thì có thể đặt:
−∈=
2
,
2
,sin||
ππ
ttax
hoặc x=
[ ]
π
,0,cos|| ∈tta
DẠNG 3: Nếu bài toán chứa:
22
ax −
thì có thể đặt:
{ }
0\
2
,
2
,
sin
||
−∈=
ππ
t
t
a
x
hoặc
[ ]
∈=
2
\,0,
cos
||
π
π
t
t
a
x
DẠNG 4: Nếu bài toán chứa:
22
xa +
thì có thể đặt:
−∈=
2
,
2
,tan||
ππ
ttax
hoặc
( )
π
,0,cot|| ∈= ttax
.
DẠNG 5: Nếu bài toán chứa:
xa
xa
−
+
hoặc
xa
xa
+
−
thì có thể đặt: x=acos2t.
DẠNG 6: Nếu bài toán chứa:
))(( xbax −−
thì có thể đặt: x=a+(b-a)sin
2
t.
Trang 2
Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số G .V: Nguyễn Đăng Khoa
II.Nội Dung:
Bài 1: Giải phương trình:
1
1
2
2
=
−
+
x
x
x
. (1)
(Bài 4.72,d. trang114_ sách Bài tập Đại Số 10 Nâng cao, xuất bản năm
2006).
Giải:
ĐK:
1≠x
Đặt:
=
−
≠=
)(cos
1
)(1sin
bt
x
x
atx
, thay (a) vào (b) ta được:
1sin
sin
cos
−
=
t
t
t
)(0cos.sincossin ctttt =−+⇔
. Đặt u=sint+cost, đk:
2|| ≤u
,phương trình
(c) thành:
0
2
1
2
=
−
−
u
u
−=
+=
⇔=−−⇔
)(21
)(21
012
2
thoau
loaiu
uu
vậy: sint +cost =
21−
−±−=⇔=−+−−⇔−=
−
+⇒ 12221
2
1
021)21(21
1
2
xxx
x
x
x
.
Do đó phương trình có nghiệm là:
−±−= 12221
2
1
x
.
Bài 2: Giải phương trình:
23
134 xxx −=−
(2)
Giải:
ĐK:
11 ≤≤− x
. đặt x=cost, t
∈
[
π
,0
] phương trình (2) thành: 4cos
3
t -
3cost=sint
⇔
+−=
+=
⇔−==
π
π
ππ
π
kt
kt
ttt
4
28
)
2
cos(sin3cos
Trang 3
Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số G .V: Nguyễn Đăng Khoa
Vì t
∈
[
π
,0
] nên ta chọn được:
4
3
,
8
5
,
8
πππ
=== ttt
. Vậy phương trình đã
cho có nghiệm là:
2
2
4
3
cos,
2
22
8
5
cos,
2
22
8
cos −==
−
−==
+
==
πππ
xxx
.
Bài 3: Giải phương trình: x
3
- 3x-1=0 (3).
Giải:
Đặt x=cost, t
∈
[
π
,0
] , phương trình (3) thành: 8cos
3
t - 6cost = 1
2
1
3cos =⇔ t
⇔
+−=
+=
3
2
9
3
2
9
ππ
ππ
kt
kt
Vì t
∈
[
π
,0
] nên ta chọn được:
9
7
,
9
5
,
9
πππ
=== ttt
. Vậy phương trình đã
cho có nghiệm là:
9
7
cos2,
9
5
cos2,
9
cos2
πππ
=== xxx
.
Bài 4: Giải phương trình:
2
2
21
2
121
x
xx
−=
−+
(4)
Giải:
ĐK:
2
2
≤x
.
Đặt x=sint
2
2
sin ≤⇒ t
⇒≤⇒
4
π
t
1cos
2
2
≤≤ t
, phưong trình thành:
tt
tt
2cossin21
2
cos.sin21
2
=−=
+
t
t
2cos
2
2sin1
2
=
+
⇔
(vì
02cos
4
≥⇒≤ tt
π
)
=
−=
⇔=−+⇔
2
1
2sin
12sin
012sin2sin2
2
t
t
tt
Trang 4
Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số G .V: Nguyễn Đăng Khoa
• Với sin2t = -1
π
π
kt +−=⇔
4
, vì
4
π
≤t
nên ta chọn được nghiệm t=
4
π
−
⇒
nghiệm của phương trình là:
2
2
−=x
• Với sin2t =
+=
+=
⇔
π
π
π
π
kt
kt
12
5
12
2
1
, vì
4
π
≤t
nên ta chọn được nghiệm t=
12
π
⇒
nghiệm của phương trình là:
2
32
12
sin
−
==
π
x
Vậy phương trình có nghiệm là:
2
2
−=x
và
2
32 −
=x
Bài 5: Định m để phương trình:
mxx −=−
2
1
(5) có nghiệm.
Giải:
ĐK:
11 ≤≤− x
.
Đặt x=cost, với
[ ]
π
,0∈t
. Phương trình thành: sint = cost – m
2
)
4
cos(sincos
m
tmtt =+⇔=−⇔
π
.
Vì
[ ]
π
,0∈t
4
5
44
πππ
≤+≤⇔ t
nên suy ra:
2
2
)
4
cos(1 ≤+≤−
π
t
. Vậy để
phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
12
2
2
2
1 ≤≤−⇔≤≤− m
m
.
Bài 6: Cho phương trình:
mxx =−+−
3
22
121
(6)
1/ Định m để phương trình (6) có nghiệm.
2/ Định m để phương trình (6) có nghiệm duy nhất.
Giải:
ĐK:
11
≤≤−
x
.
Trang 5
Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số G .V: Nguyễn Đăng Khoa
Đặt x=cost, với
[ ]
π
,0∈t
. Phương trình thành:
mtt =−+−
3
22
cos12cos1
mtt =+⇔
3
2
sin.2sin
(a)
1/ * Khi t=0
⇒
x=cos0 =1
⇒
m=0 (thỏa)
* Khi t=
π
⇒
x=cos
π
=-1
⇒
m=0 (thỏa)
* Khi
( )
π
,0∈t
, (a)
m
t
t
t =+⇔
3
sin
sin2
sin
(b).
đặt u=
1u0,sin
3
≤<t
, phương trình (b) thành: u
3
+2u
2
=m (c)
xét hàm số f(u) = u
3
+2u
2
, với
1u0 ≤<
.
f’(u)=3u
2
+4u, f’(u)=0
0
4
3
u
u
=
⇒
= −
BBT: u
∞−
3
4
−
0 1
∞+
f
’
(u) + 0 - 0 +
f(u)
∞+
3
∞−
0
Vậy để (6) có nghiệm khi và chỉ khi (c) có nghiệm thuộc
(
]
1,0
⇔
30
≤<
m
.
2/ Ta thấy:
*Khi m=0 thì
1±=x
,không thỏa mãn bài toán (tức là tương ứng với
t=0 và t=
π
).
*Khi
( )
π
,0∈t
, (a)
m
t
t
t =+⇔
3
sin
sin2
sin
(b).
đặt u=
1u0,sin
3
≤<t
, phương trình (b) thành: u
3
+2u
2
=m (c)
xét hàm số f(u) = u
3
+2u
2
, với
1u0 ≤<
.
BBT: u
∞−
3
4
−
0 1
∞+
f
’
(u) + 0 - 0 +
Trang 6
Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số G .V: Nguyễn Đăng Khoa
f(u)
∞+
3
∞−
0
để phương trình (6) có nghiệm duy nhất
⇔
phương trình theo ẩn cost có
nghiệm duy nhất
⇔
sint = 1
⇔
u = 1
⇔
m =3. (vì sin
2
t + cos
2
t =1, nếu sint
1≠
thì có hai giá trị của cost
⇒
không thỏa mãn bài toán).
Vậy với m=3 thì phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài 7:Cho phương trình:
mxxxx =−++−++ )8)(1(81
(7)
1/Giải phương trình khi m=3.
2/Định m để phương trình có nghiệm.
Giải:
ĐK:
81
≤≤−
x
Đặt x = -1+9sin
2
t, với
∈
2
,0
π
t
(vì hàm số y=sin
2
t tuần hoàn có chu kì là
π
và là hàm số chẵn nên ta chỉ cần xét trên đoạn
2
,0
π
)
Phương trình (7) thành:
mtttt =−+−+ )sin1(9.sin9)sin1(9sin9
2222
mtttt =++⇔ cos.sin9)cos(sin3
(a)
Đặt
21,)
4
sin(2cossin ≤≤+=+= utttu
π
, phương trình (a) thành: 9u
2
+6u-
9=2m 1/ Khi m=1, ta có: 9u
2
+6u-15=0
−=
=
)(
3
5
)(1
loaiu
thoau
với u=1
2
2
)
4
sin( =+⇒
π
t
+=
=
⇔
π
π
π
2
2
2
kt
kt
,
vì
∈
2
,0
π
t
nên chọn được: t=0 và t =
2
π
với t = 0
1−=⇒ x
.
Trang 7
Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số G .V: Nguyễn Đăng Khoa
với t =
2
π
8=⇒ x
.
Vậy phương trình có nghiệm: x=-1 và x=8.
2/ Xét hàm số f(u) = 9u
2
+6u-9
BBT:
u
∞−
3
1
−
1
2
∞+
f
’
(u) - 0 +
∞+
∞+
f(u) 9+
26
6
-10
Vậy để phương trình có nghiệm
⇔
23
2
9
326926 +≤≤⇔+≤≤ mm
• Chú ý:
Nếu bài toán yêu cầu định m để phương trình có nghiệm duy nhất, thì
điều kiện có nghiệm của phương trình cũng là điều kiện có nghiệm duy
nhất. bởi vì khi cost nhận một giá trị thuộc đoạn [1-,1] thì sin
2
t chỉ có duy
nhất một giá trị tương ứng).
Bài 8: Giải bất phương trình:
99
22
−≥+ xxx
(8)
Giải:
đặt x=3tant,
−∈
2
,
2
ππ
t
phương trình thành: 3tant.
9tan9)tan1(9
22
−≥+ tt
3
1
tan1sin
2
1
01sinsin2cossinsin1
cos
sin
cos
sin
222
2
2
2
−
≥⇔≤≤−⇔≤−−⇔−≥⇔−≥⇔ ttttttt
t
t
t
t
3tan3 −≥⇔ t
. Vậy nghiệm của bất phương trình là:
3−≥x
.
Bài 9: Tìm m để bất phương trình:
xmx −≥−
2
1
(9) có nghiệm
Giải:
ĐK:
11
≤≤−
x
.
Trang 8
Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số G .V: Nguyễn Đăng Khoa
Đặt x=cost, với
[ ]
π
,0∈t
. Phương trình thành: sint + cost
m≥
mt ≥+⇔ )
4
sin(2
π
Mà
≤−⇔≤+≤− 11)
4
sin(
2
2
π
t
2)
4
sin(2 ≤+
π
t
.
Vậy để bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m
2)
4
sin(2 =+≤
π
tMax
.
Bài 10: Giải hệ phương trình: (I)
=+
=−+
)2(43
)1(3232
22
22
yx
yxyx
(Trích đề thi cao đẳng khối A_ năm 2007)
Giải:
Ta có (2)
1
3
2
2
2
2
=
+
⇔
yx
, nên đặt:
=
=
ty
tx
sin
3
2
cos2
, thay vào phương
trình (1) ta được:
3sin
3
8
cos.sin
3
12
cos8
22
=−+ tttt
⇔
0sin317cos.sin36cos315
22
=−+ tttt
(3). Vì cost =0 không phải là nghiệm
của phương trình, nên chia hai vế của phương trình (3) cho cos
2
t ta được:
=
−
=
⇔=−−
317
51
tan
317
15
tan
0315tan36tan317
2
t
t
tt
Trang 9
Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số G .V: Nguyễn Đăng Khoa
* với tant=
317
15−
912
17
cos ±=⇒ t
và
912
35
sin =t
, suy ra nghiệm của hệ
phương trình là:
−=
=
91
5
91
17
y
x
và
=
−=
91
5
91
17
y
x
* với tant =
317
51
2
1
cos ±=⇒ t
và
2
3
sin ±=t
, suy ra nghiệm của hệ
phương trình là:
=
=
1
1
y
x
và
−=
−=
1
1
y
x
Bài 11: Giải hệ phương trình: (II)
=+
=−−
)2(25
)1(1
1
log)(log
22
4
4
1
yx
y
xy
(Trích đề thi Đại học_ Cao đẳng, khối A_ năm 2004)
Giải:
ĐK:
>
>
0y
xy
Với điều kiện trên hệ (II)
⇔
=+
=+−
25
1
1
log)(log
22
4
1
4
1
yx
y
xy
⇔
=+
=−
25
)3(
4
11
)(
22
yx
y
xy
đặt:
=
=
,sin5
cos5
ty
tx
(sint>0 và sint >cost), thay vào phương trình (3) ta được:
Trang 10
Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số G .V: Nguyễn Đăng Khoa
( )
⇒=⇒=⇔=−⇔=−
25
16
sin
4
3
cot
4
1
cot1
4
1
sin
1
cossin
2
ttt
t
tt
=
=
5
3
cos
5
4
sin
t
t
.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là:
=
=
4
3
y
x
.
Bài 12: Giải hệ phương trình: (III)
=+
=++
)2(10
)1(7
22
yx
xyyx
(Trích đề thi Cao đẳng _Giao thông vận tải_ năm 2007)
Giải:
đặt:
=
=
,sin10
cos10
ty
tx
thay vào phương trình (1) ta được:
7cos.sin10)sin(cos10 =++ tttt
(3).
đặt u=cost +sint, ĐK:
2≤u
, phương trình (3) thành:
012105
2
=−+ uu
−=
=
⇔
)(
5
103
)(
5
102
loaiu
thoau
với
⇒=
5
102
u
=
=+
10
3
cos.sin
5
102
cossin
tt
tt
⇒
=
=
=
=
10
1
cos
10
3
sin
10
3
cos
10
1
sin
t
t
t
t
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là:
=
=
1
3
y
x
và
=
=
3
1
y
x
Trang 11
Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số G .V: Nguyễn Đăng Khoa
Bài 13: CMR:
1/ Nếu x
2
+y
2
=1 thì
2≤+ yx
.(bài tập 20, trang 112 _SGK
Đại số 10 Nâng cao_ NXB Giáo dục).
2/ Nếu x
2
+y
2
=1 thì
52 ≤+ yx
.(bài tập 4.23a, trang 105 _SBT
Đại số 10 Nâng cao_NXB Giáo dục).
Giải:
1/ Vì x
2
+y
2
=1, nên ta có thể đặt:
=
=
ty
tx
sin
cos
. Khi đó, ta có:
yx +
=
2)
4
sin(2sincos ≤+=+
π
ttt
(đpcm)
2/ Chứng minh tương tự.
Bài 14: Cho các số thực a,b. CMR:
( )
)(8
44
4
baba +≤+
.
Giải:
+ Nếu a=0, thì bất đăng thức hiển nhiên đúng.
+ Nếu
0≠a
,
( )
)(8
44
4
baba +≤+
⇔
)1(81
4
4
4
a
b
a
b
+≤
+
, đặt
−
∈=
2
,
2
,tan
ππ
tt
a
b
, bất đẳng thức tương:
( )
)tan1(8tan1
4
4
tt +≤+
⇔
( )
)sin(cos8sincos
44
4
tttt +≤+
,Cần chứng minh:
( )
0sincos)sin(cos8
4
44
≥+−+ tttt
.
Thật vậy, ta có:
( )
02sin24cos
2
5
2
9
sincos)sin(cos8
4
44
≥−+=+−+ xxtttt
, (hiển
nhiên) vì
14cos −≥t
và
22sin2
−≥−
t
.
Bài 15: Cho các số thực dương x,y,z.
Trang 12
Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số G .V: Nguyễn Đăng Khoa
Chứng minh rằng:
xyzyzzxz ≤−+− )()(
Giải:
Vì x,y>0 suy ra:
xy
>0, do đó:
xyzyzzxz ≤−+− )()(
⇔
1
)()(
≤
−
+
−
xy
zyz
xy
zxz
⇔
1≤
−
+
−
y
zy
x
z
x
zx
y
z
cần chứng minh:
1≤
−
+
−
y
zy
x
z
x
zx
y
z
.
Nhận xét:
1
22
=
−
+
y
zy
y
z
và
1
22
=
−
+
x
zx
x
z
nên ta có thể đặt:
∈
−
=
=
2
,0,sin
cos
π
u
y
zy
u
y
z
u
và
∈
−
=
=
2
,0,sin
cos
π
v
x
zx
v
x
z
v
khi đó:
y
zy
x
z
x
zx
y
z −
+
−
= cosu.sinv + cosv.sinu =sin(u+v)
≤
1, hiển
nhiên. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Bài 16: Cho hai số thực x, y dương thỏa: x+y=1. Tìm GTNN của biểu
thức:
xy
xyT
1
+=
Giải:
Từ giả thiết:
=+
>
1
0,
yx
yx
, nên ta có thể đặt:
∈=
=
2
,0,cos
sin
2
2
π
tty
tx
Trang 13
Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số G .V: Nguyễn Đăng Khoa
Ta có:
t
t
tt
ttT
2
2
22
22
sin
4
2sin
4
1
cos.sin
1
cos.sin +=+=
đặt u = sin2t, ĐK:
10
≤<
u
, khi đó:
2
2
4
4
1
u
uT +=
=f(u).
f
’
(u)=
3
8
2
1
u
u −
, f
’
(u) = 0
2±=⇒ u
.
BBT: u
∞−
-2 0 1 2
∞+
f
’
(u) + 0 - - 0 +
∞+
∞+
f(u)
∞−
∞−
4
17
Vậy: Min T=
4
17
, khi u=1= sin2t
2
1
4
==⇒=⇒ yxt
π
Bài 17: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức:
122
2
2
2
++
+
=
xxy
yxy
P
, với x khác y
và thỏa mãn: x
2
+ y
2
=1.
Giải:
Với giả thiết:
=+
≠
1
22
yx
yx
, ta có thể đặt:
[ ]
∈=
=
4
\2,0,sin
cos
π
π
tty
tx
, khi đó, ta
có:
PtPtP
tt
tt
ttt
ttt
P 412cos)12(2sin)22(
42cos22sin2
12cos2sin2
1sin2cos.sin2
coscos.sin2
2
2
−=+−−⇔
+−
++
=
++
+
=
(vì 2sin2t-2cos2t+4
t∀≠ ,0
)
Phương trình có nghiệm
⇔
( ) ( ) ( )
222
411222 PPP −≥++−
⇔
1
2
1
0448
2
≤≤
−
⇔≤−− PPP
Trang 14
Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số G .V: Nguyễn Đăng Khoa
Vậy:
==
=±=
⇔=⇔
−
=
=±=
==
⇔−=⇔=
yt
xt
tPMin
yt
xt
tPMax
2
1
sin
2
1
cos
12sin
2
1
1sin
0cos
12cos1
Bài 18: Cho hai số thực x, y dương thỏa: x+y=1. Tìm GTNN của biểu
thức:
y
y
x
x
Q
−
+
−
=
11
Giải:
ĐK: 0<x,y<1. đặt:
∈=
=
2
,0,sin
cos
2
2
π
tty
tx
tt
tttt
tt
tt
t
t
t
t
Q
cos.sin
)cos.sin1)(cos(sin
cos.sin
sincos
cos
sin
sin
cos
3322
−+
=
+
=+=
,
Đặt u=sint+cost =
)
4
sin(2
π
+t
,
21 ≤< u
.
)(
1
3
2
3
uf
u
uu
Q =
−
−
=
, ta có:
u
u
u
uf ∀<
−
+−
= ,0
)1(
)3(
)(
22
4
'
suy ra hàm số f(u) giảm
trên
(
]
2,1
. Do đó:
2
1
4
1)
4
sin(22)2( ==⇒=⇔=+⇒=⇔== yxttufQMin
ππ
Bài 19: Cho các số thực x,y thay đổi thỏa: x
2
+y
2
=2. Tìm GTLN, GTNN
của P=2(x
3
+y
3
)-3xy.(Trích đề thi Cao đẳng khối A,B,D _năm 2008_ Bộ
GD&ĐT)
Giải:
Trang 15
Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số G .V: Nguyễn Đăng Khoa
Từ giả thiết ta có thể đặt:
=
=
ty
tx
sin2
cos2
ttttttP cos.sin6)cos.sin1)(sin(cos24 −−+=
.
Đặt u=sint+cost =
)
4
sin(2
π
+t
,
22 ≤≤− u
,ta có:
)(326322
23
ufuuuP =++−−=
26626)(
2'
+−−= uuuf
,
−=
=
⇔=
2
2
1
0)(
'
u
u
uf
(thỏa)
2
13
2
1
,1)2(,7)2( =
==− fff
.
Vậy: Max P=13/2 và Min P=-7.
Bài 20: Cho hai số thực x, y dương thỏa: x+y=2. CMR:
2)(
3333
≤+ yxyx
(India MO 2003).
Giải:
Từ giả thiết:
=+
>
2
0,
yx
yx
, nên ta có thể đặt:
∈=
=
2
,0,sin2
cos2
2
2
π
tty
tx
Ta có:
( )
( )
Kttttttyxyx =
−=+=+
2666
6
3333
sin
4
3
12sin8sincoscos.sin512)(
Đặt u=sin
2
2t, ĐK:
10 ≤< u
,do đó: K=8u
3
-6u
4
=f(u)
f
’
(u)=24u
2
-24u
3
f
’
(u)=0
1=⇒ u
.
BBT:
Trang 16
Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số G .V: Nguyễn Đăng Khoa
u
∞−
0 1
∞+
f
’
(u) + 0 + 0 -
f(u) 2
∞−
0
∞−
Nhìn vào BBT ta thấy 0< f(u)
≤
2, nên suy ra:
2)(
3333
≤+ yxyx
(đpcm).
Bài 21: Tìm GTLN,GTNN của biểu thức:
xxA −+−= 41
. (bai 17,
trang112_ SGK Đại số 10 Nâng cao)
Giải:
ĐK:
41
≤≤
x
Vì
3)4()1(
22
=−+− xx
, nên đặt:
≤≤=−
=−
2
0,sin34
cos31
π
ttx
tx
Ta có:
( )
+=+=
4
sin6sincos3
π
tttA
.
Mặt khác, vì:
2
0
π
≤≤ t
nên
6
4
sin631
4
sin
2
2
≤
+≤⇒≤
+≤
ππ
tt
Vậy:
6=AMax
,
3=AMin
.
Bài 22: Cho hệ:
≥+
=+
=+
)3(12
)2(9
)1(16
22
22
yvxu
vu
yx
Tìm nghiệm của hệ để biểu thức P = x+u và F = x.u đạt GTLN.
Giải:
Trang 17
Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số G .V: Nguyễn Đăng Khoa
Đặt:
[ ]
∈=
=
π
2,0,sin4
cos4
aay
ax
và
[ ]
∈=
=
π
2,0,sin3
cos3
bbv
bu
thay vào (3) ta được:
12)sin.sincos.(cos12 ≥+=+ babavyux
1)cos( ≥−⇔ ba
,nhưng vì cos(a-b)
≤
1,
nên suy ra: cos(a-b)=1 khi a=b. Do đó:
• P=x+u=
7cos7cos3cos4 ≤=+ aaa
. Vậy
027 ==⇒==⇔= bakbaPMax
π
và a=b=
π
2
suy ra tương ứng với
nghiệm của hệ là: x=4,y=0,u=3,v=0.
• F=x.u=
12cos12cos3.cos4
2
≤= aaa
.
Vậy
01cos12 ==⇒=⇔±=⇔= bakaaFMax
π
, a=b=
π
và a=b=
2
π
, suy
ra tương ứng với nghiệm của hệ là: x=4,y=0,u=3,v=0 và x=-4,y=0,u=-
3,v=0.
Trang 18
Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số G .V: Nguyễn Đăng Khoa
BÀI TẬP THAM KHẢO
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1/
( ) ( )
2
3
23
121 xxxx −=−+
2/
012121
222
=+−−−− xxxx
3/
2246
1275611264 xxxx −=−+−
4/
4
12)24)(42()24)(42(
2
3232
x
xxxx −+=−−−−+−−
5/
)142()1(22121
2422
+−−=−++−− xxxxxxx
, (ĐH Bách Khoa
TP.HCM_2001)
6/
x
x
x
x
xx
21
21
21
21
2121
−
+
+
+
−
=++−
7/
( )( )
2
22121 xxxx −+=−+
8/
( ) ( )
2
33
2
121111 xxxx −+=
+−−−+
9/
12
35
1
2
=
−
+
x
x
x
10/
22
1
2
=
−
+
x
x
x
Bài 2: Định m để phương trình sau có nghiệm:
1/
( )( )
mxxxx =+−−++− 2222
2/
mxxxx ++−=−+ 99
2
(ĐH Y_ Dược TP.HCM_1997)
3/
( )( )
mxxxx =+−+−++ 3663
(ĐH Kinh tế TP.HCM_1996)
4/
mxx =−+ 4
Trang 19
Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số G .V: Nguyễn Đăng Khoa
5/
391
2
−=− mx
6/
xmx 2164
2
−=−
7/
2
4
3 1 1 2 1x m x x− + + = −
. (Trích đề thi tuyển sinh Đại Học khối A
_2007 Bộ GD&ĐT)
Bài 3: Cho phương trình:
m
x
x
+
−
+
1
11
1/Giải phương trình khi m=
3
2
2 +
2/Định m để phương trình có nghiệm
Bài 4: Giải các bất phương trình sau:
1/
12
35
1
2
=
−
+
x
x
x
2/
1
1
3
1
1
2
2
−
−
>
−
x
x
x
Bài 5: Tìm m để bất phương trình:
mxxxx +−≤−+ 4)7)(3(
2
có nghiệm
đúng với
[ ]
7,3−∈∀x
Bài 6: Giải các hệ phương trình sau:
1/
( )
( )
( )
( )
+−=−+
+−=−+
21log131log
21log131log
2
3
2
2
2
3
2
2
xy
yx
2/
+=++
=+
2413
3
22
xyyx
yx
(CĐSP_ Hải Dương_2006)
3/
=−+
=−+
212
212
2
2
xy
yx
Trang 20
Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số G .V: Nguyễn Đăng Khoa
4/
+
=−
=+
yx
yx
yx
1
3
1
33
22
5/
=−++
=+
136
1
2
22
xyyxx
yx
Bài 7: Cho x,y là hai số thực không âm thỏa: x+y=1. Tìm GTNN của biểu
thức:
22
9402213 yxT +++=
Bài 8: Cho hai số thực x,y thỏa: x
2
+y
2
=4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
xyyxP +++= 22
Bài 9: Cho hai số thực x, y dương thỏa: x+y=1. Tìm GTNN của biểu thức:
xy
yx
F
11
33
+
+
=
Bài 10: Cho hai số thực x, y dương thỏa: x+y=1. Tìm GTNN,GTNN của
biểu thức:
11 +
+
+
=
x
y
y
x
P
Bài 11: Cho hai số thực x, y dương thỏa: x+y=1. Tìm GTNN của biểu
thức:
2
2
2
2
11
y
y
x
xF +++=
Bài 12: Cho x
2
+y
2
=1 và u
2
+v
2
=1.
Chứng minh:
2))(())((2 ≤−+++−≤− vuyxvuyx
Trang 21
Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số G .V: Nguyễn Đăng Khoa
LỜI KẾT
Nói đến bài toán: Giải phương trình,bất phương trình, hệ phương trình,
chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số,
là nói đến bài toán rộng lớn. Tuy nhiên trong khuôn khổ của đề tài tôi chỉ nêu
cách giải cho những dạng toán thường gặp.
Khi dùng phương pháp ứng dụng lượng giác để giải những bài toán trên,
ta nên nhấn mạnh cho học sinh là khi gặp bài toán dạng nào thì dùng được
phương pháp lượng giác.
Trên đây là một số suy nghĩ của tôi, mong đóng góp cùng đồng nghiệp để
giúp học sinh giải tốt các bài toán: Giải phương trình,bất phương trình, hệ
phương trình, chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của hàm số.
Trang 22
Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số G .V: Nguyễn Đăng Khoa
Nhận xét, đánh giá HĐCM trường THPT Ba Tơ
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
……………………………………………………………
Nhận xét, đánh giá HĐCM Sở GD&ĐT Quảng Ngãi
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT TRONG TÀI LIỆU
Trang 23
Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số G .V: Nguyễn Đăng Khoa
1/ Sách giáo khoa: SGK
2/ Sách bài tập: SBT
3/ Giá trị lớn nhất: GTLN
4/ Giá trị nhỏ nhất: GTNN
5/ Bảng biến thiên: BBT
6/ Điều kiện xác định của bài toán: ĐK
7/ Nhà xuất bản: NXB
8/ Điều phải chứng minh: đpcm
9/ Chứng minh rằng: CMR
Trang 24
Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số G .V: Nguyễn Đăng Khoa
Trang 25
