SKKN TÌM LỜI GIẢI, KHAI THÁC VÀ MỞ RỘNG MỘT VÀI DẠNG TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CÓ ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

Tìm lời giải, Khai thác và mở rộng một vài dạng toán chứng minh
bất đẳng thức có điều kiện cho trớc
TI :
TèM LI GII, KHAI THC V M RNG MT VI DNG TON
CHNG MINH BT NG THC Cể IU KIN CHO TRC
A/- T VN :
1. Lý do chn ti:
- Khi gp bi toỏn dng chng minh bt ng thc vi iu kin rng buc cho
trc a s HS lp 8, 9, k c nhng HS khỏ gii cng u gp lỳng tỳng v khú khn
trong vic tỡm li gii, c bit nhng dng toỏn ny thng gp trong cỏc kỡ thi HSG
lp 8, lp 9 v thi vo trng chuyờn lp chn bc THPT, vỡ vy iu khin cho HS tỡm
li gii gn v p, ng thi khai thỏc v m rng bi toỏn l iu ht sc quan trng
cho cỏc em.
- Qua thc tin ging dy, bi dng hc sinh gii tụi ó a vo ỏp dng v thy
c hiu qu rt tt.
2. Mc ớch nghiờn cu:
- Tỡm li gii, khai thỏc v m rng mt vi dng toỏn chng minh bt ng thc cú
iu kin cho trc nhm to tớnh hng thỳ cho cỏc em hc sinh khỏ v gii bc THCS
t ú cỏc em khụng b lỳng tỳng khi gp dng toỏn ny.
3. Nhim v nghiờn cu:
- ra phng phỏp gii mt vi dng toỏn chng minh bt ng thc cú iu kin
rng buc bc THCS theo hng phỏt hin v gii quyt vn .
4. Gi thuyt khoa hc:
- Nu vn dng tt phng phỏp dy hc gii quyt vn vo vic phỏt hin, tỡm
li gii mt s dng toỏn chng minh bt ng thc cú iu kin rng buc s gúp phn
phỏt huy tớnh tớch cc, c lp sỏng to, hỡnh thnh cho hc sinh nng lc t gii quyt
vn , nõng cao cht lng dy v hc toỏn.
5. Phng phỏp nghiờn cu:
- Nghiờn cu SGK, toỏn tui th, th gii trong ta, bỏo ti liu liờn quan,.
- iu tra tng kt kinh nghim.
- Thc nghim s phm.

Sáng kiến kinh nghiệm
1
Tìm lời giải, Khai thác và mở rộng một vài dạng toán chứng minh
bất đẳng thức có điều kiện cho trớc
B/- GII QUYT VN :
V D 1:
BI TON 1.1:
Chng minh rng nu a + b
1
thỡ a
2
+ b
2

2
1


LI GII:
(a
2
+ b
2

2
1

) + (1- a - b ) =
0
2

1
2
1
)
4
1
()
4
1
(
22
22







+






=+++ babbaa

M
01

ba
( vỡ a + b
1
). Do ú a
2
+ b
2

0
2
1

=> a
2
+ b
2

2
1


Bi toỏn trờn cú th m rng nh sau:
BI TON 1.2:
Chng minh rng nu :
a + b +c
1
thỡ a
2
+ b

2
+ c
2
4
1

( Bi gii cho bi toỏn ny cng tng t nh li gii bi toỏn 1)
LI GII:
Ta cú: (a
2
+ b
2
+ c
2

4
1

) + (1- a - b - c) = =
0
2
1
2
1
2
1
4
1
()
4

1
()
4
1
(
222
222







+






+






=+++++ cbaccbbaa

M
01

cba
( vỡ a + b+c
1
)
Do ú a
2
+ b
2
+ c
2

0
4
1

=> a
2
+ b
2
+ c
2

4
1

(pcm)
Cú th m rng thờm bi toỏn mi cú cỏch gii tng t nh sau:

BI TON 1.3: Cho a + b + c + d = 2. Chng minh rng a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2

1

LI GII:
Sáng kiến kinh nghiệm
2
Tìm lời giải, Khai thác và mở rộng một vài dạng toán chứng minh
bất đẳng thức có điều kiện cho trớc
Ta cú: (a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
-
1
) + (2- a - b c - d) = =
0
2
1

2
1
2
1
2
1
)
4
1
()
4
1
()
4
1
()
4
1
(
2222
2222







+

+






+






=++++++ dcbaddccbbaa

M
01 = dcba
( vỡ a + b+c+d
1=
)
Do ú a
2
+ b
2

+ c
2
+d
2
01

=> a
2
+ b
2
+ c
2
+d
2

1
(pcm)
ng thc xy ra khi v ch khi a = b = c = d =
2
1
Phng phỏp gii trờn cng cú th ỏp dng gn gng v hiu qu cho bi toỏn sau:
BI TON 1.4:
a - b
1=
vi a
2
+ b
2

2

1

( thi HSG lp 8 Huyn c Th nm hc 2006 2007)
LI GII:
(a
2
+ b
2

2
1

) + (1- a + b ) =
0
2
1
2
1
)
4
1
()
4
1
(
22
22

++






=++++ babbaa

M
01 =+ ba
( vỡ a - b
1=
). Do ú a
2
+ b
2

0
2
1

=> a
2
+ b
2

2
1

(pcm)
ng thc xy ra khi v ch khi a =
2
1
; b = -
2
1
V D 2:
BI TON 2.1: Chng minh rng nu
2+ ba
thỡ
44
ba +

a
3
+ b
3
( thi HSG toỏn 9, qun 1, TP HCM,2001 2002)
LI GII:
Ta cú: (a
4
+b
4
a
3

b
3
) + ( 2- a- b) = a
4
a
3
a + 1 + b
4
b
3
b + 1=
= a
3
(a-1) (a-1) + b
3
(b-1) (b-1) = (a- 1)(a
3
-1) +(b- 1)(b
3
-1) =
= (a- 1)
2
(a
2
+ a + 1) +(b- 1)
2
(b
2
+ b + 1) = (a 1)
2

+






+
4
3
2
1
2
a
+
(b 1)
2

+






+
4
3
2
1
2
b
0


M 2 a b
0

( vỡ
2
+
ba
). Do ú
44
ba +

- a
3
b
3

0

=>
44
ba +

a
3
+ b
3
BI TON 2.2:: Chng minh rng nu:
3++ cba
thỡ a
3
+ b
3
+c
3

44
ba +
+c
4
( thi chn i tuyn HSG 9 Trng THCS Lờ Quý ụn, Qun 3,
Sáng kiến kinh nghiệm

3
Tìm lời giải, Khai thác và mở rộng một vài dạng toán chứng minh
bất đẳng thức có điều kiện cho trớc
TP HCM, 2005 2006)
LI GII:
Ta cú: (a
4
+b
4
+ c
4
a
3
b
3
c
3
) + ( 3 a - b c ) =
a
4
a
3
a + 1 + b
4
b
3
b + 1 + c
4
c
3

c + 1 =
= a
3
(a-1) (a-1) + b
3
(b-1) (b-1) + c
3
(c-1) (c-1) =
=(a- 1)(a
3
-1) +(b- 1)(b
3
-1) +(c- 1)(c
3
-1) =
= (a- 1)
2
(a
2
+ a + 1) +(b- 1)
2
(b
2
+ b + 1) + (c- 1)
2
(c
2
+ c + 1)=
= (a 1)
2

+






+
4
3
2
1
2
a
+
(b 1)
2

+






+
4
3
2
1
2
b

+(c 1)
2








+

+
4
3
2
1
2
c
0
M 2 a b - c
0
( vỡ
3++ ba
). Do ú
44
ba +
+c
4
- a
3
b
3
- c
3

0

=> a
3
+ b
3
+c
3
44
ba +
+c
4
(pcm)
Khai thỏc v m rng t bi toỏn trờn, ta c bi toỏn tng quỏt sau:
BI TON 2.3
Cho k s a
1
; a
2
; ; a
k
cú a
1
+ a
2
+ + a
k


k .
CMR: a
1

4
+ a
2
4
+ + a
k
4


a
1
3
+ a
2
3
+ + a
k
3
.
Vic chng minh bi toỏn trờn ta cng ỏp dng phng phỏp trỡnh by nh cỏc bi toỏn
c th trờn:
LI GII :
Ta cú: a
1
4
+a
2
4
++ a
k

4
- a
1
3
- a
2
3
- a
k
3
+ ( k a
1
- a
2
- a
k
) =
(a
1
4
a
1
3
a
1
+1) +(a
2
4
a
2

3
a
2
+1 )++( a
k
4
a
k
3
a
k
+1)
= a
1
3
(a
1
- 1) (a
1
- 1) + a
2
3
(a
2
-1) (a
2
-1) ++ a
k
3
(a

k
-1) (a
k
-1) =
=(a
1
- 1)(a
1
3
-1) +(a
2
- 1)(a
2
3
-1) ++(a
k
- 1)(a
k
3
-1) =
= (a
1
- 1)
2
(a
1
2
+ a
1
+ 1) +(a

2
- 1)
2
(a
2
2
+ a
2
+ 1) ++ (a
k
- 1)
2
(a
k
2
+ a
k
+ 1) =
= (a
1
1)
2

+






+
4
3
2
1
2
1
a
+
(a
2
1)
2








+

+
4
3
2
1
2
2
a

++(a
k
1)
2








+

+
4
3
2
1
2
k
a
0
M k a
1
a
2
-- a
k

0
( vỡ a
1
+ a
2
+ + a
k


k).
Sáng kiến kinh nghiệm

4
Tìm lời giải, Khai thác và mở rộng một vài dạng toán chứng minh
bất đẳng thức có điều kiện cho trớc
Do ú a
1
4
+a
2
4
++ a
k
4
- a
1
3
- a
2
3
- - a
k
3

0

Suy ra: a
1
4
+ a
2
4

+ + a
k
4


a
1
3
+ a
2
3
+ + a
k
3
. (pcm)
T bi toỏn 2.3 ta cú th xut v m rng thờm bi toỏn sau:
BI TON 2.4.
Cho k s dng a
1
; a
2
; ; a
k
cú a
1
+ a
2
+ + a
k

k .
CMR: a
1
n
+ a
2
n
+ + a
k
n


a
1
m
+ a
2
m
+ + a
k
m
(*)

m ; n

N ; n > m.
LI GII
Vỡ n > m. Gi s a
m

= a
n-1
, theo iu kin ca bi toỏn ta s chng minh:
a
1
n
+ a
2
n
+ + a
k
n


a
1
n-1
+ a
2
n-1
+ + a
k
n-1
.

m ; n

N
Ta cú: a
1

n
+ a
2
n
+ + a
k
n
- a
1
n-1
- a
2
n-1
- a
k
n-1
+k a
1
a
2
- - a
k
=
=(a
1
n
a
1
n-1
- a

1
+1) +(a
2
n
a
2
n-1
- a
2
+1)++ (a
k
n
a
k
n-1
- a
k
+1) =
= (a
1
-1) (a
1
n-1
- 1) +(a
2
-1) (a
2
n-1
- 1)+.+ (a
k

-1) (a
k
n-1
- 1) =
=(a
1
-1)
2
(a
1
n-2
+a
1
n-3
++ 1) +(a
2
-1)
2
(a
2
n-2
+a
2
n-3
+.+1) +.+
+ (a
k
-1)
2
(a

k
n-2
+a
k
n-3
++ 1)

0 (**)
Do
01
1
=
n
i
a
( i =1;2;3;;k) cú nghim duy nht , nờn:
01
3
1
2
1
=+++
nn
aa
vụ nghim
Vy
01
3
1
2

1
>+++
nn
aa

Nờn (**) ỳng (*) ỳng.
Trong bi toỏn 2.4 nu b iu kin a
i
dng( i =1;2;3;;k), ta cú bi toỏn sau:
BI TON 2.5: Cho k s a
1
; a
2
; ; a
k
cú a
1
+ a
2
+ + a
k


k .
CMR:
a a a a a a
n n
k
n n n
k

n
1
2
2
2 2
1
2 1
2
2 1 2 1
+ + + + + +



n N
*
(***)
Vic chng minh bi toỏn 2.5 hon ton tng t ging nh bi toỏn 2.4
LI GII
Sáng kiến kinh nghiệm
5
Tìm lời giải, Khai thác và mở rộng một vài dạng toán chứng minh
bất đẳng thức có điều kiện cho trớc
Ta cú: a
1
2n
+ a
2
2n
+ + a
k

2n
- a
1
2n-1
- a
2
2n-1
- a
k
2n-1
+k a
1
a
2
- - a
k
=
=(a
1
2n
a
1
2n-1
- a
1
+1) +(a
2
2n
a
2

2n-1
- a
2
+1)++ (a
k
2n
a
k
2n-1
- a
k
+1) =
= (a
1
-1) (a
1
2n-1
- 1) +(a
2
-1) (a
2
2n-1
- 1)+.+ (a
k
-1) (a
k
2n-1
- 1) =
=(a
1

-1)
2
(a
1
2n-2
+a
1
2n-3
++ 1) +(a
2
-1)
2
(a
2
2n-2
+a
2
2n-3
+.+1) +.+
+ (a
k
-1)
2
(a
k
2n-2
+a
k
2n-3
++ 1)

0 (****)
Do
01
12
=
n
i
a
( i =1;2;3;;k) cú nghim duy nht , nờn:
01
3222
=+++
n
i
n
i
aa
vụ nghim
Vy
01
3222
>+++
n
i
n
i
aa

Nờn (****) ỳng (***) ỳng.

C/- MT S BI TP T GII:
1. Cho a + b + c + d +e = 2. Chng minh rng a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+e
2

4
3


2. Cho a
1
+ a
2
+ a
3
+a
4
+a
5
+a
6
+a
7

+a
8
= 3. Chng minh rng
Cho a
1
2
+ a
2
2
+ a
3
2
+a
4
2
+a
5
2
+a
6
2
+a
7
2
+a
8
2

1
3. Cho a + b + c + d + e = 5 chng minh rng:

a
4
+ b
4
+ c
4
+ d
4
+ e
4


a
3
+ b
3
+ c
3
+ d
3
+ e
3
( thi HSG Huyn V Quang nm hc 2003 2004)
4. Cho x, y l cỏc s dng thoó món: x
3
+ y
4

32
yx +

Chng minh rng: a) x
3
+ y
3

22
yx +
b) x
2
+ y
3

2
yx +
5. Cho hai s dng x, y thoó món x
3
+ y
3
= x y . Chng minh rng: x
2
+ y
2
< 1
D/- KT LUN :
Sáng kiến kinh nghiệm
6
Tìm lời giải, Khai thác và mở rộng một vài dạng toán chứng minh
bất đẳng thức có điều kiện cho trớc
- Trờn õy ch l mt vi dng toỏn chng minh bt ng thc vi iu kin rng buc
cho trc thng gp trong cỏc kỡ thi HSG lp 8, 9 v cỏc kỡ thi tuyn vo trng

chuyờn lp chn THPT.
- Song khi tip cn tu thuc vo tng dng toỏn m GV phi hng dn ng thi
khai thỏc v m rng cỏc em hc sinh tip thu mt cỏch ch ng, sỏng to v bit
vn dng linh hot vo cỏc kỡ thi (nu gp)
- Trong quỏ trỡnh vn dng vo ging dy, tụi thy hc sinh phn ln nm c bi, t
tin hn khi gp dng toỏn nờu trờn v vn dng vo gii mt cỏch nhanh chúng, hiu
qu c nõng lờn rừ rt.
- Trong bi vit ny ch l mt phn nh trong nhiu dng toỏn chng minh bt ng
thc vi iu kin rng buc cho trc, khụng th trỏnh khi nhng thiu sút, rt mong
cỏc ng nghip gúp ý v xõy dng khai thỏc v m rng mt cỏch chuyờn sõu v
tng quỏt hn nhm giỳp cho cỏc em hc sinh thu hiu mt cỏch sõu sc. Tụi xin chõn
thnh cm n./.
Sáng kiến kinh nghiệm
7