Bài giảng số 1. Hàm số đồng biến, nghịch biến và ứng dụng

Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học
Hotline: 0987.708.400 –

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Bài giảng số 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Cho hàm số ( )y f x trên khoảng ( ; )a b
Tính chất 1: Hàm số ( )y f x trên khoảng ( ; )a b được gọi là:
i) Đồng biến nếu
'( ) 0 ( ; )f x x a b  

ii) Nghịch biến nếu '( ) 0 ( ; )f x x a b  
Tính chất 2: Hàm số ( )y f x trên khoảng ( ; )a b được gọi là:
i) Đồng biến nếu '( ) 0 ( ; )f x x a b   , và ( ) 0f x  tại hữu hạn điểm thuộc khoảng ( ; )a b
ii) Nghịch biến nếu
'( ) 0 ( ; )f x x a b  
và
( ) 0f x 
tại hữu hạn điểm thuộc khoảng
( ; )a b

Nhận xét: Trong các bài toán tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu chúng ta thường dùng tính chất 2 để
áp dụng.
B. CÁC VÍ DỤ MẪU
Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số ( )y f x
Phương pháp:
Bước 1: Tìm tập xác định
Bước 2: Tính đạo hàm và tìm nghiệm của đạo hàm
Bước 3: Lập bảng xét dấu đạo hàm và kết luận khoảng đồng biến và nghịch biến.
Ví dụ 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

 
3 2
5y x x 


Giải:
Tập xác định: .D R
Ta có
3
5 10
'
x
y
x

 . Khi đó phương trình ' 0 2.y x  
Bảng xét dấu
X


0 2


y’ + || - 0 +

Từ bảng xét dấu ta suy ra hàm số đồng biến trên khoảng
( ;0)
và
(2; ) 

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; -2).
Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số
2 3
3sin cos
2
x
y x x

   trên khoảng 0( , ).


Giải
Tập xác định: .D R

Ta có
' 3cos sin 1y x x  
, khi đó phương trình

Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học
Hotline: 0987.708.400 –

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
' 0 sin 3cos 1 sin( ) sin
3 6
2
2
7
2
6
y x x x

x k
x k
 




      

 




 



Trên khoảng 0( , ).

y’ = 0 có một nghiệm .
2
x

 Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( ; )
2


và nghịch biến
trên khoảng

(0; )
2

.
Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước.
Phương pháp 1:
Bước 1: Cô lập tham số m sang một vế dạng ( )f x m
Bước 2: Tính đạo hàm xét dấu và lập bảng biến thiên trên khoảng cho trước
Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận điều kiện của tham số m.
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số
2
2 3
1
x x m
y
x
 


đồng biến với mọi x > 3.
Giải:
Tập xác định:
 
1\D R
Khi đó, ta có
 
2
2
2 4 3
1

'
x x m
y
x
  


.
Để hàm số đồng biến với mọi x > 3, thì

 
2
2
2
2
2 4 3
0 3 2 4 3 0 3
1
2 4 3 3
'
, .
.
x x m
y x x x m x
x
x x m x
  
          

     

Xét hàm số
2
2 4 3( )f x x x   trên miền x > 3, ta có 4 4 0 3'( ) .f x x x    
Vậy f(x) là hàm số đồng biến với
3x 
suy ra 3 9( ) ( )f x f  , vậy để
2
2 4 3 3x x m x     thì
3 9( ) .m f 
Phương pháp 2:

Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học
Hotline: 0987.708.400 –

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Dựa vào định lý dấu tam thức bậc hai và định lý viet
Ví dụ 4: Tim m để hàm số
3 2
3 (4)   y x x mx m là nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 1.
Giải:
Tập xác định:
.D R

Ta có
2
3 6'y x x m  
. Điều kiện để hàm số (4) nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng bằng 1 thì
phương trình:

2
3 6 0x x m   (4’)
phải có hai nghiệm
1 2
,x x sao cho
2 1
1 (*)x x 
Điều kiện để (4’) có hai nghiệm phân biệt là 0 9 3 0 3
'
.m m      
Khi đó
 
2
2
1 2 1 2 1 2
1 4 1(*) ( )x x x x x x      
. Áp dụng định lý viet, ta có:

4
9 1 6
3
.
m
m   
So sánh với điều kiện suy ra không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 5: Cho hàm số
3 2 2
ax (2 7 7) 2( 1)(2 3)       y x a a x a a
đồng biến trên [2:+ ) .
Giải:

Ta có
2 2
3 2 2 7 7' ( )y x ax a a     . Điều kiện để hàm số đồng biến trên

2;

 

là


2 2
3 2 2 7 7 0 2

         

' ( ) (*) ;y x ax a a x

Ta có
2
' 7 21 21 0a a a     
Gọi
1 2 2 1
, ( )x x x x là hai nghiệm của phương trình y’ = 0, khi đó tập nghiệm của bất phương trình (*) là
1 2
( ; ] [ ; )x x    . Vậy để hàm số đồng biến trên khoảng

2

 


;
Thì
1 2
[2; ) ( ; ] [ ; )x x       nghĩa là
1 2
2x x  . Điều kiện là

Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học
Hotline: 0987.708.400 –

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
  
1 2
1 2
2
1 2 1 2 1 2
2
2
4
4
4
3
( )
2 2 0 2( ) 4 0
2 7 7 4
4 0
3 3
6
6

5
1
5
2
1
2 3 5 0
2
a
x x
x x
theo viet
x x x x x x
a a a
a
a
a
a
a a



 

 

 
 
  
      
 





   







     
 
  
   




Dạng 3: Ứng dụng tính đơn điều trong chứng minh bất đẳng thức
Phương pháp
Sử dụng các kiến thức sau:
 Dấu hiệu để hàm số đơn điệu trên một đoạn.
 f ( x) đồng biến trên [a; b] thì
( ) ( ) ( )f a f x f b 

 f(x) nghịch biến trên [a; b] thì ( ) ( ) ( )f a f x f b 
Ví dụ 6: Chứng minh rằng
3

tan , (0; )
3 2
x
x x x

   

Giải:
Xét hàm số
3
( ) tan ,
3
x
f x x x  
ta có
2 2 2
2
1
'( ) 1 tan
cos
f x x x x
x
    
Dễ thấy tan (0; )
2
x x x

   nên '( ) 0 (0; )
2
f x x


  
Vậy hàm số ( )f x đồng biến trên khoảng (0; )
2

suy ra
3
( ) (0) 0 tan (0; )
3 3
x
f x f x x x

      
Ví dụ 7: Chứng minh bất đẳng thức sau:
2
cos 2 , .
2
x
x
x e x x R     
Giải:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

2
cos 2 0, .
2
x
x
x e x x R      

Xét hàm số
2
( ) cos 2 ( ).
2
x
x
f x x e x x R       Ta có

'
( ) sin 1
x
f x x e x     và
''
( ) cos 1 1 cos 0,
x x
f x x e x e x R         

Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học
Hotline: 0987.708.400 –

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Vậy
'
( ) 0f x  có nghiệm duy nhất 0.x 
Bảng biến thiên

x


0



'( )
f x

- 0 +
( )
f x



Từ bảng biến thiên chúng ta suy ra: ( ) 0f x  với x R  . (đpcm).

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Với giá trị nào của m, hàm số: 2
1
m
y x
x
  

đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Bài 2: Xác định m để hàm số
3
2
( 1) ( 3)
3
x
y m x m x      đồng biến trên khoảng (0; 3)

Bài 3: Cho hàm số
4mx
y
x m




a. Tìm m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định
b. Tìm m để hàm số tăng trên
(2; )

c. Tìm m để hàm số giảm trên
( ;1)

Bài 4: Cho hàm số
3 2
3(2 1) (12 5) 2y x m x m x      . Tìm m để hàm số:
a. Liên tục trên R.
b. Tăng trên khoảng (2; )
Bài 5: Chứng minh rằng với mọi
2
0

 x ta có

xxx  tan
3
1
sin

3
2
.
Hướng dẫn: Xét sự biến thiên của hàm số
xxxxf  tan
3
1
sin
3
2
)(
với







2
;0

x .


0


