Hàm số mũ và hàm số logarit và một số dạng bài tập

Khóa học: Phương trình mũ và logarit ôn thi Đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Địa chỉ: số 4, ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà nội.
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa


Bài giảng số 1: Những kiến thức cơ bản về hàm số mũ – lôgarit

A. HỆ THỐNG LÝ THUYẾT:

◙ Hàm số lũy thừa:
Tính chất của lũy thừa:
▪ Về cơ số; khi xét lũy thừa
a

:
+
:




a

xác định  a 

.
+
:






a

xác định khi a ≠ 0
+
\ :


 

a

xác định khi a > 0.
▪ Tính chất: Với a, b > 0; m,n 

:

; *
m
m n m n m n
n
a
a a a a
a
 
 

.



.
n
m m n
a a
 ; 


. .
m
m m
a b a b


m
m
m
a a
b
b
 








 
.
▪
( 0; , ; 0)
m
n
m
n
a a a m n n
   


▪
2
k
x
xác định khi
0
x

(k 

)
▪
2 1
k
x

xác định x 


(k 

)
▪ Đạo hàm


/
1
. ( 0, )
x x x
 
 

  

;


/
1 /
. . ( 0, )
u u u u
 
 

  




/
1
1
( , 2, 0)
.
n
n
n
x n n x
n x

   
; (Khi n chẵn,
1)
n





/
/
1
( , 2, 0)
.
n
n
n

u
u n n u
n u

   







Hàm số mũ:
▪ Hàm số mũ y = a
x
(a > 0, a ≠ 1) có tập xác định là

;

Khóa học: Phương trình mũ và logarit ôn thi Đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Địa chỉ: số 4, ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà nội.
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa

Tập giá trị là
*



: (tức là a
x
> 0, x 

− chú ý tính chất này để đặt điều kiện của ẩn phụ sau này);
Hàm số này liên tục trên


▪ Đạo hàm


/
ln
x x
a a a
 (a > 0, a ≠ 1)
▪ Khi a > 1 hàm số y = a
x
đồng biến trên

.
▪ Khi 0 < a < 1 hàm số y = a
x
nghịch biến trên

.
▪ a
0
= 1


a

0 , a
1
= a.
▪ Khi a > 1:
lim
x
x
a

 
;
lim 0
x
x
a


.
▪ Khi 0 < a < 1:
lim 0
x
x
a


;
lim
x

x
a

 
.
▪ Với a > b > 0 ta có: a
x
> b
x


x > 0 và a
x
< b
x


x < 0.
(Vẽ đồ thị của hàm số trong hai trường hợp a > 1 và
0 1
a
 
để nhớ các tính chất )

◙ Hàm số logarit:
 Chú ý: Khi xét
log
a
x
phải chú ý điều kiện

0; 1, 0.
a a x
  

Trong phần này Ta giả thiết mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa (có thể yêu cầu học sinh nêu các điều kiện
để các biểu thức có nghĩa như: Mẫu khác 0, cơ số a, b thỏa 0 < a,b ≠ 1, đối số của logarit phải dương).
▪ Cho 0 < a

1 , x > 0: log
a
x = y  a
y
= x.
▪ Với 0 < a

1 ta có:
log
a
n
a n

( n > 0 ) ; log
m
a
a m

(

m



); log
a
1 = 0;
log 1
a
a

.
▪ log
a
(x
1
.x
2
) = log
a
x
1
+ log
a
x
2
;
1
2
log
a
x

x
= log
a
x
1


log
a
x
2
( x
1
; x
2
> 0 ).
▪ log
a
x


= .log
a
x (x > 0) và
1
log .log
a
a
x x



 (x > 0, α ≠ 0).
▪ Đổi cơ số:
log
log
log
b
a
b
x
x
a
 hay log
a
x = log
a
b.log
b
x
▪ log
a
b =
1
log
b
a
và
log .log 1
a b
b a


.
▪ Hàm số y = log
a
x xác định và liên tục trên (0 ;+ ∞ ).
▪ Đạo hàm
 
/
1
log
.ln
a
x
x a

▪ Khi a > 1 hàm số y = log
a
x đồng biến trên ( 0 ; + ∞ ).
▪ Khi 0 < a < 1 hàm số y = log
a
x nghịch biến trên ( 0; + ∞ ).
▪ Nếu a > 1:
lim log ; lim log
a a
x x
x x
 
   

▪ Nếu 0 < a < 1:

lim log ; lim log
a a
x x
x x
 
   
.
(Vẽ đồ thị của hàm số trong hai trường hợp a > 1 và 0 < a < 1 để nhớ các tính
chất)
▪ Chú ý đến các công thức:
Khóa học: Phương trình mũ và logarit ôn thi Đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Địa chỉ: số 4, ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà nội.
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa


log
(0 1; 0)
a
b
b a a b
   
và
log (0 1)
b
a
b a a
  

 Giới hạn đặc biệt
 
x
1
x
0
1
lim 1+x lim 1+ = e
x
x x 
 
 
 




x 0
ln 1
lim 1
x
x




x
x 0
e -1

lim = 1
x



 Đạo hàm
1.


α α-1
x '=
α.x (x >0)
2.


α α-1
u '=
α.u .u'

3.


n
n
n-1
1
x '=
n. x
4.



n
n
n-1
u'
u '=
n u

5.
 
x x
'
a = a .lna
6.
 
u u
'
a = a .lna.u'

7.
 
x x
'
e = e
8.
 
u u
'
e = e .u'


9.
 
a
'
1
log x =
xlna
10.
 
a
'
u'
log u =
u.lna

11.
 
'
1
ln x = (x>0)
x
12.
 
'
u'
ln u =
u

B. CÁC VÍ DỤ MẪU
● Loại tính toán:
Ví dụ 1: Tính
25
log 15
theo a khi biết
3
log 15
a

.
 Hướng dẫn học sinh phân tích:

   
2
25 5 5 5
5
1 1
log 15 log 3.5 log 3 log 5 log 3 1
2 2
    


3 3 3 3 3
log 15 log 3.5 log 3 log 5 1 log 5
a
     

 Mà
3

5
1
log 5
log 3
 vậy
3
log 5
là cầu nối giữa hai số cần tính.
 Hướng dẫn học sinh xây dựng chương trình giải: Tính
3
log 5
theo a sau đó thay vào tính
25
log 15
.
Khóa học: Phương trình mũ và logarit ôn thi Đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Địa chỉ: số 4, ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà nội.
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa

Ví dụ 2: Không dùng máy tính hãy so sánh hai số
2,5
12
1
2 va
2

 







 

 Đưa về cùng một cơ số (ở bài này là 2) sau đó dựa vào tính đơn điệu của hàm số mũ để so sánh.

2,5
2,5
1
2
2

 







 
mà
2,5 12
  
nên
2,5

12
1
2
2

 







 


● Loại chứng minh:
Ví dụ 3: Chứng minh
4 2 3 4 2 3 2
x
    
.
 Cách 1: Phân tích (dễ thấy x > 0)
2
2 4
x x
  
do trong biểu thức chứa căn bậc hai nên ta sẽ
bình phương hai vế; nếu chứa căn bậc ba thì có thể lập phương.
 Yêu cầu học sinh bình phương rồi rút gọn → kết quả cần tìm.

 Cách 2:  Phân tích cho học sinh thấy rằng
4 2 3. 4 2 3 4 2
   

Có thể tính
4 2 3 va 4 2 3
  bằng cách xem chúng là hai nghiệm của hệ

2
2
x y
xy

 








3 1
3 1
x
y


 





 




Từ đó ta phân tích
2
4 2 3 3 2 3 1 ( 3 1)
     
còn
4 2 3
 tính tương tự.
Từ đó ta chứng minh được bài toán.
Ví dụ 4: Cho các số dương a, b, c trong đó c ≠ 1. Chứng minh
log log
c c
b a
a b


 Áp dụng tính chất log log
m m
x y x y
  
nên ta lấy logarit cơ số m dương khác 1 vế trái và chứng
minh nó bằng logarit cơ số m của vế phải.






log
log
log log .log
log .log
log
c
c
b
c c c
c c
a
c
a b a
a b
b




Nên
log log
c c
b a
a b

.

 Loại toán liên quan đến đạo hàm:

Học sinh phải nắm được các công thức tìm đạo hàm của các hàm số ; log ; ;
x
n
a
y a y x y x y x

   

và đạo hàm của hàm số hợp của các hàm số này.
 Chú ý cần phân biệt cho học sinh hai công thức:


/
ln
x x
a a a
 và


/
1
.
x x
 


 vì học sinh hay

hiểu và sử dụng sai như ví dụ sau đây:
Ví dụ 5: Tìm đạo hàm của hàm số
x
y x



.
Khóa học: Phương trình mũ và logarit ôn thi Đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Địa chỉ: số 4, ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà nội.
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa

 Sau khi yêu cầu học sinh phân tích đề: Hàm số cần tìm đạo hàm có dạng (u.v)
/
= u
/
v + uv
/
với
x
u


;
v x



ta cần chú ý cho học sinh thấy hàm số u là hàm số mũ còn hàm số v là hàm số lũy thừa từ đó các em áp dụng
công thức không sai lầm.

 Chú ý:
▪ Chỉ ra cho học sinh thấy sự liên quan của các kiến thức:
Ví dụ khi xét hàm số y = a
x
có


/
ln (0 1)
x x
a a a a
  
→ khi 0 < a < 1 ta có lna < 0 nên y’ < 0, x  hàm
số giảm trên

; khi a > 1 ta có lna > 0 nên y’ > 0, x  hàm số tăng trên

.
▪ Phân tích các sai sót mà học sinh thường gặp phải khi giải các bài toán trong chương này như:
+ Không đặt điều kiện xác định của phương trình.
+ Vận dụng không đúng các công thức nhất là các công thức về lôgarit.
+ Quên so sánh cơ số với số 1 khi giải bpt mũ và lôgarit…

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
1. Tính giá trị của biểu thức
1 1
( 1) ( 1)

A a b
 
   
khi





1 1
2 3 2 3
a v b
 
   µ

2. Biết
27 8 2
log 5 , log 7 , log 3
a b c
  
. Tính
6
log 35
theo a, b, c.
3. Tính
2 3 4 2000
1 1 1 1

log log log log
A

x x x x
     với x = 2000!
4. Rút gọn biểu thức
4
2 4
: ( 0)
B x x x x
 
 
.
5. Vẽ đồ thị của các hàm số:
a.
2
x
y

b.
2
log
y x


c.
1
2
x
y
 








 
d.
1
2
log
y x


6. Trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến?
a)
3
3 2
x
y
 








 


; b)
2
x
y
e
 







 
; c)
1
3
3 2
x
x
y

 









 

.
7. Chứng minh rằng


3
3 3 3 3
2 4 2 2 4 2 2 2
a a b b b a a b    
8. Chứng minh
1
log
1 1 1 1
log log log log
abcd
a b c d
x
x x x x

  
với a, b, c, d, x, abcd dương khác 1.
9. Không dùng máy tính hãy chứng minh đẳng thức
3 3
7 5 2 7 5 2 2
   
.
10. Không dùng máy tính hãy so sánh các cặp số sau:
a.





6
log 3 1 log 2 1
va
 
 
.
Khóa học: Phương trình mũ và logarit ôn thi Đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Địa chỉ: số 4, ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà nội.
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa

b.
2 5
log 3 log 3
va .
c.
5 8
7 11
7 3
log log
9 4
va .
d.
4 5

log 5 log 6
va
Bài 1: Tính các giới hạn sau

x
x +
x
a. lim
1+ x
 
 
 
 

x +
x+1
x
1
b. lim 1+
x
 
 
 
 

2 1
1
c. lim
2
x

x
x
x


 
 
 




x+1
3
x +
3x-4
d. lim
3x +2
 
 
 
 

x
x +1
e. lim
2x-1
x
 
 

 

x
2x+1
f. lim
x -1
x
 
 
 


x e
lnx-1
g. lim
x-e


2x
0
lim
e -1
h.
3x
x

x
x 1
e -e
i. lim

x-1



x -x
x 0
e -e
k. lim
sinx


sin2x sinx
x 0
e -e
l. lim
x


1
x
x
m. lim x e -1

 
 
 

Bài 2. Tính đạo hàm các hàm số sau
a.
3

2
y = x + x +1
b.
4
1
1
x
y
x



c.
2
5
2
x +x-2
y =
x +1

d.
 
3
y = sin 2x +1
e.
3
2
y = cot 1+x
f.
3

3
1- 2x
y =
1+ 2x

g.
3
x+3
y = sin
4
 
 
 
 
h.
11
5
9
y = 9+6 x
i.
2
4
2
x +x+1
y =
x -x +1

Bài 3. Tính đạo hàm các hàm số sau
a.



2 x
y = x -2x +2 .e
b.


2 -x
y = x +2x
e
c. y = e
-2x
.sinx
d.
2
2x+x
y = e e.
1
x- x
3
y = x.e f.
2x x
2x x
+
y =
-
e e
e e

g. y = 2
x

.e
cosx
h.
x
2
3
y =
x -x +1
i. y = cosx.e
cotx

Bài 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau
Khóa học: Phương trình mũ và logarit ôn thi Đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Địa chỉ: số 4, ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà nội.
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa

a. y = ln(2x
2
+ x + 3) b. y = log
2
(cosx) c. y = e
x
.ln(cosx)
d. y = (2x - 1)ln(3x
2
+ x) e.



3
1
2
y = log x -cosx
f. y = log
3
(cosx)
g.


ln 2x+1
y
2x+1
 h.


ln 2x +1
y
x +1

i.


2
y=ln x+ 1+x

Bài 5. Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được chỉ ra
a. Cho
2

x
2
y x.
e

. CMR xy' = (1 - x
2
)y
b. Cho y = (x + 1)e
x
. CMR y' - y = e
x

c. Cho y = e
4x
+ 2e
-x
. CMR y''' - 13y' - 12y = 0
d. Cho y = a.e
-x
+ b.e
-2x
. CMR y'' + 3y' + 2y = 0
e. Cho y = e
-x
.sinx. CMR y'' + 2y' + 2y = 0
f. Cho y = e
-x
.cosx. CMR y
(4)

+ 4y = 0
g. Cho y = e
sinx
. CMR y'cosx - ysinx - y'' = 0
h. Cho y = e
2x
.sin5x. CMR y'' - 4y' + 29y = 0
i. Cho
2 x
1
y = x .
2
e
. CMR y'' - 2y' + y = e
x

k. Cho y = e
4x
+ 2e
-x
. CMR y''' - 13y' -12y = 0
l. Cho y = (x
2
+ 1)(e
x
+ 2010). CMR


x 2
2

2xy
y'= + x +1
x +1
e

m. Cho y =
2
2 2
x 1
+ x x +1+ln x + x +1
2 2
. CMR 2y = xy' + lny'
n. Cho
1
y ln
1+ x
 







 

. CMR xy' + 1 = e
y

o. Cho

1
y
1+ x +lnx

. CMR xy' =
y ylnx-1
 
 

p. Cho y = sin(lnx) + cos(lnx). CMR y + xy' + x
2
y'' = 0
Khóa học: Phương trình mũ và logarit ôn thi Đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Địa chỉ: số 4, ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà nội.
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa

q. Cho


1+lnx
y
x 1-lnx

. CMR 2x
2
y' = xy' + lny'
Bài 6. Giải phương trình, bất phương trình sau với hàm số đã chỉ ra

a. f(x) = e
x
(x
2
+ 3x + 1) f '(x) = 2f(x)
b. f(x) = x
3
lnx
   
1
f ' x + f x
x

c. f(x) = e
2x - 1
+ 2.e
1 - 2x
+ 7x - 5 f '(x) = 0
d. f(x) = x + ln(x - 5) ; g(x) = ln(x - 1) f'(x) > g'(x)
e. f(x) =
 
2x+1
1
f x = 5
2
; g(x) = 5
x
+ 4xln5 f'(x) < g'(x)
f.
2

ln
y x

2
3
y xy x y
 
  

g. Cho hàm số
 
2
-x
y = e x +1

2 1 0
y y y y
  
  
 

h. Cho hàm số


x 2
y = ln e x +1
 
 

a. Giải phương trình



2
1 0
y x y
 
  
.
b. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
y

.
i. Cho hàm số
-x
y = x
e
. CMR
0, .
y y y y x R
  
     

k. Cho hai hàm số:
 
2
f x = cos2xcos x
;
 
2 2
1

g x sin 2x sin x
2
 
a. Tính


f x

,


g x

.
b. Chứng minh rằng:




0
f x g x
 
 
.
l. Cho hàm số
 
y=f x =tg3x.tg2x.tgx

Chứng minh rằng:



2 2 2
f x = 3tg 3x -2tg 2x - tg x
