Kỹ thuật phân tích trong tính tích phân

Khóa học tích phân ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
BÀI GIẢNG SỐ 08: PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
A. PHƯƠNG PHÁP:
Phương pháp phân tích thực chất là việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu thức dưới dấu
tích phân thành tổng các hạng tử mà nguyên hàm của mỗi hạng tử đó có thể nhận được từ bảng
nguyên hàm hoặc chỉ bằng các phép biến đổi đơn giản đã biết
Chú ý: Điểm quan trọng là phép phân tích trong bước 1. Chúng ta có thể rút ra ý tưởng từ
một vài ví dụ minh họa sau
a. Với f(x) = (x
3
– 2 )
2
thì viết lại f(x) =
6 3
4 4
x x
 

b. Với f(x) =
2
4 5
1
x x
x
 

thì viết lại f(x) =

2
3
1
x
x
 


c. Với f(x) =
2
1
5 6
x x
 
thì viết lại f(x) =
1 1
3 2
x x

 

d. Với f(x) =
1
2 1 3 2
x x
  
thì viết lại f(x) =


1

3 2 2 1
2
x x
  

e. Với f(x) =


2
2 3
x x
 thì viết lại f(x) =
4 2.6 9
x x x
 

f. Với f(x) =
3
8cos .sinx
x thì viết lại f(x) =


2 cos3 3cos sinx
x x

2cos3 sin 6cos sin
x x x x
 

sin 4 sin 2 3sin 2 sin 4 2sin 2
x x x x x
    

B. CÁC VÍ DỤ
Loại 1: Phân tích đưa về tích phân cơ bản
Ví dụ 1: Tính các tích phân
a. I =
 
1
2004
0
1
x x dx


b. I =
1
0
1
x
dx
e



Bài giải:
a. Ta có:
     
2004 2004

2005 2004
1 1 1 1 ( 1) ( 1)
x x x x x x         
 

Khi đó: I =
 
1 1 1
2004
2005 2004
0 0 0
1 ( 1) ( 1)
x x x dx x dx
    
  


Khóa học tích phân ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
=
   
1
2006 2005
0
1 1
1 1 1
2006 2005 2006 2005 4022030
x x

 
 
    
 
 
 

b. Ta có:


1
1
1
1 1 1
x x
x
x x x
e e
e
e e e
 
  
  

 
1 1 1
1
0
0 0 0
(1 ) 2

1 ln 1 1 ln
1 1 1
x x
x
x x
e d e
I dx dx x e
e e e
 

         
 
  
 
  

Loại 2: Phương pháp hệ số bất định
Ví dụ 2: Tính tích phân sau:
a. I =
1
2
2
0
4 3
dx
x x
 

b. I =
4

2
3
2 1
5 6
x
dx
x x

 

c. I =
3
2
3
2
3 3 3
3 2
x x
dx
x x
 
 


Bài giải:
a. Ta có:
2
1 1 1 ( 1) ( 3) 1 1 1
4 3 ( 3)( 1) 2 ( 3)( 1) 2 3 1
x x

x x x x x x x x
  
 
   
 
       
 

1 1 1 1
2 2 2 2
0 0 0 0
1 1 ( 3) ( 1)
2 3 1 2 3 1
dx dx d x d x
I
x x x x
   
 
 
 
    
 
 
   
 
 
   
   
 
1

2
0
1
ln 3 ln 1
2
x x   
=
1 5
ln
2 3

b. Ta có:


2
3 2
2 1 2 1
5 6 ( 2)( 3) 2 3 ( 2)( 3)
A B x A B
x x A B
x x x x x x x x
  
 
   
       

Đồng nhất hệ số ta có
2 5
3 2 1 7
A B A

A B B
   
 

 
   
 

 
4 4
4
3
3 3
( 2) ( 3)
5 7 5ln 2 7ln 3 5ln 2
2 3
d x d x
I x x
x x
 
          
 
 

c. Có:
2 2
3 2 2
3 3 3 3 3 3
3 2 ( 1) ( 2) ( 1) 1 2
x x x x A B C

x x x x x x x
   
   
      


Khóa học tích phân ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

2
2
( ) ( 3 2 ) 2 2
( 1) ( 2)
B C x A B C x B A C
x x
      

 

Đồng nhất hệ số ta được
3 27
3 2 3 18
2 2 3 15
B C A
A B C B
B A C C
  
 

 
    
 
 
    
 


3
3 3 3
2
2 2 2
2
( 1) ( 1) ( 2) 27
27 18 15 18ln 1 15ln 2
( 1) 1 2 1
d x d x d x
I x x
x x x x
  
 
         
 
   
 
  

=
27
18ln 2

2

Chú ý: Phương pháp được áp dụng để tính tích phân bất định trên là một trong số các phương pháp cơ bản
để tích tích phân hàm số hữu tỉ
Loại 3: Phương pháp nhân liên hợp
Ví dụ 3: Tính tích phân I =
4
3
2 3
dx
x x
  


Bài giải:
Khử tính vô tỉ ở mẫu bằng cách trục căn thức, được:
I =
 
 
4 4 4
1
1
2
2
3 3 3
1 1
2 3 2 ( 2) ( 3) ( 3)
5 5
x x dx x d x x d x
 

        
 
 
  

=
 
4
3 3
3
2 2
( 2) ( 3) 6 6 5 5 1
15 15
x x
 
     
 

Chú ý: Phương pháp được áp dụng để tính tích phân bất định trên là một trong số các phương pháp cơ bản
để tích tích phân hàm số vô tỉ
Loại 4: Phương pháp phân tích đối với tích phân lượng giác
Ví dụ 4: Tính các tích phân
a. I =
2
0
sinx
dx


b. I =

3
2
4
sinx.cos
dx
x



c. I =
3
2
6
os
sinx
c xdx




Bài giải:

Khóa học tích phân ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
a. Ta có:
2
(tan )
2

ln tan
sinx 2
2sin cos 2tan .cos tan
2 2 2 2 2
x
d
dx dx dx x
d
x x x x x
 
   
 
 

2
2
0
0
ln tan ln tan 0
2 2
x x
I d


 
   
 
 


b. Ta có:
2 2
2 2 2
1 sin cos sinx 1
sinx.cos sinx. os cos sinx
x x
x c x x

  
3 3 3 3
3
2 2
4
4 4 4 4
(tan )
sinxdx (cos ) 1
2
ln tan
cos sinx cos cos 2
tan
2
x
d
dx d x x
I
x
x x x
   



   
 
       
 
 
   


1
2 2 ln
3 tan
8

  
c. Ta có:


2
3 2
1 sin cos
cos cos .cos cos
sinx.cos
sinx sinx sinx sinx
x x
x x x x
x

   
2 2 2 2
6 6 6 6

cosxdx (sin )
sinx.cos sin x (sinx)
sin sin
d x
I xdx d
x x
   
   
    
   


2
2
6
1 3
(ln sinx sin ) ln 2
2 8
x


   

Ví dụ 5: Tính các tích phân
a. I =
2
4
0
sin
xdx



b. I =
4
4
0
cos
dx
x



Bài giải:

Khóa học tích phân ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
a. Ta sử dụng phép biến đổi
2
4 2
1 cos2 1 1 1 cos4
sin (1 2cos2 os 2 ) 1 2cos2
2 4 4 2
x x
x x c x x
 
   
      
   

   


3 1 1
cos2 cos 4
8 2 8
x x
  
2 2 2
2
0
0 0 0
3 1 1 3 1 1 3
cos2 cos4 ( sin 2 sin 4 )
8 2 8 8 4 32 16
I dx xdx xdx x x x
  


       
  

b. Sử dụng kết quả
2
(t anx)
cos
dx
d
x


4 4
4
2 3
2 2
0
0 0
1 1 4
. (1 tan ) (tan ) (t anx tan )
cos cos 3 3
dx
I x d x x
x x
 

      
 


Ví dụ 6: Tính các tích phân
a. I =
4
2
0
tan
xdx


b. I =
3

3
0
tan
xdx



Bài giải:
a. I =
 
4
4
2
0
0
1
1 t anx 1
cos 4
dx x
x



 
    
 
 


b. Ta có:

3 2
2 2
1 1 sinx
tan tan .t anx 1 tanx tanx.
cos cos cos
x x
x x x
 
    
 
 

3 3 3 3
3
2
2
0 0 0 0
0
1 sin x (cos ) 1 3
t anx. t anx. (tan ) tan x+ln cos ln2
cos cos cos 2 2
dx d x
I dx d x x
x x x
   

 
       
 
 

   

Tổng quát: Tính tích phân bất định
tan , 2
n
n
I xdx n
 


Phân tích
2 2 2 2 2
2 2
1 1
tan tan .tan 1 tan tan . tan
cos cos
n n n n n
x x x x x x
x x
   
 
    
 
 


Khóa học tích phân ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

1 2
1
tan tan
1
n n
n
I x dx
n
 
  



1
2
1
tan
1
n
n n
I x I
n


  


Đó là công thức truy hồi mà ta sẽ còn gặp lại
Ví dụ 7:
a. Xác định hằng số A, B, C sao cho

3sin cos 3 (sin 2cos 3) (cos 2sin )
x x A x x B x x C
       

b. Dựa vào kết quả đó tính tích phân
0
sin cos 1
sinx 2cos 3
x x
I dx
x

 

 


Bài giải:
Ta có: 3sin cos 3 (sin 2cos 3) (cos 2sin )
x x A x x B x x C
       

( 2 )sinx (2 )cos 3
A B A B x A C
     

Đồng nhất hệ số ta được:


2 3 1

2 1 1
3 3 0
A B A
A B B
A C C
  
 
 
    
 
 
  
 

Khi đó I =
0
0
cos 2sin
1 ln sinx 2cos 3 ln5
sin 2cos 3
x x
dx x x
x x




 
        
 

 
 
 


Chú ý: Thông thường trong bài tập không đưa gợi ý như câu a). Khi đó với các tích phân dạng:
1 1 1
2 2 2
sinx cos
sinx cos
b
a
a b x c
I dx
a b x c
 

 


Chúng ta nên sử dụng biện pháp phân tích




1 1 1 2 2 2 2 2
sinx cos sinx cos cosx- sin
a b x c A a b x c B a b x C
      

ở đó A, B, C được xác định bằng phương pháp đồng nhất hệ số
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tính các tích phân sau đây
a)


1
0
dx
1x
1
b) dx
1xx
1x2
1
0
2



c)


3
1
23
dx
x
xxx

Khóa học tích phân ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
d)
dx)
x3
1
x4(
8
1
3
2


e)
dx|1x|
2
2



g)
dx|1x|
2
0



h)
dx|1x|
2
2
2



i)
2
2
0
| x 2x 3|dx
 

k)


16
0
x9x
dx

l)
2
1
dx
x 1 x 1
  


m)



3
2
2
dx
2xx
1x
n)
dx
2x3x
x
1
0
2



o)


2
1
2
9x
dx
p)



3
1
2
3
16x
dxx
q)


5
4
2
dx
9x
1

r)
1
2
0
dx
x 1


s)


3
2

2
dx
1x
1
t)
dx8xx
2
0
3 32




Bài 2: Tính các tích phân sau đây
a)


1
0
1x3
dxe
b)


1
0
x
xdxe
2
c)


4
1
x
dx
x
e

d)

 2/
0
3
xdxcosxsin
e)

 4
0
2
dx
2
x
sin
g)

e
1
2
dx
x

xln

h)

 4
0
x2cos
dxx2sine
i)



1
0
x2
dx)
1x
3
e(
k) dx)xsin3
xcos
4
(
4
4
2





l) dx
xcos31
xsin
2
0



m)
dx
x
)xsin(ln
e
1

n)
dx
x
xln1
e
1



o)



2/
6/

32
xdxcosxsin
p)



4
0
dx
x2sin21
x2cos
q) dx
x
xln
2
e
e



Khóa học tích phân ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
r) dxx7sinx2sin
2
2





s)



3
4
2
xdxtg t) coxdxxsin41
6
0



u)



4
0
2
dx
xcos
x2sin1
v) dx
xcotxsin
1
4
6
2




x)
2
0
sinxsin2xsin3xdx

