Nguyên hàm cơ bản và một số ví dụ

Khóa học tích phân ôn thi đại học


Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

BÀI GIẢNG SỐ 01: NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Công thức tính đạo hàm

1
1) ( )'
x x
 


 2)
'
2
1 1
x x
 
 
 
 
3)


1
'
2

x
x





1
1
4). ' ( , 1)
n
n n
x n N n
n x


  

5).(sin )' cos
x x


6).(cos )' sin
x x
 



2
1

7).(tan )'
cos
x
x
 8)
2
1
(cot )'
sin
x
x
  9) ( )'
x x
e e


10)
( )' ln ,(0 1)
x x
a a a a
  

 
1
11). ln '
x
x


 

1
12. log '
ln
a
x
x a

2. Công thức tính đạo hàm của hàm hợp
1)


1
' '
u u u
 


 2)
2
1 '
'
u
u u
 
 
 
 
3)



'
'
2
u
u
u


4)


sin ' ' os
u u c u

5)


cos ' 'sin
u u u
 

6
 
2
2
'
tan ' '(1 tan )
cos
u
u u u

u
   7)
 
2
2
'
cot ' '(1 cot )
sin
u
u u u
u
  
8)


' '
u u
e u e

9)


' ' ln
u u
a u a a


10)
 
'

ln '
u
u
u
 11)
 
'
log '
ln
a
u
u
u a


3. Vi phân
Cho hàm số


.
y f x

Vi phân của hàm số


,
y f x

kí hiệu là
,

dy
và được xác định bởi
công thức
' .
dy y dx


4. Công thức tính vi phân
a)
'
u dx du

b)
2
(2 1) ( )
x dx d x x
  
c)


2
dx
d x
x


d)
cos (sin )
xdx d x


e)
ln
x
x
a
a dx d
a
 









 
g)
ax ax
1
( )
b b
e dx d e
a
 

h)
sin ( os )

xdx d c x

i)
 
2
cot
sin
dx
d x
x
 k)
 
ln
dx
d x
x

l)
 
2
tan
os
dx
d x
c x
 n)
1
sin(ax ) ( os(ax ))
b dx d c b
a


  
5. Công thức tính nguyên hàm
Khóa học tích phân ôn thi đại học


Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

Cho hàm số


.
y f x
 Nguyên hàm của hàm số


,
y f x
 ký hiệu là


,
f x dx

và được xác
định như sau
( ) ( ) ,
f x dx F x C
 


trong đó


( ) ' ( ).
F x f x

a)
dx x C
 

b)
1
1
x
x dx C




 


c)
x x
e dx e C
 


d)

sin cos
xdx x C
  

e)
cos sin
xdx x C
 

g)
2
tan
cos
dx
x C
x
 


h)
2
cot
sin
dx
x C
x
  

i)
1

ln
dx x C
x
 

k)
1
2
dx x C
x
 


l)
,0 1
ln
x
x
a
a dx C a
a
   

m)
1
sin(ax ) os(ax )
b dx c b C
a

   



n)
1
os(ax ) sin(ax )
c b dx b C
a
   


o)
1
ln ax
ax
dx
b C
b a
  



p)
ax
1
ax b b
e dx e
a
 



q)
3
1 2
(ax )
3
ax
dx b C
a
b
  



 Nếu
( ) ( )
f x dx F x C
 

và


u u x

thì
( ) ( ) .
f u du F u C
 


6. Các công thức tính nguyên hàm của các hàm số hợp
a)
du u C
 

b)
1
1
u
u du C




 


c)
u u
e du e C
 


d)
sin cos
udu u C
 

e)
os sin

c udu u C
 

f)
2
tan
os
du
u C
c u
 


g)
2
cot
sin
du
u C
u
 

h) ln
du
u C
u
 

i)
2

du
u C
u
 


j)
ln
u u
a du a a C
 

k)
1
sin(au ) os( )
b du c au b C
a
   


m)
1
os(au ) sin( )
c b du au b C
a
   


n)
1

ln
du
au b C
au b a
  



o)
1
au b au b
e du e C
a
 
 

p)
 
3
1 2
3
du au b C
a
au b
  




7. Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) và G(x) là một nguyên hàm của hàm số g(x) thì
a.




( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx F x G x C
 
     
 
  

b. Với mọi số thực
0:
a

a.f( ) ( ) a.F( )
x dx a f x dx x C
  
 

Khóa học tích phân ôn thi đại học


Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tìm vi phân

Ví dụ 1: Tìm vi phân của các hàm số
a)
2
cos
1
x
y
x



2
cos
'
1
x
dy dx
x
 
 
 

 
2
2 2
( 1)sin 2 cos
( 1)
x x x x
dx
x

 



b) ln tan
4
x
y
 

 
 

tan '
4
tan
4
x
dy dx
x
 
 
 
 
1
2sin / 2
dx
x



c)
1
cos
2
x
y




dx
xcos
xsin
2ln2dy
2
xcos
1

Dang 2: Tìm nguyên hàm sử dụng bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp và các tính
chất cơ bản của nguyên hàm
Phương pháp: Sử dụng:
 Bảng các nguyên hàm
 Các tính chất của nguyên hàm
 Các phép biến đổi đại số
Ví dụ 2: Tính các nguyên hàm
a. I =
2 3 1
3
x
x e dx

x

 
 
 
 

b. I =
2
1
sin 2 os3
cos
x c x dx
x
 
 
 
 


c. I =
2
1
x
dx
x


d. I =



2
4
2
4x
dx
x



Bài giải:
a. I =
2 3 1 2 3 1
3 3
x x
x e dx x dx dx e dx
x x
 
 
    
 
 
   

=
3 3 1
1 1
3ln
3 3
x

x x e C

  

b. I =
2 2
1 1
sin 2 os3 sin 2 cos3
cos cos
x c x dx xdx xdx dx
x x
 
    
 
 
   

=
1 1
cos2 sin3 tanx
2 3
x x C
   

c. I =
2 2 2
1 1 1 1 1 1
ln
x
dx dx dx dx x C

x x x x x x

 
      
 
 
   

Khóa học tích phân ôn thi đại học


Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

d. I =


2
4
8 4
6 2
2 2 2
4
8 16 16
8
x
x x
dx dx x dx x dx dx
x x x


 
   
    

=
7 3
1 8
16ln
7 3
x x x C
  

Nhận xét: Trong ví dụ trên, chúng ta thực hiện phép tách biểu thức ban đầu thành tổng một số hạng
tử mà có thể xác định được nguyên hàm của chúng.
Ví dụ 3: Tính các nguyên hàm sau:
a. I =


3 4
2 4
x x x dx
 


b.


2
1x
I dx

x





c.
3
1
x
I dx
x



d.
20
(2 1)
I x dx
 


e.
1
2
2
(1 )
I x x dx
 


Bài giải:
a. I =


3 4
2 4
x x x dx
 

11 1
32 4
( 2 4 )
x x x dx
  

=
43 5
32 4
2 3 16
3 2 5
x x x C
   

b. I =




2

1 2 1x x x
dx dx
x x
  
 
 
1 1
1 2.
dx
x
x
 
 
 
 

= 4 ln
x x x C
  

c. I =
2 1 5 2
3 3 3 3
3
1 3 3
5 2
x
dx x x dx x x C
x


 

    
 
 
 

d. I =
21 21
20 20
1 1 (2 1) (2 1)
(2 1) (2 1) (2 1)
2 2 21 42
x x
x dx x d x C
 
      
 

e. I =
   
1 1
3
3
2 2 2 2 2
2 2
2
1 1 2 1
(1 ) (1 ) ( 1) . 1 1
2 2 3 3

x x dx x d x x x
       
 
+ C
Nhận xét:Trong ví dụ trên chúng ta đã sử dụng kết quả:
m
mn
n
x x
 ;


1
'
2
x
x

;
1
m
n
mn
x
x



Ví dụ 4: a) Chứng minh công thức
2

2
1
dx ln x x k C
x k
   


bằng cách tính đạo hàm của
hàm số |kxx|lny
2
 .
b) Áp dụng công thức câu a) tính
1 2
2 2
1 dx
I dx, I .
x 9 x 5
 
 
 

Khóa học tích phân ôn thi đại học


Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

Bài giải:
a. Ta có:
|kxx|lny

2




 
2
2
2
2 2 2
2 2
1
'
1
'
x
x x k
x x k
x k
y
x x k x x k x k
x x k x k

 
 

    
    
  


2
2
1
ln
dx x x k C
x k
   



b. Áp dụng câu a) ta có:
2
1
2
1
ln 9
9
I dx x x C
x
    



I
2
=
2
2
ln 5

5
dx
x x C
x
   




Ví dụ 5:
a) Tìm hai số A, B sao cho
5x
B
1x
A
)5x)(1x(
1





. Từ đó tính


dx
)5x)(1x(
1
.
b) Tương tự câu a, hãy tính



dx
9x
1
2
. Từ đó suy ra công thức tính


dx
ax
1
22

c) Tìm A, B sao cho
2
2 3
2 1 1
2 1
x A B
x x
x x

 
 
 
và tính nguyên hàm
2
2 3
2 1

x
dx
x x

 


Bài giải:
a. Ta có:
1 ( ) 5
( 1)( 5) 1 5 ( 1)( 5)
A B A B x A B
x x x x x x
  
  
     

1 ( ) 5 , .
A B x A B x R
      

Đồng nhất hệ số ta có:
1
0
4
5 1 1
4
A
A B
A B

B

 

 



 
  






1 1 1 1 ( 5) ( 1)
( 1)( 5) 4( 1) 4( 5) 4 5 1
d x d x
dx dx
x x x x x x
 
 
 
     
 
 
     
 
 

   

 
1 1 5
ln 5 ln 1 ln
4 4 1
x
x x C C
x

      


b. Áp dụng câu a) I =


dx
9x
1
2
1 1 1
( 3)( 3) 6( 3) 6( 3)
dx dx dx
x x x x
  
   
  

Khóa học tích phân ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

 
1 1 3
ln 3 ln 3 ln
6 6 3
x
x x C C
x

      


c. Ta có:
  
2
2 3 ( 2 )
2 1 2 1 1 2 1 1
x A B A B x A B
x x x x x x
   
  
     

Đồng nhất hệ số ta có:
5
2 2
3

3 4
3
B
A B
A B
A



 



 
  


 



Khi đó:
2
2 3 4 5
2 1 3 2 1 3 1
x dx dx
dx
x x x x

  

   
  

5 ( 1) 2 (2 1) 5 2
ln 1 ln 2 1
3 1 3 2 1 3 3
d x d x
x x C
x x
 
      
 
 

Ví dụ 5: Tính các nguyên hàm sau:
a)


 dx)e1(e
xx

b)

xdxtan c)

xdx5cosx3sin
d)

xdxsine
xcos3

e)

xdx3cosx4cos

f)

xdxsin
3

Bài giải:
a. I =


 dx)e1(e
xx


1
x x
e dx e x C
    


b. I =

xdxtan
sin (cos )
ln cos
cos cos
x d x

dx x C
x x
     
 

c. I =

xdx5cosx3sin
 
1 1 1 1
sin8 sin2 . sin8 (8 ) sin2 (2 )
2 2 8 2
x x dx xd x xd x
 
   
 
 
  

=
1 1
cos8 cos2
16 4
x x C
  

d. I =

xdxsine
xcos3 3cos 3cos

1 1
(3cos )
3 3
x x
e d x e C
    


e. I =

xdx3cosx4cos
 


1 1
cos7 cos cos7 cos
2 2
x x dx xdx xdx
  
  

=
1 1
sin 7 sin
14 2
x x C
 

f. I =


xdxsin
3
3sin sin3 3 1
sin sin3
4 4 4
x x
dx xdx xdx

  
  

=
3 1
cos cos3
4 12
x x C
  

Dạng 3: Nguyên hàm của hai hàm số có dạng đặc biệt
Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước:
Khóa học tích phân ôn thi đại học


Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

Bước 1: Tìm hàm số g(x)
Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số
( ) ( )
f x g x


tức là:
1
2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
F x G x A x C
F x G x B x C
  


  

(I)
Bước 3: Từ hệ (I) ta nhận được
 
1
( ) ( ) ( )
2
F x A x B x C
  
là họ nguyên hàm của hàm số f(x)
Ví dụ 6: Tìm họ nguyên hàm của hàm số
sin
( )
sin cos
x
f x
x x




Bài giải:
Chọn hàm số phụ
cos
( )
sin cos
x
g x
x x



Gọi F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x) và g(x)
Ta có: f(x) + g(x) =
sin cos
sin cos
x x
x x



1
sin cos (sin cos )
( ) ( ) ln sin cos
sin cos sin cos
x x d x x
F x G x dx x x C
x x x x
 

      
 
 
(1)
f(x) - g(x) =
sin cos
1
sin cos
x x
x x




2
( ) ( )
F x G x dx x C
    

(2)
Từ (1) và (2) ta được hệ
 
1
2
( ) ( ) ln sin cos
1
( ) ln sin cos
2
( ) ( )
F x G x x x C

F x x x x C
F x G x x C
    

    

  



Bài toán 1: Nguyên hàm của hàm số dạng
Phương pháp: Ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Xét hàm số
( ) ( )
x
F x f x e
 , nhận xét rằng:


'( ) '( ) ( ) ( ) '( )
x x x
F x f x e f x e f x f x e
   
Bước 2: Vậy
( ) ( )
x
F x f x e
 + C là họ nguyên hàm của hàm số đã cho
Lưu ý: Phương pháp trên cũng được áp dụng cho các hàm số sau
1) Hàm số



'( ) ( )
x
f x f x e
 có họ nguyên hàm là ( ) ( )
x
F x f x e C

 

2) Hàm số


'( ) ( )
ax b
f x af x e


có họ nguyên hàm là ( ) ( )
ax b
F x f x e C

 

Khóa học tích phân ôn thi đại học


Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

3) Hàm số


( )
'( ) ' ( )
x
f x x f x e


 

 
có họ nguyên hàm là
( )
( ) ( )
x
F x f x e C

 

Ví dụ 7: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a.




2
3 2
x

f x x x e
   b.
 
2 os
4
x
f x c x e


 
 
 
 

Bài giải:
a. Ta có:
   






2 2 2
2 1 1 1 ' 1
x x
f x x x x e x x x x e
   
          
   

Xét hàm số:


2
( ) 1
x
F x x x e
  

Ta thấy F’(x) =






2 2
2 1 1 3 2 ( )
x x x
x e x x e x x e f x
       

Vậy


2
( ) 1
x
F x x x e

  
+ C là họ nguyên hàm của hàm số đã cho
b. Ta có






cos sin cos 1 sin
x x
f x x x e x x e
 
 
    
 

Xét hàm số F(x) =
sin
x
x
e


Ta thấy:
 
'( ) cos sin cos sin 2 os ( )
4
x x x x
F x e x e x x x e c x e f x


   
 
      
 
 

Vậy F(x) =
sin
x
x
e

+ C là họ nguyên hàm của hàm số đã cho
Bài toán 2: Nguyên hàm của hàm số dạng u’v + v’u
Phương pháp:Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Xét hàm số F(x) = uv. Nhận xét rằng F’(x) = u’v + v’u
Bước 2: Vậy F(x) = uv + C là họ nguyên hàm của hàm số
Ví dụ 8: Xác định họ nguyên hàm của hàm số
8 3
( )
2 4
x
f x
x




Bài giải:

Ta có:


 
2 4
1
( ) 4 . ' 4 4 '.
2 4 2 4
x x
f x x x x x x x
x x
 

       
 

Xét hàm số:
( ) . 4
F x x x
 
.
Ta thấy F’(x) =
1 8 3
. 4 ( )
2 4 2 4
x
x x f x
x x
 
   

 

Vậy ( ) . 4
F x x x
 
+ C là họ nguyên hàm của hàm số đã cho
Dạng 4: Tìm nguyên hàm bằng cách sử dụng nguyên hàm phụ
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:Tính các nguyên hàm sau đây
Khóa học tích phân ôn thi đại học


Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

a)

 dx)5x4x3x2(
23
b)

 dx)
x
1
x3x(
3
c)

 dx)2x3(
17

d)


dx
x
)x2xx3x(
2
1
3
1
4
3
e)

 dx)xa2(
x
g)

xdxcosxsin
4

h)



dx)x22ee(
xxx
i)


x
xdxln
k)

xsinxcos
dx
22

ĐS:
4
3 2
) 2 5
2
x
a x x x
  
+ C b) C|x|lnx
2
3
4
x
2
4


c) C
18
)2x3(
3
1

18



d)
Cx2x2x9x
3
4
2
1
3
1
4
3


e)
Cx
3
2
a
ln
a
2
2
3
x

, g)
Cxsin

5
1
5


h) Cxx
3
4
2
ln
2
ee
x
xx



2
ln
)
2
x
i C

k)
Cxcotxtan



Bài 2: a) Chứng minh công thức

dx x
ln tan C
cosx 2 4

 
  
 
 

bằng cách tínhđạo hàm của hàm số
x
y ln tan C
2 4

 
  
 
 

b) Áp dụng công thức câu a) hãy chứng minh rằng
dx x
ln cot C
sin x 2
  


Bài 3: Tính các nguyên hàm sau đây
a)

 dx)

x
1
x
1
(
3
b)

 dx)1xx)(1x(

c)

 dx5xx
32

d)

 dx)
x
4
x
2
x
1
x(
3
3
e)




 dx1x
2
3
f)


dx
ax
x
2

ĐS:
23
3
)2
2
a x x C
 
5
2
)
5
b x x C
 
c) 5x)5x(
9
2
33


d)
Cx6x4|x|ln
4
x
3
2
4

, e)
Cx
4
x
7
x
47

, f) C|ax|ln
2
1
2

Bài 4: Tính các nguyên hàm sau đây
a)

xdxcot
b)

 dx)32(
xx
c)


 dx)baxcos(
với
0a



 dx)
x
cos
e
2(e
2
x
x
e)
dx
x
sin
x
cos
xsinxcos



f)


dx
1e

e
x
x

Khóa học tích phân ôn thi đại học


Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

g)


dx
x
)3xln2(
3
i)

xdxsin
2
j)

xdxsin
4

ĐS: a) ln|sinx| + C
2 3
)
ln2 ln3

x x
b C
 
c)
C)baxsin(
a
1


)2 t anx
x
d e C
 

)ln cos sin
e x x C
 

f) ln(1 + e
x
) + C
g) C)3xln2(
8
1
4
 i)
1 1
sin 2
2 4
x C

 

3 1 1
) sin2 sin 4
8 4 32
j x x x C
  

Bài 5:Tính các nguyên hàm sau đây
a)
2
(x 2x 6)
dx
(x 1)(x 2)(x 4)
 
  

b)
2
3
(x 1)dx
(x 1) (x 3)

 

c)
2
3
(x x 1)
dx

x 3x 2
 
 


ĐS: a)
3ln | x 1| 7ln | x 2| 5ln | x 4| C
     
,
b)
3 2
1 3 5 5
f(x)
2(x 1) 8(x 1) 32(x 1) 32(x 3)
   
   

c)
1 2 1
ln | x 1| ln | x 2| C
x 1 3 3

    


Bài 6: Tìm họ các nguyên hàm sau:
a.


2

2
1
( )
1
x
x x e
f x
x
 


b.
 


2
1
x
x e
f x
x

 c.
2
( ) 2sin .sin 2
f x x x

ĐS: a. HD:
 



2 2 2
1 ' 1 ( ) 1.
x x
f x x x e F x x e
 
      
 
 
+ C
b. HD:
 
1 1
' ( )
x
x
e
f x e F x
x x x
 
 
   
 
 
 
 
+ C
c. HD: Chọn hàm số phụ
2
( ) 2cos .sin2

g x x x

1 1
( ) cos2 cos4
2 4
F x x x C
 
    
 
 