Phương pháp đặt ẩn phụ trong tính tích phân
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (392.07 KB, 9 trang )
Khóa học: Tích phân ôn thi Đại học
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
BÀI GIẢNG SỐ 05: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Phương pháp 1: Lượng giác hoá (đặt x =f(t), trong đó f(t) là một hàm số lượng giác)
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau
a) I =
1
2
2
0
1
x dt
b) I = dx
1x
1
1
0
2
c)I =
dx
x
2
1
0
2
1
1
d) I =
2
2 2
1
4
x x dx
e) I =
2
3
2
2
1
dx
x x
f) I =
1
2
0
ln 1 x
dx
1 x
Bài giải:
a. I =
1
2
2
0
1
x dt
Đặt x = sint,
2 2
t
cos
dx tdt
Đổi cận: Với x = 0 thì t = 0
Với x =
1
2
thì t =
6
Khi đó: I =
6 6 6
2 2
0 0 0
1
1 sin cos cos 1 cos2
2
t tdt tdt t dt
=
6
0
1 1 1 3
sin 2
2 2 2 6 4
t t
Chú ý: Ta cũng có thể đặt x = cost,
0;
t
b. I = dx
1x
1
1
0
2
Đặt x = tant,
2 2
t
2
2
(1 tan )
os
dt
dx t dt
c t
Đổi cận: Với x = 0 thì t =0
Với x = 1 thì t =
4
Khi đó: I =
2
4 4
4
2
0
0 0
(1 tan )
1 tan 4
t dt
dt t
t
c. I =
dx
x
2
1
0
2
1
1
Khóa học: Tích phân ôn thi Đại học
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Đặt x = cost,
0;
t
sin
dx tdt
Đổi cận: Với x = 0 thì t =
2
Với x =
1
2
thì t =
3
Khi đó: I =
3 3 3
3
2
2
2 2 2
sin sin
sin 6
1 cos
tdt tdt
dt t
t
t
Chú ý: Ta cũng có thể đặt x = sint,
2 2
t
d. I =
2
2 2
1
4
x x dx
Đặt x = 2sint,
2 2
t
2cos
dx tdt
Đổi cận: Với x = 1 thì t =
6
Với x = 2 thì t =
2
2 2 2
2 2 2
6 6 6
4sin 4 sin .2cos 4 sin 2 2 (1 cos4 )
I t t tdt tdt t dt
2
6
1 3
2 sin 4 2
4 3 8
t t
e) I =
2
3
2
2
1
dx
x x
Đặt x =
2
1 cos
, 0;
sin 2 sin
t
t dx dt
t t
Đổi cận: Với x = 2 thì t =
2
Với t =
2
3
thì t =
3
Khi đó:
2 2
2
2
3
2
3 3
1
cos
sin
6
1 1
1
sin sin
tdt
t
I dt t
t t
Khóa học: Tích phân ôn thi Đại học
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
f) I =
1
2
0
ln 1 x
dx
1 x
Đặt
2
tan
cos
dt
x t dx
t
=(1+tan
2
t)dt
Đổi cận: Với 0 0, 1
4
x t x t
4 4
2
2
0 0
ln(1 tan )
(1 tan ) ln(1 tan )
1 tan
t
I t dt t dt
t
Đặt
4
t y dt dy
Đổi cận: Với
0 , 0
4 4
t y t y
1 tan 2
1 tan 1 tan( ) 1
4 1 tan 1 tan
y
t y
y y
0
4
4
0
0
4
2
ln [ln 2 ln(1 tan )] ln2. |
1 tan
ln 2 ln 2
2 .
4 8
I dy y dy y I
y
I I
Phương pháp 2: Đặt t =f(x)
Ví dụ 2: Tính các tích phân sau:
a. I =
3
2
6
cos
sin 5sin 6
xdx
x x
b. I =
3
2
2
0
cos .sin
1 sin
x xdx
x
c. I =
2
3
0
cos .sin
x xdx
d.
2
3 56
0
1 cos x.sin xcos xdx
Bài giải:
a. Đặt sinx cos
t dt xdx
Đổi cận: Với
1
6 2
x t
Với
3
3 2
x t
3 3 3 3
2
6 6 6 6
( 2) ( 3) 1 1
( )
5 6 ( 2)( 3) ( 2)( 3) 3 2
dt dt t t dt
I dt
t t t t t t t t
Khóa học: Tích phân ôn thi Đại học
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
3
2
1
2
3 3(6 3)
ln ln
2
5(4 3)
t
t
b. Đặt
2
1 sin x 2sin cos
t dt x xdx
Đổi cận: Với
0 1
x t
Với
2
2
x t
Ta có:
3 2
2 2
cos .sin sin .cos .sin x 1 1 1
1
1 sin 1 sin 2 2
x x x x dx t
dt dt
x x t t
2
2
1
1
1 1 1 1
1 ( ln 1 ln 2
2 2 2
I dt t t
t
c. Đặt
2
cos cos 2 sin
t x t x tdt xdx
Đổi cận: Với
0 1
x t
Với
0
2
x t
Ta có:
3 2 2
cos .sin sin . cos .sin x (1 os ) cos .sin x
x xdx x x dx c x x dx
4 6 2
1 . .( 2 ) 2
t t tdt t t dt
0
0
6 2 7 3
1
1
1 1 8
2 ( ) 2
7 3 21
I t t dt t t
d. Đặt
6 3 3 6 2 5
1 cos 1 cos 3cos sin 6
x t x t x xdx t dt
6 3 5 5 3 6 6 6 12
1 cos .sinx.cos .2 .cos 2 (1 ) (2 2 )
x xdx t t dt x t t dt t t dt
Đổi cận: Với
0 0, 1
2
x t x t
1
1
7 13
6 12
0
0
1 1 12
2 ( ) 2( ) 2( )
7 13 7 13 91
t t
I t t dt
Ví dụ 3: Tính các tích phân sau:
a. I =
2
2
1
2 .
1
x dx
x x
b. I =
3
5 2
0
1
x x dx
Bài giải:
a. Đặt
2 2
2 2
2
1 1
1 1
2 2
t t
t x x t x x x dx dt
t t
Đổi cận: Với
1 1
x t
Với
2 3
x t
Khi đó: I =
2 2
4
3 3 3
2
4 4
1 1 1
1 1
2. .
1
1 1
2 2
1
2 2
t t
t dt
t t
dt dt
t t t
Khóa học: Tích phân ôn thi Đại học
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
=
3
3
1
1 1 1 1 1 68
3 1
2 3 2 81 3 81
t
t
b. Đặt
2 2 2
1 1 2 2
t x t x tdt xdx
Đổi cận: Với
0 1
x t
Với
3 2
x t
Khi đó: I =
2
2 2
2
2 2 6 4 2 7 5 3
1
1 1
1 2 1 848
1 . 2 ( )
7 5 3 105
t t dt t t t dt t t t
Ví dụ 4: Tính tích phân I =
( 1)( 2)
b
a
dx
x x
a. Với a = 0, b = 2 b. Với a = - 5 , b = - 3
Bài giải:
a) Vì
0;2
x nên
1 0
2 0
x
x
Đặt
1 2
1 1
1 2
2 1 2 2 2 ( 1)( 2)
x x dx
t x x dt dx
x x x x
2
( 1)( 2)
dx dt
t
x x
Đổi cận: Với
0 1 2
x t
Với
2 2 3
x t
Khi đó: I =
2 3
2 3
1 2
1 2
2 3
2 2ln 2ln
1 2
dt
t
t
b) Vì
5; 3
x
nên
1 0
2 0
x
x
Đặt
1 1
( 1) ( 2)
2 ( 1) 2 ( 2)
t x x dt dx
x x
( 1) ( 2)
2 ( 1)( 2)
x x dx
x x
2
( 1)( 2)
dx dt
t
x x
Đổi cận: Với
5 2 3
x t
Với
3 1 2
x t
Khi đó: I =
1 2
2 3
1 2
2 3
2 3
2 2ln 2ln
1 2
dt
t
t
Ví dụ 5:Tính các tích phân sau
ln3
x
x 3
0
e dx
a.
(1 e )
1
3 2ln
.
1 2ln
e
x
b dx
x x
Khóa học: Tích phân ôn thi Đại học
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Bài giải:
a) Đặt
2
1 1 2
x x x
e t e t e dx tdt
Đổi cận: Với x = 0 thì t =
2
Với x = ln3 thì t = 2
Khi đó I =
2
2 2
3 2
2
2 2
2 2
2 1 2
tdt dt
t t t
b) Đặt
2 2
1 2ln 1 2ln 2ln 1 2
dx
x t x t x t tdt
x
Đổi cận: Với
1 1
x t
Với
2
x e t
Khi đó I =
2
2 2
2 3
2
1 1
1
3 1 20 2 22
2 2 4 2 4
3 3
t t
tdt t dt t
t
Một số cách đặt ẩn phụ khác
Với I =
( )
a
a
f x dx
, đặt
x t
Với I =
2
0
( )
f x dx
, đặt
2
t x
Với I =
0
( )
f x dx
,đặt
t x
Với I =
2
0
( )
f x dx
, đặt 2
t x
Với I =
( )
b
a
xf x dx
, đặt
x a b t
Ví dụ 6: Tính các tích phân sau:
a. I =
1
2004
1
sin x
x dx
c. I =
2
0
.sinx.cos
x xdx
b. I =
4
2
4 4
0
cos
cos sin
xdx
x x
d. I =
2
3
0
cos
x xdx
Bài giải:
a. I =
1 0 1
2004 2004 2004
1 1 0
sin x sin x sin x
x dx x dx x dx
(1)
Xét J =
0
2004
1
sin x
x dx
. Đặt x = - t thì dx = - dt
Đổi cận: Với
1 1
x t
Với
0 0
x t
Khóa học: Tích phân ôn thi Đại học
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Khi đó: J =
0 1 1
2004 2004 2004
1 0 0
( ) sin( ) sin sin x
t t dt t tdt x dx
(2)
Thay (2) vào (1) được I = 0
b. Đặt
2
t x dt dx
Đổi cận: Với 0
2
x t
Với
0
2
x t
Khi đó: I =
4
0
4 4
2 2
4 4 4 4
4 4
0 0
2
cos ( )( )
sin sin
2
cos sin cos sin
cos ( ) sin ( )
2 2
t dt
tdt xdx
t t x x
t t
Do đó: 2I =
4 4
2 2
4 4
0 0
cos sin
cos sin 2 4
x x
dx dx I
x x
c. Đặt
x t dx dt
Đổi cận: Với
0
x t
Với 0x t
Khi đó: I =
0
2 2
0
sin cos sin cos
t t t dt t t tdt
2 2
0 0 0
sin cos sin cos sin 2 cos
2
t tdt t t tdt t tdt I
0
0
1
2 sin3 sin cos3 cos
4 8 3 3
I t t dt I t t
d. Đặt 2
x t dx dt
Đổi cận: Với
2 0
x t
Với
0 2
x t
Khi đó: I
0 2
3 3
2 0
(2 )cos (2 )( ) (2 )cos
t t dt t tdt
2 2 2
3 3
0 0 0
2 cos cos (cos3 3cos )
2
tdt t tdt t t dt I
2
0
1
2 sin3 3sin 0 0
2 3
I t t I
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tính các tích phân sau:
a) dx
3x
1
3
3
2
b)
1
2
1
3
2
4 1
dx
x x
c) dx
1xx
1
1
0
2
d)
dx
xa
a
2
0
22
1
Khóa học: Tích phân ôn thi Đại học
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
e)
1
2
2
0
1
4
x
dx
x
f)
3
2
3
2
0
1
dx
x
g)
4
3
2
3
2
4
x dx
x
h)
1
2
0
1
x x dx
i)
3
3
2
0
1
dx
x
j) I =
2
2
2
2
0
1
x
dx
x
ĐS: a)
312
b)
6
c)
9
3
d)
6
e)
a
4
f)
3
g) HD: đặt
2
,0
sin 2 4
x t
t
3
48 32
I
h) đặt x =tant,
2 2
t
2 2 1
3
I
i) HD: đặt x = tant,
2 2
t
3
2
I
j)
2
8
Bài 2: Tính các tích phân sau:
a. I =
6
2 2
0
sin 2
2sin cos
xdx
x x
b. I =
2
3
2
2
2sin cos 1
dx
x x
c. I =
2
2
0
os
8 2sin
c xdx
x
ĐS: a)
5
ln
4
b) đặt t = tanx
3 3
ln
3 2
I
c)
6 2
Bài 3: Tính các tích phân sau:
a. I =
4
6
0
tan
cos2
x
dx
x
b. I =
2
2 2
0
sin 2
cos 4sin
x
dx
x x
c. I =
2
0
sin 2 sinx
1 3cos
x
dx
x
d. I =
2
1
1 1
x
dx
x
e.
1
3
4 2
0
3 2
x
I dx
x x
f.
2
1
ln
(2 ln )
e
x
I dx
x x
g.
4
0
sin
4
sin 2 2(1 sinx cos )
x dx
I
x x
h.
ln5
ln3
2 3
x x
dx
I
e e
i.
2
0
sin 2 cos
1 cos
x x
I dx
x
j.
1
1 3ln ln
e
x x
I dx
x
k. I =
2
4
0
1 2sin
1 sin 2
x
dx
x
m.
3
1
1
x
dx
I
e
n.
4
0
4 1
2 1 2
x
I dx
x
ĐS: a)
1 10
ln 2 3
2
9 3
b)
2
3
c)
34
27
d)
11
4ln 2
3
e)
3
ln3 ln 2
2
Khóa học: Tích phân ôn thi Đại học
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
f)
1 3
ln
3 2
g)
4 3 2
4
i)
2ln 2 1
j)
116
135
k)
1
ln 2
2
l)
2
ln 1 2
e e
m)
34 3
10ln
3 5
Bài 4: Tính các tích phân sau
a) I =
2
x
sin xdx
3 1
b) I =
1
x 2
1
dx
(e 1) x 1
c) I =
1
2
1
ln(1 )
1
x
x
dx
e
ĐS: a) I = 0 b) I = 0 c) I = 0
