Đề đề xuất thi học sinh giỏi lớp 10 môn Toán tỉnh Vĩnh Phúc (khối chuyên) năm học 20132014

ĐỀ ĐỀ XUẤT
ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 10 NĂM HỌC 2013-2014
MÔN: TOÁN
(Dành cho trường chuyên Vĩnh Phúc)
Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian phát đề
Câu 1 (3,0 điểm).
a) Giải hệ phương trình:
 
2 3 2
3 8 7 3 6
7 5 3 1
xy y y xy y
xy y y y

    


    


b) Cho đa thức với hệ số thực
 
4 3 2
P x x ax bx cx d    
thoả mãn
     
1 3, 3 11, 5 27P P P  
.
Tính
   
2 7 6P P 

.
Câu 2 (1,5 điểm). Tìm tất cả các cặp số nguyên dương
 
;x y
thoả mãn phương trình:
   
2
2 2 4 4 2
4 28 17 14 49x y x y y     
Câu 3 (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC không cân nội tiếp đường tròn (O), có đường cao AH và tâm
đường tròn nội tiếp là I. Đường thẳng AI cắt lại đường tròn (O) tại điểm thứ hai M. Gọi A' là điểm đối
xứng với A qua O. Đường thẳng MA' cắt các đường thẳng AH, BC theo thứ tự tại N và K.
1) Chứng minh rằng tứ giác NHIK nội tiếp đường tròn.
2) Đường thẳng A'I cắt lại đường tròn (O) tại điểm thứ hai D, hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại điểm
S. Chứng minh rằng nếu
2AB AC BC 
thì I là trọng tâm của tam giác AKS.
Câu 4 (1,5 điểm). Cho các số thực
, , ,a b c d
thoả mãn
2 2
4 2a b 
và
4c d 
. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức
2P ac bd cd  
.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho tập hợp M gồm 2014 số dương
1 2 2014

, , , .a a a
Xét tất cả các tập con khác rỗng
i
T
của M, gọi
i
s
là tổng các số thuộc tập con
i
T
. Chứng minh có thể chia tập hợp tất cả các số
i
s
được
thành lập như vậy thành 2014 tập con khác rỗng không giao nhau, sao cho tỉ số của hai số bất kì thuộc
cùng một tập tập con vừa được phân chia không vượt quá 2.
Hết
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ tên thí sinh…………………………………………….Số báo danh……………………