Đề thi học sinh giỏi lớp 10 môn Toán tỉnh Vĩnh Phúc (khối không chuyên) năm học 20112012

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
——————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 NĂM HỌC 2011-2012
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho học sinh THPT không chuyên
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
————————————
Câu 1 (4,0 điểm).
1. Giải phương trình:
2 2
1 1 2x x x x     
 
x
.
2. Giả sử phương trình bậc hai ẩn
x
(
m
là tham số):
   
2
2 3
2 1 1 0x m x m m     
có hai
nghiệm
1 2
,x x
thỏa mãn điều kiện
1 2
4x x 

. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu
thức sau:
 
3 3
1 2 1 2 1 2
3 3 8P x x x x x x    
.
Câu 2 (1,5 điểm).
Giải hệ phương trình:
2 3 2
4 2
1
( , )
(2 1) 1
x x y xy xy y
x y
x y xy x

    



   



.
Câu 3 (1,5 điểm).
Cho
,x y

là hai số thực dương thoả mãn điều kiện




2 2
1 1 2012x x y y    
. Tìm giá trị
nhỏ nhất của
P x y 
.
Câu 4 (3,0 điểm).
1. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là điểm đối xứng
của O qua các đường thẳng BC, CA, AB; H là trực tâm của tam giác ABC và L là trọng tâm tam
giác MNP. Chứng minh rằng
OA OB OC OH  
   
và ba điểm O, H, L thẳng hàng.
2. Cho tứ giác lồi ABCD. Giả sử tồn tại một điểm M nằm bên trong tứ giác sao cho




MAB MBC MCD MDA    
. Chứng minh đẳng thức sau:
2 2 2 2
cot
2 . .sin
AB BC CD DA
AC BD



  

,
trong đó

là số đo góc giữa hai đường thẳng AC và BD.
3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn
tâm I . Các đường thẳng AI, BI, CI lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại các điểm
 
7 5 13 5
1; 5 , ; , ;
2 2 2 2
M N P
   
 
   
   
(M, N, P không trùng với các đỉnh của tam giác ABC). Tìm
tọa độ các đỉnh A, B, C biết rằng đường thẳng AB đi qua điểm
 
1; 1Q 
và điểm A có hoành độ
dương.
—Hết—
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh……………….