Đề thi học sinh giỏi lớp 11 môn Toán cụm Sơn Động tỉnh Bắc Giang năm học 2012201

ĐỀ ĐỀ XUẤT
ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2013-2014
MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh THPT chuyên Vĩnh Phúc )
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu I (3,0 điểm)
1. Giải hệ phương trình
2 2
2 4 3 4 1 3 ( 1)( 2 )
1 2 2( 1)
y xy y x y y x
y y x y x

      


     


2. Xét phương trình bậc hai
2
0ax bx c  
có hai nghiệm thuộc đoạn
 
0;2
. Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức
2 2
2
8 6
4 2

a ab b
P
a ab ac
 

 
Câu II (1,5 điểm). Cho dãy số
 
n
x
xá định như sau:
     
 
1
1
1
1,2,3
1 2 3 1
n n n n n
x
n
x x x x x






    



Đặt
 
1
1
1,2,3
2
n
n
i
i
y n
x

 


. Tính
lim
n
x
y

Câu III (1,5 điểm). Cho hai số nguyên tố
,p q
thoả mãn
2p q 
. Tìm tất cả các số
nguyên k sao cho phương trình
 

2
px qy kxyz 
có nghiệm nguyên
 
; ;x y z
thoả mãn
0xyz 
.
Câu IV (2,5 điểm). Cho hai đường tròn
   
1 2
,O O
không bằng nhau và tiếp xúc ngoài
tại T. Kẻ
1
O A
tiếp xúc với
 
2
O
tại A;
2
O B
tiếp xúc
 
1
O
tại B sao cho các điểm A, B
cùng nằm về một phía với đường thẳng bờ
1 2

OO
. Lấy điểm H thuộc
1
O A
và điểm K
thuộc
2
O B
sao cho BH và AK cùng vuông góc với
1 2
OO
. TH cắt
 
1
O
lần nữa tại E, TK
cắt
 
2
O
lần nữa tại F. Gọi S là giao của AB và EF. Chứng minh ba đường thẳng
1
O A
,
2
O B
và TS đồng quy.
Câu V (1,5 điểm). Cho hàm số
 
f x

xác định trên
 
0;1
thoả mãn
   
0 0, 1 1f f 
,
   
2
6 5
3
x y
f f x f y

 
 
 
 
với
 
; , 0;1x y x y 
. Tính
8
23
f
 
 
 
.
Hết

Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ……………………………………………SBD: …………………