đề thi tuyển sinh môn toán vào lớp 10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2013 - 2014
Ngày thi: 20/6/2013
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Câu 1 (1,5 điểm).
1. Rút gọn biểu thức .
2. Giải hệ phương trình .
Câu 2 (2,0 điểm). Cho biểu thức:
1. Rút gọn A.
2. Tìm giá trị lớn nhất của A.
Câu 3 (2,0 điểm). Cho phương trình x
2
- 2(m + 1)x + 2m = 0 (1) (với x là ẩn, m là tham số).
1. Giải phương trình (1) với m = 0.
2. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng
√2.
Câu 4 (3,0 điểm).
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Một điểm C cố định thuộc đoạn thẳng AO (C khác A và C khác O). Đường
thẳng đi qua C và vuông góc với AO cắt nửa đường tròn đã cho tại D. Trên cung BD lấy điểm M (M khác B và M khác D).
Tiếp tuyến của nửa đường tròn đã cho tại M cắt đường thẳng CD tại E. Gọi F là giao điểm của AM và CD.
1. Chứng minh tứ giác BCFM là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh EM = EF.
3. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FDM. Chứng minh ba điểm D, I, B thẳng hàng, từ đó suy ra góc ABI có số
đo không đổi khi M di chuyển trên cung BD.
Câu 5 (1,5 điểm).
1. Chứng minh rằng phương trình (n + 1)x
2
+ 2x - n(n + 2)(n + 3) = 0 (x là ẩn, n là tham số) luôn có nghiệm hữu tỉ với mọi

số nguyên n.
2. Giải phương trình:
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NINH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HẠ LONG
NĂM HỌC: 2013 - 2014
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh chuyên Toán, chuyên Tin)
Ngày thi: 29/6/2013
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I. ( 2,0 điểm)
1) Cho biểu thức
a. Rút gọn biểu thức A.
b. Tìm giá trị của x để A nhận giá trị nguyên.
2) Tìm số nguyên dương n để là số nguyên tố.
Câu II. (1,5 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) y = x
2
và đường thẳng (d): y = mx + 2.
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại 2 điểm nằm về hai phía của trục
tung.
b) Giả sử đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại A(x
1
; y
1
) và B(x
2
; y

2
). Tìm giá trị của m để .
Câu III. (2,0 điểm)
1) Giải phương trình:
2) Giải hệ phương trình:
Câu IV. (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định, đường kính CD thay đổi (CD ≠ AB). Các tia BC, BD cắt tiếp tuyến của
đường tròn (O) tại A lần lượt ở E, F.
a) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp.
b) Khi đường kính CD thay đổi, tìm giá trị nhỏ nhất của EF theo R.
c) Đường tròn đi qua ba điểm O, D, F và đường tròn đi qua ba điểm O, C, E cắt nhau ở G (G ≠ O). Chứng minh ba điểm
B, A, G thẳng hàng.
Câu V. (1,0 điểm)
Cho số thực x thỏa mãn 0 < x < 1. Chứng minh rằng
Bài 1: (2 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) x
2
- 7x + 12 = 0
b) x2 - (√2 + 1)x + √2 = 0
c) x
4
- 9x
2
+ 20 = 0
d)
Bài 2: (1,5 điểm)
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = x
2
và đường thẳng (D): y = 2x + 3 trên cùng một hệ trục toạ độ.
b) Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính.

Bài 3: (1,5 điểm)
Thu gọn các biểu thức sau:
Bài 4: (1,5 điểm)
Cho phương trình x
2
- mx - 1 = 0 (1) (x là ẩn số)
a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu
b) Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm của phương trình (1):
Tính giá trị của biểu thức:
Bài 5: (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC). Các đường cao AD và CF của tam giác ABC cắt
nhau tại H.
a. Chứng minh tứ giác BFHD nội tiếp. Suy ra góc AHC = 180
o
- ABC.
b. Gọi M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) (M khác B và C) và N là điểm đối xứng của M qua AC.
Chứng minh tứ giác AHCN nội tiếp.
c. Gọi I là giao điểm của AM và HC; J là giao điểm của AC và HN. Chứng minh góc AJI = ANC.
d. Chứng minh rằng: OA vuông góc với IJ.