Đề thi cao học môn Toán - Đại học Huế

e0 ctRo DUc
vA DAo
rAo
.{
DAI HOC
HUE
Hq
vd
t€n
thf
sinh
Sd
bdo danh
KV rHr
ruydN
srNH sAU
DAr
Hoc
NAM
2006
Mdn thi: Dai
sd
(ddnh
cho: Cao
hgc)
Thdi
gian
ldm
bdi: 180
phut
Cflu

1.
a. Cho
n1,r2, ,r, id cr{c
vecto
khr{c khOng ctia m6t khOng
gian vecto,
cbn
A
le
mQt
ph6p
bidn
ddi tuydn
tinh
cfia
khOng
gian vectd
d6
sao
cho
Art
-
11, Anp
:
trk
*
rt
-t,
k
:2,3,

)n.
Chtrng
minh rang
cdc
vectd
rr,n2, ,rn dOc
ldp
tuyOn tfnh.
b.
Cho B
lil ma trAn
vuOng
cdp
n
sao
cho
Bk
:0,
vdi
k le
mQt
sd
tu
nhiOn
ndo
d6.
Tim
(E^
-
B)-t, trong d6

E-
ld ma trAn
vuOng
don vr cdp
n.
Chu
2.
Cho
c le nh6m sinh
boi
hai
phdn
tir
r
vd
a
vu
cdc
quan
h€:
tr4:a2:!,ar-r3a.
a.
X6c dinh nhfrng
phdn
tr? cfra
nh6m G.
b.
Tim tdt ca ciic
nh6m con
cfia

nh6m
G.
CAu
3.
Cho n
le
mQt vdnh.
DFtt"
Z(R)
-
{,
e
Rlra:
an,Vo
e
R}.
a.
Chtnrg
minh rang
Z(R)
lh
mOt vdnh con
giao
ho6n
cira
R.
b.
Xdc dinh z(Mt(n)), trong d5 twt(n) lh
vinh
cdc

ma
trQn vuOng
cdp 3 h0
sd thuc.
CAu
4.
Chtnrg
minh rang ndu da
thrlc
13
+
arz
+
br
*
c
c6
3 nghiOm thuc,
phAn
biet
thi da
thrlc
13
+
ar2
+
i@'
+
b)r
+

#
cflng c6 3 nghigm th1rc,
phAn
bigt.
Ghi
chri:
C6n b0 coi
thi khOng
giii
thfch
gi
thOm
VIETMATHS.NET
f
te"t
l
'\)*-
{.*?e
e0
ctAo DUc vA oao
rAo
DAr
HQC
HU6
Hg ud, t€,n th{ s'inh:
Sd b6,o danh,:
KV
rnr ruyiN
srNH sAU
o4l Hec NAnn zoor

M6n thi:
DAI
SO
(dd,nh,
cho
Cao
hoc)
TlLdi
gian
ld,m bd,i:
180
phrit
Cdu f.
1. Cho nrtfr2t tnn Ib
cri,c
vecto khdc
kh6ng
crla m6t
kh6ng
gian
vecto vh,
A th,
mQt
ph6p
bi6n
ddi
tuydn tfnh cria kh6ng
gian
vectcr
d6

sao
cho
An1
:
11, Ann
:
frk
*
rn-r, k
:
2,3r
rfl.
Chfrng minh
rH,ng
c6c
vecto
nttn2r ,tfrn
dgc
16,p
tuy6n tfnh.
2.
Cho
B
Ie ma
tr$n vu6ng
cdp n x6c
dinh
tr6n
trudng F sao cho
Bk:0,

v6i k
th
mQt
s6 tu
nhi6n ni,o d6.
Tim
(E^
-
B)-1,
trong
d6
En lir,
ma trAn
vu6ng
dsn
vi
cd,p
n.
tl a .12000 / n
g.Tfnr(0
1\
t-:(0
1\
Lnxdcdinhtr6nt.rbnsF.
o
(
_,
0
)
v6i

(
_,
0
)
lb, ma
trdn
xac
dinh
tran
trulng F.
Ciu II.
1.
Cho
p
ve
',h
L
hai
tu dbng cdu tuydn
tfnh
cria
mQt kh6ng
gian
vectcr hfru
han chibu
tr6n
lrubng s6
phirc
C sao
cho

po{s
:
tog.
Chfrng
-Ln
rXng
p
ve
4t
cd chung
mQt
vects
ri€ng,
2. Cho E lb m6t kh6ng
gian
vectcr
Euclid
htru
han chibu vh
(u1
, ,un)
lb, m6t hO
trgc
chudn
trong A CA*ng minh rXng n6u vcri
ngi
u
e
E
tu

dbu
c6'-'
rur'-
iro,,,r'
'i,:L
thi
(u1,.
,
or)
lb
mQt ccr s& a3,a E.
C6.u IU.
Cho G
th
mQt nh6m nh6,n
hfru
hg,o sao
cho
G
c6 mQt
tu
d8ng c6,u
g
th6a
p(a)
#
o,Va
t'
16.
Chfrng minh rB,ng:

1.
vcri
m.oi
a
e
G
tbn tq,i
g
e
G
sao cho
d':
g-Lp(g);
2.
ndu
g
c6 cdp bXng 2,tftcIi,
p+i,d,vdp2
-
id,
thi
p(.q)
:
g-L
v6i
moi
g
€
G
vb,

G
te
mQt nh6m aben
c6 cd,p
14,
m6t sd
16.
C6.u IV.
1. Cho
E
le
mQt
vh,nh
Biao
hod,n
v6i
don
vi
1
I
0
vA,
/
lb
mQt
id€an
crla E.
Chfrng
minhrXng
v6i m5i

a
€
R,
t6,p con
J
-
{ar*
I
|
*
€
l?}
C
RlI lh, m6t
id6an
cda
Rl I
sinh bdi o
+
f
€
R/1.
Tri
d6 suy
ra
rXng
khi
f
ld,
id6an

t6i dai crla vA,nh
R
thi moi
phb,n
trl
kh6c
kh6ng c,la
RII dEu
khd,
nglrieh.
2. Chirng
minh
rXng t$p
hqp
c6c
s6 hfru
tj
dang
?
usimAu
sd Ih,
mQt s6
nguyOn
16
n
tao
thb,nh
m6t mibn nguy6n
chfnh.
Ghi chri:

Cd,n b6
coi, th,i, kh,6ng
gi,di,
th{ch
gi,
th€,m.
VIETMATHS.NET
e0 ctao
DIJc
vA
DAo
T4.o
.f
DAI
HQC
HUE
Hg
ud,
t€n tht
s'inh:
Sd
bd"o
danh:
KV
rHr ruYiN
srNH
sAU
D+r
HQC
NAnn

2oo7
M6n
thi: D'F:'I
56
(dd,nh
cho Cao
hpr)
Thdi
g'ian
lam
bd,i,:
180
phft
CAu
I.
GiA
su
y
ld tap tdt
cA cdc
6nh
xa tri
tAp s6
thuc
lR, vA,o
R
vdi cdc
ph6p
todn
xdc

dinh bdi:
Va,a
€
R,Yf
,g
€V
:
(/
+
s)@):
f
(o)
+
g(a),
("f
)(o)
-
af
(a),
.
1.
Chring
minh
r},ng
y
ld kh6ng
gian
vectcr
tr6n
trubng

s6 thuc.
Tbong
khong
gian
vectcr
V,
t4p
{f.
t
n
-
I,2,
.
}
v6i
f"(t):
sin'
t
c6 d6c
l6,p tuy6n
tinh
kh6ng?
2.
Trong
V,
x6t t6,p con
E
gbm
tdt cA
c6,c

6nh
xq,
f
c6
dang
sau
il6,y:
f
(t)
-
as
+
t
(47,
cos
kt
+
b7, sin
kt),
k 7
trong d.6
n
li,
m6t
s6 nguy6n
duong
de cho;
ai)'i:0,
1,
,fribi,i

-
1,2, ,n
Ih
c5,c
s6
thuc tiy
y.
Chirng
minh
rXng E
Id mQt
kh6ng
gian vectcv con
crla
V.
3.
Tim
mQt co sd
ci,a E
vh xd,c
dinh
dimE.
CAu II.
'
'
1.
Cho
,p
te, mQt to5,n
tri tuy6n

tinh
crla
F-' c6
n
gi5 tri ri6ng
phan
bi6t
(F
Ib
mQt
trubng
vh n
th, m6t
s6 nguyOn
ducrng).
Tim
tdt
cA cdc
khong
gian
con
bdt bi6n
ci"a
g.
2. Chirng
t6 rXng khong
gian
M(r,R)
gbm
c5c

ma trA,n
vu6ng
thuc
ci,p n
v6i
ph6p
tod,n
\A,
B)
-
tr(ABt)
lAp thd,nh
m6t kh6ng
gian
(vectcr) Euclid.
CAU
III.
Kf hiOu G
lb
nh6m nhan c6,c
ma
trq,n
vu6ng
cdp
n
khA nghich
tr6n
trubng s6
thuc.
Goi

/J
th, tap con
cta
G
chfra
cd,c
ma trAn
c6
dinh
thitc
bXng
t hay
-1.
Goi
/( Ii, t6,p
con cta G
gbm
c6c ma
trA,n c6 dinh
thitc
ducrng.
Chirng
minh rXng'
1.
H vit"
/{ Ie c6c
nh6m con
chudn
tic ctja G;
2.

nh6m thucrng
G
I
H dXng
cdu
vdi
nh6m
nh6,n
cdc s6
thuc
ducrng;
3.
nh5m thucrng GIK
d8ng
cdu
vdi
nh6m cyclic
c6,p
2.
Cdu
fV.
1. Cho
(A,+,.)
lA,mQt
vA,nh,5ld
mQt
t|p
hqp
vd
?

:
S
*
A
Ie mQt song
6nh. Chfrng
minh rXng 5
v6i hai
ph6p
to6n
a@b
-
q-'(rt(o)+
?(b)),
vA
a*b
-
q-th@)
'q(b))
,
Ya,,b e
5
lb,
mot
vhnh.
2.
Chring
minh
rXng
mQt vh,nh

(R,
+,
.)
bdt
kj,
c6 dcvn
vi
1 cfrng
cbn
14, mot
vh,nh v6i
hai
ph6p
toSn
a@b
-
a
-lb -
l,
vb a*b
:
a
*b
-
ab, Ya,b €R.
Ghi
chri:
Cd,n
b6
coi, thi,

klt}ng
gi,d,i,
th,fuh
gi
tlt'€m.
VIETMATHS.NET
Bộ Giáo dục và đào tạo Họ và tên thí sinh:

Đại Học Huế Số báo danh:

Tr-ờng Đại học S- phạm
kỳ thi tuyển sinh sau đại học Đợt II - năm 2005
Môn thi: Giải tích
(Dành cho Cao học)
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Xét chuỗi hàm


n=1
u
n
với u
n
(x)=
x
2
n
1 x
2
n+1

, |x| < 1.
a) Với mỗi a :0<a<1, chứng minh |u
n
(x)|
a
n
1 a
x [a, a]. Từ đó suy ra


n=1
u
n
hội tụ
đều trên [a, a].
b) Tính tổng S của chuỗi hàm


n=1
u
n
trên (1, 1).
Câu 2. Cho hàm hai biến:
f(x, y)=





1 nếu y<x

2
0 nếu y = x
2
1 nếu y>x
2
Chứng minh rằng hàm f(x, y) khả tích Riemann trên hình chữ nhật D =[1, 2] ì [0, 5] và tính

D
f(x, y)dxdy.
Câu 3. Cho (X, d) là không gian mêtric, A là tập con khác trống của X, x
0
X và x
0
/ A. Đặt
d(x
0
,A) = inf
aA
d(x
0
,a).
a) Giả sử A đóng, chứng minh d(x
0
,A) > 0.
b) Giả sử A compact, chứng minh tồn tại y
0
A sao cho d(x
0
,A)=d(x
0

,y
0
).
c) Giả sử X = R
n
với mêtric Euclide thông th-ờng và A R
n
là tập đóng. Chứng minh tồn tại
y
0
A sao cho d(x
0
,A)=d(x
0
,y
0
).
Câu 4. Trong không gian C[0, 1] với chuẩn "max" cho dãy (x
n
) C[0, 1] với x
n
(t)=
2nt
n
4
+ t
2
,
t [0, 1] và toán tử A : C[0, 1] C[0, 1] cho bởi:
Ax(t)=

t

0
x(s)ds, với x C[0, 1],t [0, 1].
a) Chứng minh A là toán tử tuyến tính liên tục.
b) Chứng minh (Ax
n
) hội tụ về 0 trong C[0, 1].
Câu 5. Giả sử {e
n
} là cơ sở trực chuẩn trong không gian Hilbert H và X là không gian Banach. Giả
sử A L(H, X) sao cho chuỗi


n=1
Ae
n

2
hội tụ. Chứng minh A là toán tử compact.
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
VIETMATHS.NET
e0 crAo
DUC
vA.
oao TAo
DAI HQC
HUE
xi THr
ruYiN

srNH
sAU
DAr
M6n thi:
GiAi
tfch
.
(dd,nh
cho Cao hpc)
Hg
ud,
t€n
th{
s'inh:
Sd
b6,o
danh,:
HOC
NAM
2OO7
I.
Thdi
g'ian
ld,m bd,i:
1-80
phrit
Tim
mibn
h6i tu crla chu6i nbm
Er+l

'[rj];
KhAo s6t suh6i tu
dbu
cria
chu6i hb;
Er#'
Tfnh
tich
ph6,n
ff
I I @'+v2)ardv,
J Jo'
trong d6
D:
{(r,
y)
€
R.2l2ar
<
12
*92
<2br},0
(
a
1b.
fl.

1"
U
t

(:-'t
z
,
'!
i
t
\


tr€n
mibn
(0,
+oo).
a.
b.
c.
II.
Cho
X Ib tQp hqp
gbm
tdt
cd,
c6c
tA,p
con compact
khdc
0
crla IR.,
a.
V6i

moi
r
€
R,
d{,t
d(r,A)
:
inf{l*
-yl
,
A
€
A}. Chfrng
minh
rXng, v6i moi
z
€
IR.,
A
eX,
tbn t4i ro€ A
sao cho
lr
-
nol
-
d(r,A).
b.
Goi
d: X x X

+
R 1A, 6nh
xa
dusc
x6c
dinh
nhu sau:
d,(A,B)
:- inf{d
: A
c
Bt,
B
C
At},
trong d.6, A5
-
inf{r
€
R :
d,(n,A)
<
d}. Chfrng
minh
rB,ng d Ih,
mQt
metric tr6n
X.
III.
Kf

hiQu
X
-
Cp,zl
th
kh6ng
gian
dinh chudn cr{,c
hhm
s6 li6n
tuc
tr6n
10,
2]
v,ii
chudn
ll"ll
:
mil({|"(t)l : t
€
lo,
2l}
vh kh6ng
gian
con Y
-
{r
e
X
: r(0)

-
0}
cda X.
Cho
r{,nh
xa A
:
X
->
Y.
fr
n
Ar xdc dinh bdi:
Ar(t)-
['*(s)ds;
telo,z].
Jo
Chfrng
minh rXng A
Ib
to6n trl
tuy6n
tfnh
Ii€n
tuc
tli
X vho
Y.
Tfnh
llAll.

Anh
xq
Ac6
phd,i
th,
mQt toir,n anh hay kh6ng?
Cho
kh6ng
gian
Hilbert
phfrc
If
vi,
tQp hqp
{O"ln
€
N}
c
H
thod md,n
lld"ll
:1
v6i
moi
n
€
N
vA,
sao cho vdi
mgi

/
e
H, ta c6:
-
lt ttt2
-i,/r
], tt2
'
ll/ll-
:
k\LQn)l
Chirng minh rH,ng:
a.
{d"ln
€
N}
th,
m6t
co
sd
truc chudn cta I{.
b. Day
(d",),ex
h6i tu
y6u
ddn
0.
0'.
b.
IV.

Ghi chri:
C6,n b6
coi,
thi, kh6ng
gi,d,i,
thfuh
gi,
th€m.
VIETMATHS.NET
BO GIAO
DAI
VA
DAO TAO
HUE
Ho vd, ten
thi sinh:
56
b6o danh:
DVC
HQC
KV
Sv
THI
TUYEN
SrNH
SAU
DAr HOC
NAM
2AO7
M6n

thi:
Giai
tich
(dd,nh
cho
Cao
hpr)
Thdi
gi,an
ld,m
bd,i,;
180
phirt
CAu
I.
1.
Cho
hdm
hai
bi6n
f
(r,a)
KliAo s6t
tinh
liOn tuc
cria
hilm
/
1x
',

A2f
lr6n
hsp
d;N(O,0)
khong tbn
n6u
(*,y)
+
(0,0),
n6u
(*,a)
-
(0,0).
Chirng
minh
rHng dao
hA"m
riOng
cia
R.
hoi
tu
vb
0
-I
-I
2ra
,2
+
a''

0,
tai didm
(0,0)
tai
(huu hat)
2
F_{i
1I
I
P'
^
tz'J')4)s)"
Cdu
III. Kj'
liiOu X
:
co
z. KhAo s6,t su
hoi
tu dbu cria
chu6i
hd,m
f
," .i"
,,fu
tr6n c6,c
tAp
sau:
fl':L
,)

A:
lp,+-),
p
)
0i
ii) B
-
(0,
+oo).
Cdu
II. Trong
khong
gian
metric
IR. v6i khoAng
c6ch
thong
thulng,
chitng
minh
rXng,
1. E
-
{t,2,
1, 1, 1,
.
!.u-L^'-,2,3)4) 1n' ).*^^^Y""7
.
,
1,

. . . .
)
U.Ong
phai
th, mot
t6,p con
compact
)
th, khong
gian
dinh
chudn
gbm
c6c
day
s6 thuc
llrll
-
sup
lrnl,,
Yr
-
(r.)n
e
co
chudn
Euclide
rL
llsll
-

WiZ,
va
-
(ar,.
. .,un)
eY.
V6i
m6i s6
tu nhien k
ta x6t 5nh
x?
An
:
X
*
Y x6"c dinh
bdi
Anr
-
("n+r,
fr1xa2t''
)
rk+n),
Yr
:
(rt)zeN
€
X.
1.
Chirng

minh
Ap
lit" c6,c
6nh
xa tuy6n
tinh
lien tuc
tri
X vh,o
Y.
2. Chirng
td
rXng
J*
Ann
-
0
€
R.'
v6i moi z
e
X.
CAu
IV.
Tren
khong
gian Hilbert
phitc
12
vsi tich

vo hu6ng
/ \ S
@,il
:2*^y,,
*ong d6
,:
(r,-)n
e
{2,
U
:
(Un)-
e
12.
'"_
:
Cho
o
-
(a),
ie
mQt duy
c5,c s6
phric
bi
ch5,n
vA, ,4.
:
12
-

t2
Ib" mot to5,n trl
ducvc
x6c
dinh
bdi
Ar
-
(onrn)n,
Yr
e
!2.
1.
Chirng
minh
rXng
,4 th mQt to6n
trl
tuy6n tinh
lien
tuc
vd,
tinh chudn
c:d:a
A.
2.
Tim to6n
trl
liOn
hiep A*

cia
A. Khi
nb,o
thi A ld mQt
to6n
tr] tu
lien
hiep?
v6i
chudn
vb,Y-lR'v6i
Ghi
chri
z
Cd,n
bo coi,
thi,
khong
gi,d,i,
thi,ch
gi,
th€m
VIETMATHS.NET