Đề thi HSG tỉnh Hà Tĩnh Năm học 2008

thi HSG tnh H Tnh Nm hc 2008-2009
Thi gian 150
/
Mụn: Toỏn
Ngy thi 20 thỏng 03 nm 2009
Bài 1: a) Giải hệ phơng trình
2
2
1
12
1
8
x
x
y y
x
x
y y

+ + =




+ + =


b) Ba số a,b,c, thoả mãn đồng thời các điều kiện: a+b+c = 1 v
1
111
=++

cba
.
Chứng minh:
1
200920092009
=++ cba
Bài 2:
Giải phơng trình:
)23(3)23(2
33
=+ xxxx
Bài 3:
Từ một điểm A ngoài đờng tròn tâm O, vẽ các tiếp tuyến AD, AE (D, E
là các tiếp điểm). Tia AO cắt đờng tròn tâm O tại B,C (B ở giữa A và C), kẻ
DH vuông góc với CE tại H. Gọi P là trung điểm của DH. Tia CP cắt đờng
tròn tâm O tại Q (Q C). Gọi giao điểm của AC và DE là I.
a) Chứng minh tứ giác DQIP là tứ giác nội tiếp đờng tròn.
b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đờng tròn đi qua3 điểm A, D, Q
Bài 4:
Cho đờng thẳng d nằm ngoài đờng tròn tâm O. Vẽ OA vuông góc với d
tại A. Từ A, kẻ các cát tuyến d1, d2 lần lợt cắt đờng tròn (O) tại B, C và D, E
(B ở giữa A và C, còn D ở giữa A Và E). Gọi M, N thứ tự là giao điểm của
các đờng thẳng BE và DC với đờng thẳng d. Chứng minh tam giác OMN là
tam giác cân.
Bài 5:
Các số thực x,y,z thoả mãn: x
4
+ y
4
+ z

4
= 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức : P=x
2
(y+z) + y
2
(x+z) + z
2
(y+x) .
Bi gii:
Bài 1: a) Giải hệ phơng trình
2
2
1
12 (1)
1
8 (2)
x
x
y y
x
x
y y

+ + =




+ + =

Ly (1)+(2) theo v ta c: (x +
1
y
)
2
+ x +
1
y
- 20 = 0. t: t = x +
1
y

=> t
2
+ t - 20 = 0 => t
1
= 4, t
2
= -5
Vi t = 4 => x +
1
y
= 4 => x = 4 -
1
y
. Thay vo (2) cú: (2y-1)
2
= 0=> y =

1
2
=> x = 2.
Vi t = -5 => x +
1
y
= -5=> x = -5 -
1
y
. Thay vo (2) cú:
13y
2
+ 5y + 1 = 0 phng trỡnh vụ nghim.
Vy h cú nghim duy nht: x = 2, y =
1
2
b, Ba số a,b,c, thoả mãn đồng thời các điều kiện: a+b+c = 1 v
T
1
111
=++
cba
. => ab+ac+bc= abc => (a+b+c)(ab+ac+bc) = abc
=> (a+b)(b+c)(c+a) = 0=> a+b = 0 hoc b+c= 0 hoc c+a = 0.
Nu: a+b = 0 => c = 1 => a
2009
+ b
2009
= 0 => a
2009

+ b
2009
+c
2009
= 1
Tng t vi: b+c= 0 hoc c+a = 0.
Bài 2:
Giải phơng trình:
)23(3)23(2
33
=+ xxxx
(*)
K: x
2
3
. T (*) =>
3 3
2 (3 2) 3 (3 2)x x x x =
. Bỡnh phng hai v ta c:
4(3x-2)
3
= 9x
2
(3x-2)
2
+ x
6
- 6x
4
(3x-2)

<=> x
5
- 15x
5
+ 93x
4
-216x
3
+252x
2
-144x + 32 = 0
<=> (x-1)
2
(x-2)
2
(x
2
- 12x + 8) = 0
=> x
1
= x
2
= 1; x
3
= x
4
= 2; x
5
= 6 - 2
7

, x
6
= 6 + 2
7
. Tho món.
Bài 5:
p dng BT Bunhiacopky ta cú:
P
2
= [x
2
(y+z) + y
2
(x+z) + z
2
(y+x)]
2
(x
4
+ y
4
+ z
4
)[(y+z)
2
+ (x+z)
2
+ (y+x)
2
]

M: (x
4
+ y
4
+ z
4
)[(y+z)
2
+ (x+z)
2
+ (y+x)
2
] = 6[z
2
+ x
2
+ y
2
+xy+xz+yz]
m: 6[z
2
+ x
2
+ y
2
+xy+xz+yz] 12(z
2
+ x
2
+ y

2
) 12
4 4 4
3(z + x + y )
= 36
P
2
36 => P
max
= 6 khi v ch khi x=y=z=1.
Ngi gii: Tụn c Trỡnh
Bài 3:
a, Có:
∠
QDI=
∠
QCE mà IP//EH
=>
∠
QDI=
∠
QPI=> QDPI nội tiếp
b, Gọi O3 là tâm đường tròn ngoại
tiếp ∆AQD
Ta có:
∠
AO
3
L+
∠

O
3
AL = 90
0
(1)
∠
ADQ=
∠
AO
3
L
(góc nội tiếp, góc ở tâm)
Có:
∠
AEQ=
∠
QCE mà
∠
QDE=
∠
QCE
=>
∠
AEQ=
∠
QDE mà
∠
QDI+
∠
DIQ= 90

0


(theo (a)
∠
DFI = 90
0
) mặt khác
∠
QIA+
∠
DIQ= 90
0

=>
∠
QIA=
∠
DEA
=> tứ giác AQIE nội tếp.
=>
∠
QAI=
∠
QEI mà
∠
QEI=
∠
QCD và
∠

QCD=
∠
ADQ,
∠
ADQ=
∠
AO
3
L
=>
∠
IAQ=
∠
AO
3
L (2) Từ (1) và (2) có: O
3
A vuông góc với AC => đccm.
Bài 4: Lấy C1 đối xứng với C
Nối A với C1 cắt đường tròn O tại B1.
Dễ thấy:
∠
MAB=
∠
NAB1 (*)
và AB = AB1. (**)
Ta có:
∠
ABM=
∠

EBC (1) (đđ)
Ta có:
∠
CBE=
∠
CDE (2) (chắn cung CE)
Mặt khác
∠
ADN=
∠
CDE (3) (đđ)
Lại có:
∠
B
1
DC=
∠
B
1
C
1
C (4)
(chắn cung CB
1
)
Mà CC
1
// MN
(do C
1

đối xứng với C qua AO)
=>
∠
C
1
AN =
∠
AC
1
C (sole) (5)
Từ (4) và (5) =>
∠
B
1
AN +
∠
B
1
DN=180
0
=>
ANDB
1
nôi tiếp.
=>
∠
AB
1
N =
∠

AND (6)
Từ (1)(2)(3)(4)(5)(6) => =>
∠
AB
1
N =
∠
ABM (***). Từ (*)(**)(***)=>
∆ABM = ∆AB
1
N (gcg) => AM = AN mà MN vuông góc với AO theo gt
=> ∆MON cân tại O. đccm.
Cách 2:
Kẻ OH và OK lần lượt vuông
O2
B
H
O3
L
Q
P
I
E
A
O1
C
D
B1
C1
N

D
M
B
O
A
C
E
L
J
H
K
M
N
B
D
O
A
C
E
góc với BE và CD
Dễ thấy MAHO nôi tiếp
=>
∠
JHA =
∠
AMO (1) (cùng bù
∠
OHA)
Có NAKO nội tiếp
=>

∠
LKA =
∠
ANO (2) (cùng bù
∠
OKA)
Ta có: ∆ACD ∆AEB (gg)
Có AK, AH trung tuyến tương
ứng của 2 tam giác
=>∆ACK ∆AHE (cgc)
=>
∠
AHE =
∠
AKC (3)
Mà
∠
CKL =
∠
EHJ = 90
0
(4)
(theo ta vẽ vuông góc)
Từ (1)(2)(3)(4) Ta có
=>
∠
ANO =
∠
AMO
=> =>∆MON cân tại N.

đccm
S
S