CÁC BÀI TOÁN LÝ THÚ VỀ SỰ LIÊN HỆ GIỮA ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC

CÁC BÀI TOÁN LÝ THÚ VỀ SỰ LIÊN HỆ GIỮA ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC
Nguyễn Duy Liên -Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc
Thế giới chúng ta đang sống luôn tiềm ẩn vô vàn những quy luật tự nhiên và xã
hội, khách quan cũng như chủ quan. Việc nắm bắt, vận dụng những quy luật đó đã
trở thành chìa khóa giải quyết nhiều vấn đề quan trọng trong khoa học nói riêng và
trong cuộc sống nói chung.
Bất đẳng thức là một dạng toán khó thường xuất hiện trong các kỳ thi quan trọng
như thi tuyển sinh đầu cấp học trung học phổ thông, thi đại học, thi học sinh giỏi
các cấp trung học cơ sở, trung học phổ thông và thi học sinh giỏi quốc gia, quốc
tế…Có người tạo ra bài toán mới bất đẳng thức rất ngẫu nhiên từ việc đi giải các
bài toán của người khác . Có người lại tạo ra bài toán mới bất đẳng thức từ các
đẳng thức quen thuộc với đa số mọi người…Bài viết nhỏ này tôi giới thiệu về một
số đẳng thức và ứng dụng vào giải quyết các bài toán bất đẳng thức. Để bài viết
được ngắn gọn, tôi xin không chứng minh lại một số kiến thức cơ bản.
I. CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA .
Đẳng thức 1.
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
a b c d ac bd ad bc+ + = + + −
, với mọi
, , ,a b c d ∈¡
.
Sau đây là một số bài toán áp dụng của đẳng thức 1.
Ví dụ 1:(Wolfgang Berndt). Chứng minh rằng với mọi số thực
, ,a b c
ta đều có

( )
( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 2 1 1 1 1 1 1abc a b c a b c+ + + + + ≥ + + +
Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2
2 1 1 1 1 1 1a b c a b ab c c
  
+ + + = + + − + + −
  
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1a b c ab c≥ + + + − −
, suy ra
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 1 1 1 1 1 1 1VT abc a b c ab c a b c VP≥ + + + + + − − = + + + =
(đpcm)
Ví dụ 2:(Titu Andresscu,Gabriel Dospinescu). Giả sử
, , ,a b c d
là các số thực thỏa
mãn điều kiện
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 1 1 1 16a b c d+ + + + =
, chứng minh bất đẳng thức sau
3 5ab bc ca da ac bd abcd− ≤ + + + + + − ≤
Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2
2 2 2 2
16 1 1 1 1 1 1a b c d ab a b cd c d
  
  
= + + + + = − + + − + +
  
  
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
2
2
1 1 1ab cd a b c d ab bc cd da ac bd abcd≥ − − + + + = + + + + + − − 
 
4 1 4ab bc cd da ac bd abcd⇒ − ≤ + + + + + − − ≤
từ đó có điều phải chứng minh.
Ví dụ 3:(KTĐT CVP).Giả sử
, , ,a b c d
là các số thực,chứng minh bất đẳng thức sau
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2 2
, , ,
1 1 1 2 2
a b c d
a b c ab bc cd da ac bd+ + + ≥ + + + + + −
∑
.
Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1a b c a b ab c a b c ab
 
+ + + = + + − + ≥ + + −
 
 
 
Hoàn toàn tương tự ta cũng có
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
1 1 1 1 ,b c d b c d bc+ + + ≥ + + −
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
1 1 1 1 ,c d a c d a cd+ + + ≥ + + −
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
1 1 1 1 .d a b d a b da+ + + ≥ + + −
. Từ đó suy ra
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2 2
, , ,
1 1 1 2 2

a b c d
a b c ab bc cd da ac bd+ + + ≥ + + + + + −
∑
,
Đẳng thức xẩy ra khi
3a b c d= = = =
bài toán được chứng minh
Đẳng thức 2.
1 1 1
1
1 1 1a ab b bc c ca
+ + =
+ + + + + +
, với mọi
, , , 1a b c abc∈ =¡
.
Sau đây là một số bài toán áp dụng của đẳng thức 2.
Ví dụ 4: Cho các số thực dương
, ,a b c
thỏa mãn
1abc =
.Chứng minh rằng.
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1
2
1 1 1 1 1 1a b b c c a
+ + ≤
+ + + + + + + + +

.
Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
( )
( )
2
2 2
2
1 1 1
2 2 2 1
1 1
a a b a ab
a b
= ≤
+ + + + +
+ + +
tương tự ta cũng được
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
1 1 1 1
;
2 1 2 1
1 1 1 1
b bc c ca
b c c a
≤ ≤
+ + + +

+ + + + + +
từ đó ta có
( )
( )
2
2
, ,
1 1 1 1 1 1
2 1 1 1 2
1 1
a b c a ab b bc c ca
a b
 
≤ + + =
 ÷
+ + + + + +
+ + +
 
∑
.
Đẳng thức xẩy ra khi
1a b c= = =
bài toán được chứng minh
Ví dụ 5: Cho các số thực dương
, ,a b c
thỏa mãn
1abc =
.Chứng minh rằng.
3 3 3 3 3 3
1 1 1

1
2 6 2 6 2 6a b b c c a
+ + ≤
+ + + + + +
.
Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có
( )
3 3 3 3 3 3
3 3
, ,
1 1 1 1
3
2 6 2 6 2 6
2 6
a b c a b b c c a
a b
 
≤ + +
 ÷
+ + + + + +
 
+ +
∑
.
theo bất đẳng thức AM-GM ta có
( ) ( )
( )
3 3 3 3 3
2 6 1 1 1 3 3 1a b a b a a ab+ + = + + + + + + ≥ + +
. Từ đó suy ra

( ) ( ) ( )
( )
3 3
, ,
1 1 1 1
3 1
3 1 3 1 3 1
2 6
a b c a ab b bc c ca
a b
 
≤ + + =
 ÷
+ + + + + +
+ +
 
∑
.
Đẳng thức xẩy ra khi
1a b c= = =
bài toán được chứng minh
Đẳng thức 3.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
0
a b b c b c c a c a a b
+ + =
− − − − − −
.
với mọi

, , , .a b c a b c a∈ ≠ ≠ ≠¡
Sau đây là một số bài toán áp dụng của đẳng thức 3
Ví dụ 6:(Việt Nam MO 2008). Cho
, ,a b c
là các số thực không âm đôi một khác
nhau. Chứng minh rằng :
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 4
ab bc ca
a b b c c a
+ + ≥
+ +
− − −
Chứng minh. Giả sử
( )
min , ,c a b c=
. Áp dụng đẳng thức 3 ta có
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2
2 2
, , , , , ,
1 1 1 1 1 1
2
a b c a b c a b c a b b c a b b c c a

a b a b
 
= + = + +
 ÷
− − − − −
− −
 
∑ ∑ ∑
.Ta có
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
2
2
2 2
, ,
1 1 1 2
a b c
a b
a b
a b a b a c b c a b a c b c
a c b c
 
−
−
 
 

= + = + +
 
 ÷
 ÷
− − − − − − −
− −
 
 
 
∑
Từ đó theo bất đẳng thức AM-GM thì
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2
2 2
, ,
1 1 2 4
2
a b c
a b
a b a b a c b c a c b c
a c b c
−
 
 
≥ × + =

 ÷
 ÷
− − − − − −
− −
 
 
∑
.
Mà ta có
( ) ( )
a c b c ab ab bc ca− − ≤ ≤ + +
.
Vậy
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 4
ab bc ca
a b b c c a
+ + ≥
+ +
− − −
.
Đẳng thức xẩy ra khi
3 5
, 0
2
a
c
b
±

= =
cùng các hoán vị của nó, bài toán được CM
Ví dụ 6:(Đào Hải Long). Cho
, ,a b c
là các số thực đôi một khác nhau.
Chứng minh rằng :
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
1 1 1 9
2
a b c
a b b c c a
 
+ + + + ≥
 
− − −
 
 
Chứng minh Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
3 3
a b c a b b c c a a b b c c a
a b c
+ + + − + − + − − + − + −
+ + = ≥
Bài toán quy về chứng minh

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
2 2 2
1 1 1 27
*
2
a b b c c a
a b b c c a
 
 
− + − + − + + ≥
 
 
− − −
 
 
.
Không mất tính tổng quát , giả sử
a b c> >
. Khi đó nếu đặt
,x a b y b c= − = −
thi
( )
c a x y− = − +
và
, 0x y >
. Bất đẳng thức
( )

*
trở thành.
( )
( )
2
2 2
2
2 2
1 1 1 27
2
x y x y
x y
x y
 
 
+ + + + + ≥
 
 
+
 
 
( )
( )
( )
2 2
2
2 2
1 1 1 27
**
4

x xy y
x y
x y
 
⇔ + + + + ≥
 
+
 
 

Ta có:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
3 1 3
4 4 4
x xy y x y x y x y+ + = + + − ≥ +
,
( )
2
2 2
1 1 2 8
x y xy
x y
+ ≥ ≥
+
.
Từ đó suy ra
( )
( )

( )
( )
2
2 2
2 2
2 2
1 1 1 3 9 27
4 4
x xy y x y
x y
x y x y
 
⇔ + + + + ≥ + × =
 
+ +
 
 
Bài toán được giải quyết hoàn toàn.
Qua các ví dụ trên , ta thấy rằng việc sử dụng các đẳng thức một cách hợp lí có thể
giải quyết được rất nhiều bài toán và giúp chúng ta tạo ra những bất đẳng thức khá
đẹp mắt , tôi và các bạn có thể vận dụng thêm một số đẳng thức khác để chứng
minh bất đẳng thức phù hợp, và tạo ra các bất đẳng thức mới.
Đẳng thức 4.
1
a b b c c a
b c c a c a a b a b b c
× + × + × = −
− − − − − −
.
với mọi

, , , .a b c a b c a∈ ≠ ≠ ≠¡
Đẳng thức 5.
1
a b b c b c c a c a a b
a b b c b c c a c a a b
+ + + + + +
× + × + × = −
− − − − − −
.
với mọi
, , , .a b c a b c a∈ ≠ ≠ ≠¡
Đẳng thức 6.
1 1 1 1 1 1
1
ab bc bc ca ca ab
b c c a c a a b a b b c
+ + + + + +
× + × + × =
− − − − − −
.
với mọi
, , , .a b c a b c a∈ ≠ ≠ ≠¡
Đẳng thức 7.
1 1 1 1 1 1
1
ab bc bc ca ca ab
b c c a c a a b a b b c
− − − − − −
× + × + × =
− − − − − −

.
với mọi
, , , .a b c a b c a∈ ≠ ≠ ≠¡
Đẳng thức 8 .
1
a b c d c d ad bc ad bc a b
a b c d c d ac bd ac bd a b
− − − + + −
        
+ + =
 ÷ ÷  ÷ ÷  ÷ ÷
+ + + − − +
        
với mọi
( ) ( ) ( )
, , , , . . 0a b c d a b c d ac bd∈ + + − ≠¡

Để kết thúc bài viết tôi xin giới thiệu một số bài tập để bạn đọc rèn luyện.
II.BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1. Cho
, , ,a b c d ∈¡
thỏa mãn
2014abc bcd cda dab a b c d+ + + = + + + +
Chứng minh rằng
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 1 1 1 2014a b c d+ + + + ≥
Bài 2. Cho
, , ,a b c d ∈¡
thỏa mãn

1ad bc− =
Chứng minh rằng:
2 2 2 2
3a b c d ac bd+ + + + + ≥
.
Bài 3. Cho các số thực dương
, ,a b c
thỏa mãn
1abc =
.Chứng minh rằng.
5 2 5 2 5 2
1 1 1
1
3 6 3 6 3 6a a ab b b bc c c ca
+ + ≤
− + + − + + − + +
.
Bài 4. Cho các số thực dương
, ,a b c
thỏa mãn
1abc =
.Chứng minh rằng.
5 2 5 2 5 2
1 1 1
1
6 6 6a b ab b c bc c a ca
+ + ≤
+ + + + + + + + +
.
Bài 5. Cho

, ,a b c
là các số thực dương đôi một khác nhau.
Chứng minh rằng :
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
1 1 1 11 5 5
2
a b c
a b b c c a
 
+
+ + + + ≥
 
− − −
 
 
Bài 6. Cho
, ,a b c
là các số thực đôi một khác nhau. Chứng minh rằng
2
a b c
b c c a a b
+ + ≥
− − −
Bài 7. Cho
, ,a b c
là các số thực đôi một khác nhau. Chứng minh rằng
2

a b b c c a
a b b c c a
+ + +
+ + ≥
− − −
Bài 8. Cho bốn số
, , ,a b c d
là các số thực bất kỳ .Chứng minh rằng :
3
a b c d ad bc
a b c d ac bd
− − +
+ + ≥
+ + −
Bài 9. Cho bốn số
, , ,a b c d
là các số thực không âm thỏ mãn
4a b c d+ + + =
.
Chứng minh rằng :
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2 81a b c d
+ + + + ≥
Hết