Xử lý song song tìm đường đi ngắn nhất GRAPH ALGORITHMS MINIMUM-COST SPANNING TREE

GRAPH ALGORITHMS
MINIMUM-COST SPANNING TREE
Nhóm 8:


NỘI DUNG
• Đặt vấn đề.
• Một số khái niệm liên quan đến đồ thị.
• Ý tưởng của 3 thuật tốn:
o PRIM
o KRUSKAL
o SOLLIN

• Xử lí song song.
• Đánh giá, nhận xét


ĐẶT VẤN ĐỀ
• Bài tốn:


INPUT:
Đồ thị G=(V , E) vơ hướng, liên thơng
có trọng số, n đỉnh.



OUTPUT:
Cây khung nhỏ nhất.

MỘT SỐ KHÁI NIỆM
 Đồ thị.
 Liên thuộc:A và B liên thuộc nếu tồn tại (A,B).
 Liên thơng.
 Chu trình. (A-B-C-…-Z-A)
 Cây khung nhỏ nhất – có tổng trọng số nhỏ nhất.


THUẬT TOÁN
PRIM
KRUSKAL
SOLLIN


PRIM

Đồ thị G = (V, E) liên thơng, có n đỉnh.
 Chọn một cạnh bất kỳ có trọng số nhỏ nhất,
đặt nó vào cây khung.
 Lần lượt ghép vào cây các cạnh có trọng số
nhỏ nhất liên thuộc với một đỉnh của cây và
khơng tạo ra chu trình trong cây.
Thuật toán dừng lại khi n − 1 cạnh được ghép vào
cây.


PRIM
Ví dụ: Dùng thuật tốn Prim tìm cây khung nhỏ nhất của đồ thị sau:
4

A

3

C

6
E
2

G

C

1
3

D

6
F

B

2

5

2

4

A

B

1

E
2

3

D

F

Cây khung của G
Trọng số: 12


KRUSKAL
Đồ thị G = (V, E) liên thơng, có n đỉnh.


Chọn một cạnh bất kỳ có trọng số nhỏ nhất,
đặt nó vào cây khung.



Lần lượt ghép vào cây các cạnh có trọng số
nhỏ nhất mà khơng tạo ra chu trình trong cây.

Thuật toán dừng lại khi n − 1 cạnh được ghép
vào cây.


KRUSKAL
Ví dụ: Dùng thuật tốn Kruskal tìm cây khung nhỏ nhất của đồ thị
sau:
4
4
A
B
A
B
3

C

6
E
2

G

2

5

2

C

1
3

D

6
F

1

E
2

3

D

F

Cây khung của G
Trọng số: 12


SOLLIN
Đồ thị G = (V, E) liên thơng, có n đỉnh.


Bắt đầu với một rừng gồm n đỉnh – n cây tách
biệt nhau.



Trong mỗi vịng lặp, tìm ra một cạnh để nối hai
cây với nhau, sao cho hai cây được nối bằng một
cạnh, và khơng tạo thành các chu trình.

Tiến trình này tiếp tục cho đến khi chỉ cịn một cây
(tất cả các đỉnh đã được kết nối).


SOLLIN
Ví dụ: Dùng thuật tốn Sollin tìm cây khung nhỏ nhất của đồ thị sau:
4

A

3

C

6
E
2

G

C

1
3

D

6
F

B

2

5

2

4

A

B

1

E
2

3

D

F

Cây khung của G
Trọng số: 12


XỬ LÍ SONG SONG


THUẬT TỐN PRIM
Ví dụ: Dùng thuật tốn Prim tìm cây khung nhỏ nhất của đồ thị sau:
4

A

3

C

E
2

G

2

5

2

6

A

B

C

1
3

D

6
F

1

E
2

3

F

D

THUẬT TỐN PRIM
Ví dụ: Dùng thuật tốn Prim tìm cây khung nhỏ nhất của đồ thị sau:
4

A

3

C

E
2

A

D

6
F

C

D

2

E

F

3

B

1
3

B
4

A

5

2

6

G

B

4

5

C

2

1

D
E

5

1

6
2

3
0

3

6

3

F
d[]

6

0

6

2

0

0

0

0


THUẬT TỐN PRIM
Ví dụ: Dùng thuật tốn Prim tìm cây khung nhỏ nhất của đồ thị sau:
4

A

3

C

E
2

A

D

6

F

C

D

2

E

F

3

B

1
3

B
4

A

5

2

6

G

B

4

5

C

2

1

D
E

5

3

1

6

6

3

F

d[]

6

2

3
4

2

6

2
3


THUẬT TỐN PRIM
Ví dụ: Dùng thuật tốn Prim tìm cây khung nhỏ nhất của đồ thị sau:
4

A

3

C

E
2

A

D

6
F

C

D

2

E

F

3

B

1
3

B
4

A

5

2

6

G

B

4

5

C

2

1

D
E

5

3

1

6

6

3

F
d[]

6

2

3
4

6

2

2

1

3

3


THUẬT TỐN PRIM
Ví dụ: Dùng thuật tốn Prim tìm cây khung nhỏ nhất của đồ thị sau:
4

A

3

C

E
2

A

D

6
F

C

D

2

E

F

3

B

1
3

B
4

A

5

2

6

G

B

4

5

C

2

1

D

E

5

3

1

6

6

3

F
d[]

6

2

3
4

6

2

2

1

3

3


THUẬT TỐN PRIM
Ví dụ: Dùng thuật tốn Prim tìm cây khung nhỏ nhất của đồ thị sau:
4

A

3

C

E
2

A

D

6
F

C

D

2

E

F

3

B

1
3

B
4

A

5

2

6

G

B

4

5

C

2

1

D
E

5

3

1

6

6

3

F
d[]

6

2

3
4

6

2

2

1

3

2


THUẬT TỐN PRIM
Ví dụ: Dùng thuật tốn Prim tìm cây khung nhỏ nhất của đồ thị sau:
4

A

3

C

E
2

A

D

6
F

C

D

2

E

F

3

B

1
3

B
4

A

5

2

6

G

B

4

5

C

2

1

D
E

5

3

1

6

6

3

F
d[]

6

2

3
4

6

2

2

1

3

2


THUẬT TỐN PRIM
Ví dụ: Dùng thuật tốn Prim tìm cây khung nhỏ nhất của đồ thị sau:
4

A

B

A

B

C

4

D

2

2

A

C

3

B

4
2

1

F

5

C

E

1

E
2

D

D

F

Cây khung của G
Trọng số: 12

E

5

6

3

1

6

6

3

F
d[]

3

2

3
4

6

2

2

1

3

2


GIẢ THUẬT PRIM
Begin
VT :={r};
d[r]:=0;
for all v

//khởi tạo với đỉnh r được chỉ định.

∈
(V - VT) do

∃
if ( (r,v)) d[v]:= trọng số (r,v);
else d[v]:=

;

while VT

∞

V do

≠

begin
Tìm đỉnh u / d[u]:= min{ d[v] | v

VT:= VT
for all v

{u};

End.

∈



∈

(V - VT) do

d[v]:= min{d[v] , trọng số (u,v)};
endwhile

(V - VT) }

//Song song hóa


SONG SONG HĨA
THUẬT TỐN PRIM
• Có m bộ xử lí, n đỉnh.
• Mỗi BXL đảm nhiệm n/m đỉnh,
cập nhật một phần của d[] cho
BXL chính.
• BXL chính lựa chọn min d[], chèn

đỉnh đó vào MST, thơng báo cho
tất cả các BXL.
• Mỗi BXLcập nhật lại một phần
của d[] của chúng dựa trên thông
báo.


SONG SONG HĨA
THUẬT TỐN PRIM
4

A

3

B

C

E
2

A

D

6
F

B

C

P2
D

2

E

F

3

B

1
3

P1

4

A

5

2

6

G

P0

4

5

C

2

1

D
E

5

1

6
2

3
0

3

6

3

F
d[]

6

0

6

2

0

0

0

0


SONG SONG HĨA
THUẬT TỐN PRIM
4

A

3

B

C

E
2

A

D

6
F

B

C

P2
D

2

E

F

3

B

1
3

P1

4

A

5

2

6

G

P0

4

5

C

2

1

D
E

5
3

F
d[]

3

1

6

6

2

3
3

6

6

6

2
2


SONG SONG HĨA
THUẬT TỐN PRIM
4

A

3

B

C

E
2

A

D

6
F

B

C

P2
D

2

E

F

3

B

1
3

P1

4

A

5

2

6

G

P0

4

5

C

2

1

D
E

5
3

F
d[]

3

1

6

6

2

3
3

6

6

3

6

2
2